7. Тождество
$$Pdp+Qdq+Rdr+\dots =Xdx+Ydy+Zdz,$$

установленное в пункте 1 , показывает, что система сил $P,Q,R,\dots$, направленных по линиям $p,q,r,\dots$, эквивалентна системе трех сил $X,Y,Z$, направленных по линиям $x,y,z$ (отд. II, п. 15). Таким образом величины $X,Y,Z$ дают значения сил $P,Q,R,\dots$, разложенных по трем прямоугольным координатам $x,y,z$ и стремящихся укоротить эти координаты, подобно силам $P,Q,R,\dots$, которые согласно допущению стремятся укоротить линии $p,q,r,\dots$
8. Вообще, если какие-либо силы $P,Q,R,\dots$, направленные по линиям $p,q,r,\dots$, действуют на одну и ту же точку, можно все эти силы всегда свести к трем другим, направленным по линиям $\xi ,\psi ,\phi$, при условии, что эти три линии не лежат в одной и той же плоскости. Ввиду того, что трех линий, расположенных в различных плоскостях, достаточно для определения положеняя любой точки в пространстве, длины линий $p,q,r,\dots$ можно всегда выразить в функции трех величин $\xi ,\psi ,\phi$; согласно теореме пункта 15 отдела II, силы $P,Q,R,\dots$ будут тогда эквивалентны *) трем силам $\mathrm{\Xi },\mathrm{\Psi },\mathrm{\Phi }$, значения которых выражаются с помощью $$
*) Мы уже выше отметили, что эта теорема подлежит ограничению. Это же замечание применимо и к выводам, которые здесь делаются из этой теоремы. См. статью Пуансо в конце настоящего тома. (I рим. Берпрана.)

нижеследующих формул:
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Xi }=P\frac{\partial p}{\partial \xi }+Q\frac{\partial q}{\partial \xi }+R\frac{\partial r}{\partial \xi }+\dots \\ \mathrm{\Psi }=P\frac{\partial p}{\partial \psi }+Q\frac{\partial q}{\partial \psi }+R\frac{\partial r}{\partial \psi }+\dots ,\\ \mathrm{\Phi }=P\frac{\partial p}{\partial \phi }+Q\frac{\partial q}{\partial \phi }+R\frac{\partial r}{\partial \phi }+\dots \end{array}$$

и которые направлены по линиям $\xi ,\psi ,\phi$ или же только по элементам $d\xi ,d\psi ,d\phi$, если некоторые из этих линий являются кривыми.

Эти формулы оказываются весьма полезными во многих случаях; особенно, если речь идет о разыскании результата действия бесчисленного множества сил на одну точку, как, например, притяжения точки телом произвольного вида.
9. Пусть $m$ — масса тела, каждый из элементов которого $dm$ рассматривается нами как центр силы $P$, которая пропорциональна $dm$ и некоторой функции $f(p)$ расстояния $p$. Если положить $\int f(p)dp=F(p)$, то элемент $dm$ даст в выражении $\mathrm{\Xi }$ член $\frac{\partial F(p)}{\partial \xi }dm$, интеграл которого по всей массе $m$ будет результатом притяжения этой массы. Так как это интегрирование является независимым от дифференцирования по $\xi$, то указанному интегралу можно дать и такой вид: $\frac{\partial }{\partial \xi }\mathbf{S}F(p)dm$, так что, положив
$$\mathbf{S}F(p)dm=\mathrm{\Sigma },$$

мы будем иметь
$$\mathrm{\Xi }=\frac{\partial \mathrm{\Sigma }}{\partial \xi },\mathrm{\Psi }=\frac{\partial \mathrm{\Sigma }}{\partial \psi },\mathrm{\Phi }=\frac{\partial \mathrm{\Sigma }}{\partial \phi };$$

дальше придется только подставить в функцию $F(p)$ вместо $p$ его значение, выраженное в функции координат, определяющих положение в пространстве
каждой отдельной частицы $dm$, и координаты $\xi ,\psi ,\phi$ притягиваемой точки, и затем отдельно произвести интегрирование по отношению к первым и дифференцирование по отношению ко вторым.

В том случае, который дает нам природа, мы имеем $f(p)=\frac{1}{p^2}$; следовательно, $F(p)=-\frac{1}{p}$, а значит, $\mathbf{\Sigma }=-\mathbf{S}\frac{dm}{p}$.

Пусть $a,b,c$-координаты любой частицы $dm$ тела; допустив, что плотность этой частицы выражается некоторой функцией $\mathrm{\Gamma }$ координат $a,b,c$, ми будем иметь
$$dm=\mathrm{\Gamma }dadbdc;$$

следовательно,
$$\mathrm{\Sigma }=-\mathbf{S}\frac{\mathrm{\Gamma }dadbdc}{p}.$$

Если $x,y,z$ — координаты притягиваемой точки, то (п. 1)
$$p=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2};$$

следовательно,
$$\mathbf{\Sigma }=-\mathbf{S}\frac{\mathrm{\Gamma }dadbdc}{\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2}}.$$
10. Наиболее простым является тот случай, когда притягивающее тело представляет собою шар. В этом случае, если мы положим $\mathrm{\Gamma }=1$ и поместим центр шара в начале координат $x,y,z$ притягиваемой точки, то мы получим
$$\mathrm{\Sigma }=-\frac{m}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}};$$

здесь $m$ — объем сферы, который, как известно, равен $\frac{4\pi {\alpha }^3}{3}$, где $\alpha$ — радиус шара и $\pi$ — отношение окружности к диаметру.

Если бы плотность $\mathrm{\Gamma }$ внутри шара была переменной, то, рассматривая ее как функцию $\alpha$, мы имели бы $m=\mathbf{S}\mathrm{\Gamma }d\frac{4\pi {\alpha }^3}{3}$.

Можно определить значение $\mathrm{\Sigma }$ еще и в том случае, когда притягивающее тело представляет собою эллиптический сфероид, поверхность которого выражается с помощью формулы
$$\frac{a^2}{A^2}+\frac{b^2}{B^2}+\frac{c^2}{C^2}=1,$$

где $A,B,C$ представляют собою полуоси трех главных сечений и $a,b,c$ — прямоугольные координаты точек поверхности, отложенные на осях и имеющие своим началом общую точку пересечения осей, являющуюся центром сфероида. Однако общее выражение величины $\mathrm{\Sigma }$ зависит от довольно сложного интеграла, с помощью которого невозможно получить $\mathrm{\Sigma }$ в виде функции $x,y,z$.

Но если допустить, что сфероид мало отличается от сферы или же что расстояние притягиваемой точки от центра сфероида очень гелико по сравнению с его осями, можно общее значение $\mathrm{\Sigma }$ выразить с помощью сходящегося ряда, свободного от всякого интегрирования. Лаплас в своей \»Теории притяжения сфероидов» (\»Théorie des attractions des sphéroides»)*) дал очень красивую формулу, с помощью которой можно последовательно составить все члены ряда; эта формула в то же время показывает, что значение $\frac{\mathrm{\Sigma }}{\mathrm{m}}$, где $\mathrm{m}$ — масса сфероида, зависит исключительно от $B^2-A^2$ и $C^2-A^2$, которые представляют собою квадраты эксцентриситетов двух сечений, проходящих через одну и ту же полуось $A$.

Я установил, что, основываясь на этом выводе, а также пользуясь теоремой, данной мною в Mémoi-
*) CM. Mécanique céleste, t. Il, Livre III, Chap. I et II. (Прим. Бер:прана.)

res de Berlin за 1792-1793*), можно упомянутый ряд получить сразу, а именно, разложив корень
$$\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2-2by-2cz+b^2+c^2}}$$

по степеням $b$ и $c$ и сохранив только члены, содержащие четные степени $b$ и $c$, преобразовать каждый из них, например $H{b}^{2m}{c}^{2n}$, в
$$\frac{[1\cdot 3\cdot 5\cdots (2m-1)][1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)]H{(B^2-A^2)}^m{(C^2-A^2)}^n}{5\cdot 7\cdot 9\cdots (2m+2n+3)}\mathrm{m},$$

где $\mathrm{m}$ — объем сфероида, который равен $\frac{4\pi }{3}ABC$.
Итак, для того чтобы сразу получить ряд, рас. положенный по степеням $y$ и $z$, возьмем
$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

и затем сначала разложим корень $(r^2-2by-2cz+$ ${+b^2+c^2)}^{-\frac{1}{2}}$ по степеням $y$ и $z$; если мы при этом ограничимся только четными степенями, то мы получим
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{{(r^2+b^2+c^2)}^{\frac{1}{2}}}+\frac{3}{2}& \frac{b^2{y}^2+o^2{z}^2}{{(r^2+b^2+c^2)}^{\frac{5}{2}}}+\\ & +\frac{5\cdot 7b^4{\dot{y}}^4+6b^2{c}^2{y}^2{z}^2+c^4{z}^4}{8\frac{9}{{(r^2+b^2+c^2)}^{\frac{9}{2}}}}+\dots \end{array}$$

Затем разложим корень ${(r^2+b^2+c^2)}^{-\frac{1}{2}}$ по степеням $b^2$ и $c^2$ и преобразуем эти степени в степени $B^2-A^2$ и $C^2-A^2$ с помощью приведенной выше формулы. Если для упрощения положить
$$B^2-A^2=e^2,C^2-A^2=i^2,$$
*) CM. Oeuvres de Lagrange, t. V, p. 645.

где $e$ и $i$— эксцентриситеты двух эллипсов, образованных сечениями, проходящими через полуоси $A$, $B$ и $A,C$, то для $\mathrm{\Sigma }$ получится ряд следующего вида:
$$-\mathrm{m}(R+T{y}^2+V{z}^2+X{y}^4+Y{y}^2{z}^2+Z{z}^4+\dots ),$$

в котором
$$\begin{array}{l}R=\frac{1}{r}-\frac{e^2+i^2}{2\cdot 5r^2}+\frac{9(e^4+i^4)+6e^2{i}^2}{8\cdot 5\cdot 7r^5}+\dots ,\\ T=\frac{3e^2}{2\cdot 5r^5}-\frac{9e^4+3e^2{i}^3}{4\cdot 7r^2}+\dots ,\\ V=\frac{3i^2}{2\cdot 5r^5}-\frac{9i^4+3e^2{i}^2}{4\cdot 7r^7}+\dots ,\\ X=\frac{3e^4}{8r^9}+\dots ,Y=\frac{6e^2{i}^2}{8r^9}+\dots ,Z=\frac{3i^4}{8r^9}+\dots ,\dots \end{array}$$

Мы довели здесь приближение только до четвертого измерения $e$ и $i$, но его легко вести как угодно далеко.

Если бы сфероид был составлен из эллиптических слоев различной плотности, то, изменяя в выражении $\mathrm{\Sigma }$ величины $A,B,C$, а следовательно, также $e$ и $i$, мы получили бы $\mathbf{S}\mathrm{\Gamma }d\mathrm{\Sigma }$ в качестве значения $\mathrm{\Sigma }$ для этого сфероида.

После того как значение $\mathrm{\Sigma }$, таким образом, выражено в функции прямоугольных координат $x,y$, $z$ притягиваемой точки, мы непосредственно путем дифференцирования получаем силы $\frac{\partial \mathrm{\Sigma }}{\partial x},\frac{\partial \mathrm{\Sigma }}{\partial y},\frac{\partial \mathrm{\Sigma }}{\partial z}$ по осям координат, выражающие полное притяжение сфероида.

Если вместо координат $x,y$ и $z$ взять радиусвектор $r$ и два угла $\mu$ и $v$-такие, что
$$\begin{array}{l}x=r\cos \mu ,\\ y=r\sin \mu \sin u,\\ z=r\sin \mu \cos u,\end{array}$$

то с помощью приведенных ниже трех частных производных мы получим притяжение сфероида, вопервых, по направлению радиуса $r$, соединяющего притягиваемую точку с центром сфероида, во-вторых, перпендикулярно к этому радиусу в плоскости, проходящей через полуось $A$, и, в-третьих, перпендикулярно к тому же радиусу в плоскости, параллельной той, которая проходит через полуоси $B$ и $C$. Производные әти следующие: $\frac{\partial \mathrm{\Sigma }}{\partial r},\frac{1}{r}\frac{\partial \mathrm{\Sigma }}{\partial \mu },\frac{1}{r\sin \mu }\frac{\partial \mathrm{\Sigma }}{\partial u}$. Эти формулы особенно полезны в теории фигуры Земли.