7. Тождество
\[
P d p+Q d q+R d r+\ldots=X d x+Y d y+Z d z,
\]

установленное в пункте 1 , показывает, что система сил $P, Q, R, \ldots$, направленных по линиям $p, q, r, \ldots$, эквивалентна системе трех сил $X, Y, Z$, направленных по линиям $x, y, z$ (отд. II, п. 15). Таким образом величины $X, Y, Z$ дают значения сил $P, Q, R, \ldots$, разложенных по трем прямоугольным координатам $x, y, z$ и стремящихся укоротить эти координаты, подобно силам $P, Q, R, \ldots$, которые согласно допущению стремятся укоротить линии $p, q, r, \ldots$
8. Вообще, если какие-либо силы $P, Q, R, \ldots$, направленные по линиям $p, q, r, \ldots$, действуют на одну и ту же точку, можно все эти силы всегда свести к трем другим, направленным по линиям $\xi, \psi, \varphi$, при условии, что эти три линии не лежат в одной и той же плоскости. Ввиду того, что трех линий, расположенных в различных плоскостях, достаточно для определения положеняя любой точки в пространстве, длины линий $p, q, r, \ldots$ можно всегда выразить в функции трех величин $\xi, \psi, \varphi$; согласно теореме пункта 15 отдела II, силы $P, Q, R, \ldots$ будут тогда эквивалентны *) трем силам $\Xi, \Psi, \Phi$, значения которых выражаются с помощью $\qquad$
*) Мы уже выше отметили, что эта теорема подлежит ограничению. Это же замечание применимо и к выводам, которые здесь делаются из этой теоремы. См. статью Пуансо в конце настоящего тома. (I рим. Берпрана.)

нижеследующих формул:
\[
\begin{array}{l}
\Xi=P \frac{\partial p}{\partial \xi}+Q \frac{\partial q}{\partial \xi}+R \frac{\partial r}{\partial \xi}+\ldots \\
\Psi=P \frac{\partial p}{\partial \psi}+Q \frac{\partial q}{\partial \psi}+R \frac{\partial r}{\partial \psi}+\ldots, \\
\Phi=P \frac{\partial p}{\partial \varphi}+Q \frac{\partial q}{\partial \varphi}+R \frac{\partial r}{\partial \varphi}+\ldots
\end{array}
\]

и которые направлены по линиям $\xi, \psi, \varphi$ или же только по элементам $d \xi, d \psi, d \varphi$, если некоторые из этих линий являются кривыми.

Эти формулы оказываются весьма полезными во многих случаях; особенно, если речь идет о разыскании результата действия бесчисленного множества сил на одну точку, как, например, притяжения точки телом произвольного вида.
9. Пусть $m$ – масса тела, каждый из элементов которого $d m$ рассматривается нами как центр силы $P$, которая пропорциональна $d m$ и некоторой функции $f(p)$ расстояния $p$. Если положить $\int f(p) d p=F(p)$, то элемент $d m$ даст в выражении $\Xi$ член $\frac{\partial F(p)}{\partial \xi} d m$, интеграл которого по всей массе $m$ будет результатом притяжения этой массы. Так как это интегрирование является независимым от дифференцирования по $\xi$, то указанному интегралу можно дать и такой вид: $\frac{\partial}{\partial \xi} \mathbf{S} F(p) d m$, так что, положив
\[
\mathbf{S} F(p) d m=\Sigma,
\]

мы будем иметь
\[
\Xi=\frac{\partial \Sigma}{\partial \xi}, \quad \Psi=\frac{\partial \Sigma}{\partial \psi}, \quad \Phi=\frac{\partial \Sigma}{\partial \varphi} ;
\]

дальше придется только подставить в функцию $F(p)$ вместо $p$ его значение, выраженное в функции координат, определяющих положение в пространстве
каждой отдельной частицы $d m$, и координаты $\xi, \psi, \varphi$ притягиваемой точки, и затем отдельно произвести интегрирование по отношению к первым и дифференцирование по отношению ко вторым.

В том случае, который дает нам природа, мы имеем $f(p)=\frac{1}{p^{2}}$; следовательно, $F(p)=-\frac{1}{p}$, а значит, $\boldsymbol{\Sigma}=-\mathbf{S} \frac{d m}{p}$.

Пусть $a, b, c$-координаты любой частицы $d m$ тела; допустив, что плотность этой частицы выражается некоторой функцией $\Gamma$ координат $a, b, c$, ми будем иметь
\[
d m=\Gamma d a d b d c ;
\]

следовательно,
\[
\Sigma=-\mathbf{S} \frac{\Gamma d a d b d c}{p} .
\]

Если $x, y, z$ – координаты притягиваемой точки, то (п. 1)
\[
p=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}} ;
\]

следовательно,
\[
\boldsymbol{\Sigma}=-\mathbf{S} \frac{\Gamma d a d b d c}{\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}} .
\]
10. Наиболее простым является тот случай, когда притягивающее тело представляет собою шар. В этом случае, если мы положим $\Gamma=1$ и поместим центр шара в начале координат $x, y, z$ притягиваемой точки, то мы получим
\[
\Sigma=-\frac{m}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} ;
\]

здесь $m$ – объем сферы, который, как известно, равен $\frac{4 \pi \alpha^{3}}{3}$, где $\alpha$ – радиус шара и $\pi$ – отношение окружности к диаметру.

Если бы плотность $\Gamma$ внутри шара была переменной, то, рассматривая ее как функцию $\alpha$, мы имели бы $m=\mathbf{S} \Gamma d \frac{4 \pi \alpha^{3}}{3}$.

Можно определить значение $\Sigma$ еще и в том случае, когда притягивающее тело представляет собою эллиптический сфероид, поверхность которого выражается с помощью формулы
\[
\frac{a^{2}}{A^{2}}+\frac{b^{2}}{B^{2}}+\frac{c^{2}}{C^{2}}=1,
\]

где $A, B, C$ представляют собою полуоси трех главных сечений и $a, b, c$ – прямоугольные координаты точек поверхности, отложенные на осях и имеющие своим началом общую точку пересечения осей, являющуюся центром сфероида. Однако общее выражение величины $\Sigma$ зависит от довольно сложного интеграла, с помощью которого невозможно получить $\Sigma$ в виде функции $x, y, z$.

Но если допустить, что сфероид мало отличается от сферы или же что расстояние притягиваемой точки от центра сфероида очень гелико по сравнению с его осями, можно общее значение $\Sigma$ выразить с помощью сходящегося ряда, свободного от всякого интегрирования. Лаплас в своей \”Теории притяжения сфероидов» (\”Théorie des attractions des sphéroides»)*) дал очень красивую формулу, с помощью которой можно последовательно составить все члены ряда; эта формула в то же время показывает, что значение $\frac{\Sigma}{\mathrm{m}}$, где $\mathrm{m}$ – масса сфероида, зависит исключительно от $B^{2}-A^{2}$ и $C^{2}-A^{2}$, которые представляют собою квадраты эксцентриситетов двух сечений, проходящих через одну и ту же полуось $A$.

Я установил, что, основываясь на этом выводе, а также пользуясь теоремой, данной мною в Mémoi-
*) CM. Mécanique céleste, t. Il, Livre III, Chap. I et II. (Прим. Бер:прана.)

res de Berlin за 1792-1793*), можно упомянутый ряд получить сразу, а именно, разложив корень
\[
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 b y-2 c z+b^{2}+c^{2}}}
\]

по степеням $b$ и $c$ и сохранив только члены, содержащие четные степени $b$ и $c$, преобразовать каждый из них, например $H b^{2 m} c^{2 n}$, в
\[
\frac{[1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 m-1)][1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-1)] H\left(B^{2}-A^{2}\right)^{m}\left(C^{2}-A^{2}\right)^{n}}{5 \cdot 7 \cdot 9 \cdots(2 m+2 n+3)} \mathrm{m},
\]

где $\mathrm{m}$ – объем сфероида, который равен $\frac{4 \pi}{3} A B C$.
Итак, для того чтобы сразу получить ряд, рас. положенный по степеням $y$ и $z$, возьмем
\[
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
\]

и затем сначала разложим корень $\left(r^{2}-2 b y-2 c z+\right.$ $\left.+b^{2}+c^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}$ по степеням $y$ и $z$; если мы при этом ограничимся только четными степенями, то мы получим
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{\left(r^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}+\frac{3}{2} & \frac{b^{2} y^{2}+o^{2} z^{2}}{\left(r^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}+ \\
& +\frac{5 \cdot 7 b^{4} \dot{y}^{4}+6 b^{2} c^{2} y^{2} z^{2}+c^{4} z^{4}}{8 \frac{9}{\left(r^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{\frac{9}{2}}}}+\ldots
\end{aligned}
\]

Затем разложим корень $\left(r^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}$ по степеням $b^{2}$ и $c^{2}$ и преобразуем эти степени в степени $B^{2}-A^{2}$ и $C^{2}-A^{2}$ с помощью приведенной выше формулы. Если для упрощения положить
\[
B^{2}-A^{2}=e^{2}, \quad C^{2}-A^{2}=i^{2},
\]
*) CM. Oeuvres de Lagrange, t. V, p. 645.

где $e$ и $i$– эксцентриситеты двух эллипсов, образованных сечениями, проходящими через полуоси $A$, $B$ и $A, C$, то для $\Sigma$ получится ряд следующего вида:
\[
-\mathrm{m}\left(R+T y^{2}+V z^{2}+X y^{4}+Y y^{2} z^{2}+Z z^{4}+\ldots\right),
\]

в котором
\[
\begin{array}{l}
R=\frac{1}{r}-\frac{e^{2}+i^{2}}{2 \cdot 5 r^{2}}+\frac{9\left(e^{4}+i^{4}\right)+6 e^{2} i^{2}}{8 \cdot 5 \cdot 7 r^{5}}+\ldots, \\
T=\frac{3 e^{2}}{2 \cdot 5 r^{5}}-\frac{9 e^{4}+3 e^{2} i^{3}}{4 \cdot 7 r^{2}}+\ldots, \\
V=\frac{3 i^{2}}{2 \cdot 5 r^{5}}-\frac{9 i^{4}+3 e^{2} i^{2}}{4 \cdot 7 r^{7}}+\ldots, \\
X=\frac{3 e^{4}}{8 r^{9}}+\ldots, \quad Y=\frac{6 e^{2} i^{2}}{8 r^{9}}+\ldots, \quad Z=\frac{3 i^{4}}{8 r^{9}}+\ldots, \ldots
\end{array}
\]

Мы довели здесь приближение только до четвертого измерения $e$ и $i$, но его легко вести как угодно далеко.

Если бы сфероид был составлен из эллиптических слоев различной плотности, то, изменяя в выражении $\Sigma$ величины $A, B, C$, а следовательно, также $e$ и $i$, мы получили бы $\mathbf{S} \Gamma d \Sigma$ в качестве значения $\Sigma$ для этого сфероида.

После того как значение $\Sigma$, таким образом, выражено в функции прямоугольных координат $x, y$, $z$ притягиваемой точки, мы непосредственно путем дифференцирования получаем силы $\frac{\partial \Sigma}{\partial x}, \frac{\partial \Sigma}{\partial y}, \frac{\partial \Sigma}{\partial z}$ по осям координат, выражающие полное притяжение сфероида.

Если вместо координат $x, y$ и $z$ взять радиусвектор $r$ и два угла $\mu$ и $v$-такие, что
\[
\begin{array}{l}
x=r \cos \mu, \\
y=r \sin \mu \sin
u, \\
z=r \sin \mu \cos
u,
\end{array}
\]

то с помощью приведенных ниже трех частных производных мы получим притяжение сфероида, вопервых, по направлению радиуса $r$, соединяющего притягиваемую точку с центром сфероида, во-вторых, перпендикулярно к этому радиусу в плоскости, проходящей через полуось $A$, и, в-третьих, перпендикулярно к тому же радиусу в плоскости, параллельной той, которая проходит через полуоси $B$ и $C$. Производные әти следующие: $\frac{\partial \Sigma}{\partial r}, \frac{1}{r} \frac{\partial \Sigma}{\partial \mu}, \frac{1}{r \sin \mu} \frac{\partial \Sigma}{\partial
u}$. Эти формулы особенно полезны в теории фигуры Земли.