9. До сих пор мы рассматривали тела как точкн и видели, как определяютея законы равновесия этих точек, в каком бы числе последние ни были взяты и какие бы силы на иих ни действовали. Но так как тело любого объема и любой формы представляет собою не что иное, как совокупность бесчисленного множества частей или материальных точек, то ясно, что путем применения изложенных выше принципов можно определить и законы равновесия тел любой формы.

В самом деле, обычный прием разрешения механических задач, касающихся тел с конечной массой, заключается в том, что сначала рассматривают лишь некоторое определенное количество точек, расположенных друг от друга на конечных расстояниях, и определяют законы их равновесия или их движения; затем это исследование распространяют на неопределенное количество точек; наконец, делают допущение, что тисло точек становится бесконечно большим и что одновременно расстояния между точками становятся бесконечно малыми, и в формулах, найденных для конечного числа точек, производят преобразования и изменения, которых требует переход от конечного к бесконечному.

Әтот прием, как видим, аналогичен тем геометрическим и аналитическим методам, которые прел-
*) Эта сумма, исчисленная по отношению к тем точкам, в которых должна быть приложена одна из результирующих, должна дать составляющие этой результирующей. Для других точек ее следует шриравнять нулю. Надо отметить, что эта заддча может оказаться невозможной или неопределенной. (IIри.н. Бертрана.)

шествовали исчислению бесконечно малых; и если это последнее исчисление пмеет преимущество, заклюуающееся в том, что оно в поразительной степени облегчает и упрощает разрешение задач, касающих(я кривых, то оно обязано своим преимуществом только тому обстоятельству, что оно рассмәтривает линии в том виде, как они существуют, не испытывая потребности в том, чтобы сначала рассматривать их как ломаные, а затем уже как кривые линии. Примерго такое ке преимущество создастся у нас, когда мы будем трактовать интересующие нас проблемы мехаики, пользуясь прямыми путями, и будем рассматривать тела конечной массы прямо как соединения бесконечно большого числа точек или частид, из юоторых каждая находится под действием заданных сит. Нет ничего легче, чем видоизменить и упростить для подобного исследования тот общий метод, lоторый был нами изложен выше.
10. Необходимо, однако, отметить, что применение этого метода к телам конечной массы, все тогки которых находятся под действием каких-либо (\”ил, естественным образом приводит к двум видам дифференциалов,которые следует различать. Одни дифференциалы относятся к различным точкам, из которых образуется тело; другие совершенно не зависят от взаимного положения этих точек; они выражают только те бесконечно малые отрезки пространства, которые каждая точка может пройти, если допустить, что положение тела бесконечно мало изменяется. До сих пор мы рассматривали только дифференциалы последнего вида и обозначали их обычным символом $d$, но так как теперь нам придется иметь дело одновременно с двумя видами дифференциалов и, сле: ювательно, необходимо будет ввести еще один новый ‘имол, то представляется целесообразным старый ‘имвл применять для обозначения дифференциалов гервого вида, которые аналогичны дифференциалам, рассматриваемым обычно в геометрии, а дифференциаты второго вида, которые присущи исследуемому 8 s. Таграниі, т. I

нами предмету, обозначать символом $\delta$, применяемым в вариационном исчислении, с которым нынешнее наше исчисление находится в тесной и необходпмой связи.

В силу изложенного соображения мы назовем вариацаями те дифференциалы, которые будут обозначены символом $\delta$, и сохраним название дифференциалов для тех величин, которые будут обозначаться с помощью спмвола $d$. Впрочем, те же самые формулы, какие дают обыкновенные дифференциалы, дадут іл вариации, если только вместо символа $d$ поставить символ $\delta$.
11. Отмечу еще, что данную массу мы не будем рассматривать как собрание бесконечно большого числа точек, расположенных рядом; следуя духу исчисления бесконечно малых, представляется болес целесообразным рассматривать ее как составленную из бесконечно малых элементов, обладающих теми же измерениями, тто и вся масса; таким образом, для того чтобы получить силы, действующие на каждый из этих элементов, слетует помножить на эти элементы силы $P, Q, R, \ldots$, которые согласно предположению приложены і каждой точке этих элементов п которые мы будем рассматривать как силы ускоряющие, аналогичные силам, получающимся вследствие действия тяжести.

Итак, если мы назовем всю массу тела $m$, а массу одного из его элементов $d m$, то мы потучим выражения $P d m, Q d m R d m, \ldots$ для сил, действующих на әлемент $d m$ по направлению линий $p, q, r, \ldots$ Умножив эти силы на соответствующие вариации $\delta p, \delta q, \delta r, \ldots$, мы получим их моменты, сумма которых для каждого элемента $d m$ выразится с помощью формулы
\[
(p \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots) d m
\]

для того чтобы получить сумму моментов всех сил системы, придется только цроинтегрировать эту формулу по всей заданной массе.

Эти полные интегралы, т. е. интегралы, относящиеся і объему всей массы, мы будем обозначать с помощью символа $\mathbf{S}$, сохраняя обычный символ $\int$ для обозначения частных или неопределенных интегралов.
12. Итак, для суммы моментов всех сил системы мы имеем интегральную формулу
\[
\mathbf{S}(P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots) d m
\]

II эта величина должна быть вообще равна нулю при состоянии равновесия системы.

Так как в зависимости от природы системы между различными вариациями $\delta p, \delta q, \delta r, \ldots$, относящимися к отдельным точкам массы, обязательно существуют определенные заданные отношения, то вариации следует свести к известному числу независимых п неопределенных вариаций; а если затем члены, содержащие в качестве множителей эти последние вариации, приравнять нулю, то мы получим частные уравнения равновесия. Но так как этот процесс псключения может оказаться затруднительным, то представляется целесообразным его избежать, пользуясь методом множитетей, изложенным нами в іредыдущем параграфе.
13. Для применения этого метода к рассматриваемому нами случаю допустим, что
\[
L=0, \quad M=0, \ldots
\]

представляют собою условные уравнения, которые в соответствии с природою задачи должны иметь место по отношению і каждой точке массы. Эти уравнения мы назовем неопределенными условными уравнения.ни.

Величины $L, M, \ldots$ будут здесь представлять собою функции конечных координат $x, y, z$, соответ’твующих каждой точке заданной массы, а также их дифференциалов любого порядка.

Если эти уравнения продифференцировать согласно определению символа $\delta$, мн получим следующие уравнения:
\[
\delta L=0, \quad \delta M=0, \ldots
\]

Умножив величины $\delta L, \delta M, \ldots$ на неопределенные величины $\lambda, \mu, \ldots$, возьмем полный интеграл, который, следовательно, будет представлен формулой
\[
\mathbf{S}(\lambda \delta L+\mu \delta M+\ldots) ;
\]

прибавив этот интеграл і интегралу, выведенному в предыдущем пункте, мы получим общее уравнение равновесия.

Отметим, что нет необходимости в том, чтобы $\delta L, \delta M, \ldots$ были полными вариациями функций $x, y, z, d x, d y, \ldots ;$ достаточно, чтобы $\delta L=0, \delta M=0, \ldots$ были неопределенными условными уравнениями между вариациями $x, y, z, d x, d y, \ldots$ (пункт 2 ).

Следует, однако, иметь в виду, что помимо сил, действующих вообще на все точки массы, могут существовать и такие силы, которые действуют лишь на некоторые определенные точки этой массы; обычно такими точками являются точки, находящиеся на границах рассматриваемой масзы, т. е. точки, соответствующие началу и концу интеграла, обозначенного нами символом $\mathbf{S}$.

Точно так же для этих точек могут существовать особые условные уравнения, которые мы назовем определенными условными уравнениями. Дэя того чтобы отличить их от тех уравнений, которые имеют силу вообще для всего объема массы, мы их выразим с помощью
\[
A=0, \quad B=0, \quad C=0, \ldots
\]

пли, еще лучше, через
\[
\delta A=0, \quad \delta B=0, \quad \delta C=0, \ldots *) .
\]
*) Анализ Лагранжа представляется явно неполиым; повиднмому, знаменитый автор пмот в виду только такие тела,

Далее, мы будем отмечаті, с помощью одного, двух, трех і т. Д. штрихов все величины, относящиеся $к$ определенным точкам массы и, в частности, с помощю одного штриха мы будем отмечать те величины, которые относятся к началу интеграла, обознаґенного через $\mathbf{S}$, с помощью двух штрихов – величины, относящиеся к концу этого интеграла, с помощью трех или большего числа штрихов – величины, отно(‘ящиеся к пюбым промежуточным точкам.
Таким образом к интегралу
\[
\mathbf{S}(P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots) d m
\]

стедует прибавить величину
\[
\begin{array}{c}
P^{\prime} \delta p^{\prime}+Q^{\prime} \delta q^{\prime}+R^{\prime} \delta r^{\prime}+\ldots \\
\ldots+
u^{\prime \prime} \delta p^{\prime \prime}+Q^{\prime \prime} \delta q^{\prime \prime}+R^{\prime \prime} \delta r^{\prime \prime}+\ldots,
\end{array}
\]
¡ к интегралу
\[
\mathbf{S}(\lambda \delta L+\mu \delta M+\ldots)
\]

величину
\[
\alpha \delta A+\beta \delta B+\gamma \delta C+\ldots
\]

В результате этого общее уравнение равновесия получит следующиї вид:
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{S}(P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots) d m+\mathbf{S}(\lambda \delta L+\mu \delta M+\ldots)+ \\
+P^{\prime} \delta p^{\prime}+Q^{\prime} \delta q^{\prime}+R^{\prime} \delta r^{\prime}+\ldots+P^{n} \delta p^{n}+Q^{n} \delta q^{\prime \prime}+ \\
+R^{\prime \prime} \delta r^{\prime \prime}+\ldots+\alpha \delta A+\beta \delta B+\gamma \delta C+\ldots=0 .
\end{array}
\]
14. Так кан функции $L, M, \ldots$ могут содержать не только конечные переменные $x, y, z$, но еще и их дифференциалы, то вариации $\delta L, \delta M, \ldots$ дадут члены,

длементы которых могут быть расположены в линейном порядге. Tar, например, в случае системы трех измерений могут быть даны условия, относящиеся к кажцому элементу поверхности, ограничивающей систему, или же любой иной поерхности, распото;кенной впутри еистемы; могут также существовать :ругие условия, относящиеся ко всем точнам некоторых пиний, а не только ю определенным изолированным точкам, взятым на поверхности нли внутри тела. (П рим. Дарбу.)

умноженные на $\delta x, \delta y, \delta z, \delta d x, \delta d y, \ldots$, а указанное только что уравнение, если в нем подставить значения $\delta p, \delta q, \delta r, \ldots, \delta L, \delta M, \ldots$, выраженные через $\delta x, \delta y, \delta z, \delta d x, \delta d y, \delta d z, \ldots$, а также значения $\delta p^{\prime}, \delta p^{\prime \prime}, \ldots, \delta q^{\prime}, \delta q^{\prime \prime}, \ldots, \delta A, \delta B, \ldots$, выраженные через $\delta x^{\prime}, \delta x^{\prime \prime}, \ldots, \delta y^{\prime}, \delta y^{\prime \prime}, \ldots, \delta d x^{\prime}, \ldots$, выведенные из особых условий каждой задачи, всегда будут иметь вид, аналогичный тем уравнениям, которые вариационное исчисление дает для определения максимумов и минимумов неопределенных интегралов. Следовательно, по отношению к ним останется только применить известные правила этого исчисления.

Итак, следует иметь в виду, что символы $d$ и $\delta$ обозначают два различных, совершенно независимых друг от друга, вида дифференциалов, поэтому в том случае, когда эти символы встречаются вместе, должно быть совершенно безразлично, в каком порядке они стоят: ведь если мы допустим, что какая-либо величина изменяется двумя различными способами, то мы всегда получим один и тот же результат, в каком бы порядке эти изменения ни происходили. Таким образом $\delta d x$ представляет собою то же самое, что $d \delta x$, и аналогично $\delta d^{2} x$ – то же, что $d^{2} \delta x$, и так далее. Следовательно, мы можем всегда по желанию изменить порядок этих символов, не изменяя значения ‘дифференциалов; для нашей задачи представляется уместным ставить символ $d$ перед $\delta$ с тем, чтобы данное уравнение содержало только вариации координат и дифферендиалы этих вариаций.

То же самое следует сказать и об отношении знаков интегрирования $\int$ или $\mathbf{S}$ к символу варьирования $\delta$. ( иволы $\delta \int$ или $\delta \mathbf{S}$ можно, следовательно, всегда зам нить символами $\int \delta$ или $\mathbf{S} \delta$.

В этом заключается первый основной принцип вариачионного исчисления.

15. Дифференциалы $d \delta x, d \delta y, d \delta z, d^{2} \delta x, \ldots$, находящиеся под знаком $\mathbf{S}$, могут быть исключены c помощью операции, известной под названием интегрирования по частям, так как вообще
\[
\begin{array}{l}
\int \Omega d \delta x=\Omega \delta x-\int \delta x d \Omega . \\
\int \Omega d^{2} \delta x=\Omega d \delta x-d \Omega \delta x+\int \delta x d^{2} \Omega,
\end{array}
\]

п так далее; при этом следует пметь в виду, что величины, стоящие вне знака $\int$, относятся, конечно, і верхним пределам интеграла; для того чтобы эти ннтегралы сделать полными, следует обязательно вычесть те значения этих же величин, стоящих вне знака интегрирования, которые соответствуют нижним пределам интегрирования, что очевидно следует из теории интегрирования.

Итак, если мы будем отметать одним штрихом величины, относящиеся к началу полных интегралов, обозначенных через $\mathbf{S}$, и двумя штрихами-величины, относящиеся $\kappa$ концу этих интегралов, мы полутим стедующие формулы преобразования:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S} \Omega d \delta x=\Omega^{\prime \prime} \delta x^{\prime \prime}-\Omega^{\prime} \delta x^{\prime}-\mathbf{S} \delta x d \Omega, \\
\mathbf{S} d^{2} \delta x=\Omega^{\prime \prime} d \delta x^{\prime \prime}-d \Omega^{\prime \prime} \delta x^{\prime \prime}-\mathbf{\Omega}^{\prime} d \delta x^{\prime}+d \Omega^{\prime} \delta x^{\prime}+\mathbf{S} \delta x d^{2} \Omega, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . , }
\end{array}
\]

іоторые послужат для того, чтобы освободиться от нсех дифференциалов вариаций, которые могут нахоцться под знаком S. Это преобразование составляет второй основной принцип вариационного исчисления.
16. Итак, указанным путем общее уравнение равновесия будет приведено к следующему виду:
\[
\mathbf{S}(\Xi \delta x+\Sigma \delta y+\Psi \delta z)+\Lambda=0,
\]

гее $\Xi, \Sigma, \Psi$ являются фунъциями от $x, y, z$ и их дифференциалов, а $\Lambda$ содержит члены, в состав которых входят вариации $\delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta z^{\prime} ; \delta x^{\prime \prime}, \delta y^{\prime \prime}, \ldots$ п Iх дифференциалы.

Для того чтобы это уравнение оставалось в силе независимо от вариаций различных координат, необходимо: 1) ұтобы величины $\Xi, \Sigma, \Psi$ были равны нулю по всему объему, на который распространяется интеграл $\mathbf{S}$, т. е. в любой точке рассматриваемої массы, и 2) чтобы каждый член велічины $\Lambda$ тоже был равен нулю.
Неопределенные уравнения
\[
\Xi=0, \Sigma=0, \Psi=0,
\]

вообще говоря, дадут условия, которые должиы существовать между переменными $x, y, z$, но для этой цели следует исключить неопределенные переменные $\lambda, \mu, \ldots$, которых будет столько же, сколько будет неопределенных условных уравнений (п. 13)
\[
L=0, M=0, \ldots
\]

Отмечу, однако, что число этих уравнений не должно быть больше трех; так как они являются неопределенными уравнениями между тремя переменными $x, y, z$ и их дифференциалами, то ясно, что если бы их было больше трех, то у нас было бы больше уравнений, чем переменных величин; в таком случае четвертое уравнение было бы необходимым следствием первых трех уравнений. Совершенно то же можно сказать и о других избыточных уравнениях. Итак, нам никогда не придется исключать больше чем три неопределенных величины $\lambda, \mu,
u$, тадк что мы всегда будем иметь возможность найти значения этих неопределенных величин в функциях $x, y, z$. Однако уравнения, которые будут исчезать благодаря этим исключениям, будут замещаться самими условными уравнениями, і таким образом мы всетда получим возможность определить те значения $x, y, z$, какие должны иметь место, когда вся система находится в равновесии.

Правда, условные уравнения $L=0, M=0$, . могут содержать еще п труие переменные $u, v, \ldots$

и их дифференциалы, которые должны быть исключены с помощью других уравнений, например,
\[
U=0, V=0, \ldots ;
\]
c этими новыми условными уравнениями можно будет поступить совершенно так же, как с уравнениями, вытекающими из природы задачи. А именно, нам следует лишь, взяв неопределенные коэффициенты $\sigma,
u, \ldots$, қ членам
\[
\text { i. } \delta L+\mu \delta M+\ldots,
\]

находяцимся под знаком интенрирования в общем уравнении пункта 13, прибавить члены
\[
\sigma \delta U+v \delta \hat{\delta} V+\ldots,
\]

и после того, как мы уничтожим все дифференциалы вариаций $\delta x, \delta y, \delta z, \delta u, \delta v, \ldots$, окончательное уравнение пункта 13 будет содержать под знаком интеграла члены,.в состав которых будут входить вариации $\delta u, \delta v, \ldots$ и которые, следовательно, должны будут порознь равняться нулю. Таким образом мы получим столько новых уравнений, сколько у нас будет неопределенных величин $\sigma, v, \ldots$, нодлежащих исключению с их помощью. После этого мы исклютим новые переменные $u, v, \ldots$ с помощью заданных уравнений $U=0, V=0, \ldots$ Этот метод будет всегда полезен, когда в функциях $L, M, \ldots$. будут находиться интегральные величины; в самом деле, если вместо последних ввести новые неопредетенные величины, то этим путем можно добиться исчезновения всех знаков интегрирования и тем сильно облегчить расчет.
17. Что касается других уравнений, получающихся из различных членов величины $\Lambda$, находящейся вне знака интеграла, то они будут предс тавлять собою частные уравнения, которые должны иметь силу по отнощению к определенным точкам массы и которые будут служить главным образом для определения произвольных постоянных, могущих содержаться в выражениях $x, y, z$, выведенных из предыдущих уравнений. Для того чтобы использовать эти уравнения, в них следует поставить найденныо уже значения $\lambda, \mu$, . . , затем исключить неопределенные величины $\alpha, \beta, \ldots$ и присоединить к ним условные уравнения $A=0, B=0, \ldots$, которые послужат для замещения уравнений, исчезнувших в процессе опи\”анного выше исключения.
18. Члены $P \delta p, Q \delta q, \ldots$, происходящие от ускоряющих сил $P, Q, \ldots$, не требуют никакого приведения, поскольу эти силы действуют по линиям $p, q, \ldots$, ибо величины $p, q, \ldots$ являютея только функциями конечных переменных $x, y, z$. Иначе обстоит дело в том случае, когда пользуются \”илами, действие которых сводится к тому, что они заставляют изменяться заданную функцию (отд. II, п. 9); в этом случае, если данная функция содержит дифференциалы, следует для этих членов выполнить, те же приведения, что и для членов $\lambda \delta L \ldots$; при этом всегда получается окончательное уравнение того же вида. Этот случай имеет место при рассмотрении упругих тел как твердых, так и жидких.