20. Произвольные постоянные, вариации которых мы только что дали, зависят от природы каждой задачи и могут быть определены только в особых случаях. Существует, однако, одна постоянная, которая бывает представлена вообще во всех задачах, где $V$ является только функцией $\xi, \psi, \varphi, \ldots . . ;$ это – та постоянная, которую интегрирование должно прибавить к $t$; в самом деле, так как дифференциальные уравнения в этом случае содержат только элемент $d t$, то ясно, что в конечных выражениях постоянных в функции $t$ всегда можно вместо $t$ поставить $t$ плюс некоторая произвольная постоянная.

Обозначим эту постоянную через $K$ и отнесем к ней дифференциалы, обозначенные в общей формуле II. 11 символом $\Delta$; тогда мы будем иметь
\[
\Delta \Omega=\frac{\partial \Omega}{\partial K} \Delta K, \quad \Delta \xi=\frac{\partial \xi}{\partial K} \Delta K, \Delta \psi=\frac{\partial \psi}{\partial K} \Delta K, \ldots
\]

Но так как $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ являются функциями $t+K$, то ясно, что мы будем иметь
\[
\frac{\partial \xi}{\partial \tilde{K}}=\frac{d \xi}{d t}=\xi^{\prime},
\]

а также
\[
\frac{\partial \psi}{\partial \bar{K}}=\frac{d \psi}{d t}=\psi^{\prime}, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial K}=\frac{\partial \varphi}{d t}=\varphi^{\prime}, \ldots
\]

Следовательно,
\[
\Delta \xi=\xi^{\prime} \Delta K, \quad \Delta \psi=\psi^{\prime} \Delta K, \quad \Delta \varphi=\varphi^{\prime} \Delta K, \ldots
\]

По тем же основаниям мы будем иметь
\[
\Delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}=\frac{d \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}}{d t} \Delta K, \quad \Delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}=\frac{d \frac{d Z}{\partial \psi^{\prime}}}{d t} \Delta K, \ldots
\]

Но дифференциальные уравнения пункта 3 дают
\[
\frac{d \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}}{d t}=\frac{\partial Z}{\partial \xi}, \quad \frac{\frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}}{d t}=\frac{\partial Z}{\partial \psi}, \ldots,
\]

следовательно,
\[
\Delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}=\frac{\partial Z}{\partial \xi} \Delta K, \quad \Delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}=\frac{\partial Z}{\partial \psi} \Delta K, \ldots
\]
Таким образом блаюдаря указанным подстановкам и после деления на $\Delta K$ общая формула пункта 11 принимает следующий вид:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial \Omega}{\partial K} d t= & \xi^{\prime} \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}+\psi^{\prime} \delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}+\varphi^{\prime} \delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}+\cdots- \\
& -\frac{\partial Z}{\partial \xi} \delta \xi-\frac{\partial Z}{\partial \psi} \delta \psi–\frac{\partial Z}{\partial \varphi} \delta \varphi-\cdots
\end{aligned}
\]

Но мы имеем
\[
\begin{array}{l}
\xi^{\prime} \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}+\psi^{\prime} \delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}+\varphi^{\prime} \delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}+\cdots= \\
=\delta\left(\xi^{\prime} \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}+\psi^{\prime} \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}+\varphi^{\prime} \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}+\cdots\right)- \\
-\frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}} \delta \xi^{\prime}-\frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}} \delta \psi^{\prime}-\frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}} \delta \varphi^{\prime}-\cdots,
\end{array}
\]

а так как $Z$ по предположению должна быть функцие и $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ и $\xi^{\prime}, \psi^{\prime}, \varphi^{\prime} \ldots$, то мы будем иметь
\[
\begin{aligned}
\delta Z=+\frac{\partial Z}{\partial \xi} \delta \xi & +\frac{\partial Z}{\partial \psi} \delta \psi+\frac{\partial Z}{\partial \varphi} \delta \varphi+\cdots+ \\
& +\frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}} \delta \xi^{\prime}+\frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}} \delta \psi^{\prime}+\frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}} \delta \varphi^{\prime}+\cdots
\end{aligned}
\]

Таким образом предыдущее уравнение преобразуется к следующему виду:
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial K} d t=\delta\left(\xi^{\prime} \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}+\psi^{\prime} \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}+\varphi^{\prime} \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}+\cdots-Z\right) ;
\]

в этом уравнении правая часть должна быть функцией произвольных постоянных, не зависящей от $t$.
21. Если вместо $Z$ мы поставим $T-V$, а вместо $\xi^{\prime}, \psi^{\prime}, \varphi^{\prime}, \ldots$ поставим $\frac{d \xi}{d t}, \frac{d \psi}{d t}, \frac{d \varphi}{d t}, \ldots$ (п. 3 ), то легко вघдеть, что величина
\[
\xi^{\prime} \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}+\psi^{\prime} \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}+\varphi^{\prime} \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}+\cdots-Z
\]

представляет собою совершенно то же, что и следующая величина:
\[
\frac{\delta T}{\delta d \xi} d \xi+\frac{\delta T}{\delta d \psi} d \psi+\frac{\delta T}{\delta d \varphi} d \varphi+\cdots-T+V,
\]

которая, как мы видели, всегда равна постоянной величине и которая сводится к $T+V$ (отд. IV, п. 14); отсюда вытекает уравнение
\[
T+V=H,
\]

выражающее принцип сохранения живой силы системы. Следовательно, если принять $H$ за одну из произвольных постоянных, то дія ее вариации, вызванной возмущающими силами, содержащимися в функции $\Omega$, мы получим следующую весьма простую формулу:
\[
d H=\frac{\partial \Omega}{\partial \bar{K}} d t .
\]
22. К этой формуле можно притти и другим, более коротким, путем. В самом деле, если вернуться к уравнениям II. 8 , сложить их, предьарительно помножив соответственно на $d \xi, d \psi, d \varphi, \ldots$, и проинтегрирогать, применив при этом те же самые преобразования, которыми мы воспользовались в п. 14 предыдущего отдела, то мы прямо придем к уравнению
\[
T+V=H+\int\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \xi} d \xi+\frac{\partial \Omega}{\partial \psi} d \psi+\frac{\partial \Omega}{\partial \varphi} d \varphi+\ldots\right) \text {. }
\]

В этом уравнении величина, стоящая под знаком интеграла, вообе говоря, не интегрируема, так как функция $\Omega$ вследствие подвижности, которую можно предположить у центров возмущающих сил, будет помимо переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ содержать еще и другие переменные, не зависящие от первых.

В том случае, когда никаких возмущающих сил не существует, мы имеем просто $T+V=H$. Ясно, что эту форму можно сохранить у интеграла, который мы только что нашли, если постоянную $H$ превратить в переменную и положить
\[
d H=\frac{\partial \Omega}{\partial \xi} d \xi+\frac{\partial \Omega}{d \psi} d \psi+\frac{\partial \Omega}{\partial \varphi} d \varphi+\cdots ;
\]

но очевидно величина
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial \xi} d \xi+\frac{\partial \Omega}{\partial \psi} d \psi+\frac{\partial \Omega}{\partial \varphi} d \varphi+\cdots
\]

есть не что иное, как дифференциал $\Omega$, если изменять только величины $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, которые зависят от первоначальных дифференциальных уравнений и которые согласно допущению известны в функции $t+K$, где $K$, как и в п. 20 , представляет собою постоянную величину, которая всегда может быть прибавлена к пөременной $t$. А так как переменные $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ изменяются только со временем $t$, то легко видеть, что рассматриваемая величина представляет собою то же самое, что и $\frac{\partial \Omega}{\partial K} d t$; следовательно, как и выше, мы получаем уравнение
\[
\frac{d H}{d t}=\frac{\partial \Omega}{\partial K} .
\]
23. Это уравнение может быть приведено к следующему виду:
\[
\frac{d H}{d t}=\frac{\partial \Omega}{\partial t},
\]

при условии, что в частном дифференциале $\Omega$ мы будем изменять величину $t$ только постольку, поскольку она содержится в выражениях переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ Из этой формулы следует, что если функция $\Omega$ содержит время $t$ только под знаком синусов и косинусов, как это имеет место в теории планет, то выражение $\frac{\partial \Omega}{\partial t}$ будет содержать только периодические члены, так как каждый постоянный член $\Omega$ при дифференцировании по $t$ исчезает. Таким образом в первом приближении, когда произвольные постоянные, входящие в функцию $\Omega$, мы рассматриваем как абсолютно постоянные, интеграл величины $\frac{\partial \Omega}{\partial t} d t$, т. е. значение $H$, не будет содержать членов вида $N t$, которые возрастали бы со временем $t$. Выше (п. 16) мы видели, что второе приближение не может создать в $\Omega$ члена, который не был бы периодическим; таким образом по отношению к величине $H$ этот вывод будет иметь силу еще и при втором приближении.
24. Величина $T$ выражает живую силу системы и равна $H-V$. Когда система не подвергается действию каких-либо возмущающих сил, $H$ является постоянной величиной и живая сила зависит только от ускоряющих сил, содержащихся в выражении $V$, как мы это видели в п. 34 отд.III. Э та величина становится переменной, когда имеются возмущающие силы; следовательнс, под действием этих сил живая сила тоже изменяется; эднако из того, что мы только что доказали, ясно, что если выражение для возмущающих сил является периодическим, то эти изменения могут быть только периодическими по крайней мере в первых двух приближениях. Этот вывод имеет большое значение для определения возмущений.