Если система материальных точек находится под вовмущающим действием сил притяжения или отталкивания, которыө зависят только от расстояния и которые направлены к неподвижным центрам или которые происходят в результате взаимодействий между двумя массами, то действие и противодействие между собою равны; с другой стороны, если условные уравнения, связывающие координаты различных тел, нө содержат в себе времени, то имеет место уравнение живых сил, а именно:
\[
\sum m v^{2}=f\left(x, y, z, x^{\prime}, \ldots\right)+C .
\]

Знак $\sum$ распространяется на все массы системы, причем каж:дая масса выражается через $m$, а еө скорость через $v$; $C$ некоторая произвольная постоянная. Функция координат зависит только от природы сил и может быть выражена с помощью определенного числа независимых переменных $\lambda, \mu,
u, \ldots$, так что уравнение живых сил напишетея следукощим образом:
\[
\sum m v^{2}=\varphi(\lambda, \mu, v, \ldots)+C .
\]

Функция $\varphi$ тесно свнзана с положениями равновесия системы, так как условиө, выражающеө, что для известных определенных значений $\lambda, \mu$, $
u, \ldots$ система находится в положении равновескя, совпадает с условием, выражающим, что для тех же самых значений дифферендиал $\varphi$ равен нулю. Таким образом вообще для каждого положения равновесия эта функция является максимумом или минимумом. Если в действительности имеет место максимум, то равновесие – устойчивое; это значит, что если точки системы бесконечно мало сместить из их положений равновесия и каждой из них сообщить необходимую начальную скорость, то в течение всего движения смещения различных точек системы по отношению к положению равновесия всегда будут находиться мөжду некоторымв определенными и очень малыми пределами.

Эта теорема является одной из важнейших в механике. Она служит основой теории малых колебаний, приводящей к столь многим интересным применениям в области физики. Повтому приходится удивляться, что до сих пор эта теорема не была обоснована достаточно строго и удовлөтворительно.

Предноложим, – а это можно сделать без ущерба для общности, – что положение равновесия системы, или максимум функции $\varphi$, соответствует значениям $\lambda=0, \mu=0, \ldots$ Доказательство, данное Лагранжем («Аналитическая механика\”, Сгатика, отд. III), заключается в следующем: разложение функции по степеням $\lambda, \mu,
u, \ldots$, начинающееся с членов второго порядка, сводится к этим членам; затем, на основании известного условия максимума, согласно которому члены второго порядка могут быть рассматриваемы как сумма отрицательных квадратов, для $\lambda, \mu$, у,… устанавливаются известные пределы, которых әти величины не могут переступить. Этот вид доказательства, применяющийся еще и в других вопросах об устойчивости и особенно в физической астрономии, является недостаточно строгим. В самом деле, можно с полным основанием сомневаться в том, что величины, для которых мы имеем малые пределы, исходя из предположения, что әти величины всегда будут очень малы (ибо мы это делаем только в том случае, когда можем пренебречь членами высшего порядка), действительно всегда в течение любого промежутка времени будут оставаться в этих пределах и притом вообще-в малых пределах.

Только что приведенное доказательство повторялось, насколько я знаю, без существенных изменений всеми авторами, занимавшимися этим вопросом; а все то, что было прибавлено Пуассоном (Pois son, Traité de Mécanique, т. 2, стр. 492) для того, чтобы ввести в рассмотрение члены более высокого порядка, основывается на неприемлемом допущении, что каждый член второго порядка превосходит сумму всех членов высшего порядка.

Если даже дополнить рассуждения Лагранжа для случая, к которому они применяются и где наличие максимума устанавливается при помощи членов второго порядка, рассматриваемая теорема не может быть доказана в полном своем объеме. Известно, что существование максимума совместимо с исчезновением членов второго порядка; вообще достаточно, чтобы первые члены, отличные от нуля, были четного порядка и чтобы сумма этих членов была всегда отрицательной. Формулы, относящиеся к этому последнему условию, до сих пор еще не были даны даже в том случае, когда речь идет о членах четвертого порядка. Поэтому сначала следовало бы найти әти формулы. Но это неизбежно ввело бы большое осложнение в доказательство теоремы механики, о которой сейчас идөт речь. К счастью, положение об устойчивости равновесия можно доказать независимо от этих формул, пользуясь очень простым рассуждением, которое непосредственно связано с идеей максимума.

Помимо сделанного выше допущения, что положение равновесия соответствует вначениям $\lambda=0, \mu=0, \ldots$ мы предположим еще, что $\varphi(0,0,0, \ldots)=0$; такое предположение допустимо ввиду наличия проиэвольной постоннной. Определим постоянню, приняв во внимание заданное начальное состояние, для которого значения $v, \lambda, \mu,
u, \ldots$ мы обозначим через $v_{0}$, $\lambda_{0}, \mu_{0},
u_{0}, \ldots$ Таким образом мы получим
\[
\sum m v^{2}=\varphi(\lambda, \mu, v, \ldots)-\varphi\left(\lambda_{0}, \mu_{0}, v_{0}, \ldots\right)+\sum m v_{0}^{\prime} .
\]

Так как согласно допущению при $\lambda=0, \mu=0,
u=0 \ldots$ $\varphi(\lambda, \mu, v, \ldots)$ является нулем и максимумом, то можно взять положительные величины $l, m, n, \ldots$ достаточно малыми, чтобы $\varphi(\lambda, \mu, v)$ была всегда отрицательной для всякой системы значений $\lambda, \mu,
u, \ldots$, если абсолютные значения переменных соответственно подчинены условию не выходить за пределы $l, m, n, \ldots$, за исключением одного единственного случая, когда $\lambda, \mu,
u, \ldots$ все одновременно равны нулю. Этот случай исключается, если мы будем рассматривать лишь такие системы, в которых по крайней мере одна из переменных $\lambda, \mu, v, \ldots$ будет по своему абсолютному значению равна своему пределу $l, m, n, \ldots$ Предположим, что из всех отрицательных значений функции для подобных систем наименьшим по абсолютной величине значением явится – $p$; тогда можно легко доказать, что, если взять $\lambda_{0}, \mu_{0}, v_{0}, \ldots$ численно меньшими, чем $l, m, n, \ldots$, и если в то же время удовлетворить неравенству
\[
-\varphi\left(\lambda_{0}, \mu_{0}, v, \ldots\right)+\sum m v_{0}^{:}<p,
\]

то каждая из переменных $\lambda, k, v, \ldots$ останется в течение, всего времени движения внутри пределов $l, m, n, \ldots$ В самом деле, если бы имело место противоположное, то, так как ұачальные значения $\lambda_{0}, \mu_{0},
u_{0}, \ldots$ удовлетворяют поставленным нами условиям, а также в силу непрерывности переменных $\lambda, \mu, v, \ldots$, прежде всего было бы необходимо, чтобы в определенное мгновение существонало равенство между одним или несколькими численными значениями $\lambda$, $\mu$, $v, \ldots$ и соответствующими их пределами $l, m, n, \ldots$, причем другие значения не должны выходить за свои пределы. В это мгновение абсолютное значение $\varphi(\lambda, \mu,
u, \ldots)$ будет больше или цо крайней мере равно $p$. Следовательно, второй член уравнения живых сил будет отрицательным ввиду наличия написанного выше равенства, относящегося к начальному состоянию; но это невозможно, так как $\sum m v_{0}^{2}$ всегда положительно.

Очевидно, отсюда также следует, что скорости $v$ всегда заключаются между определенными пределами, так как мы всегда имеем
\[
\sum m v^{2} \leqslant \sum m v_{0}^{2}-\varphi\left(\lambda_{0}, \mu_{0}, v_{0}, \ldots\right) .
\]

Очевидно также, что пределы для каждой скорости, равно как и пределы для каждой переменной $\lambda, \mu, v, \ldots$ тоже могут быть сколь угодно малыми, так как и величины $l, m$, n…. могут стать сколь угодно малыми.