12. Рассмотрим прежде всего три тела, укрепленных неподвижно на нерастяжимой нити. Тогда условия задачи заключаются в том; что расстояние между первым телом и вторым, а также расстояние между вторым телом и третьим остаются неизменными, так как әти расстояния представляют собою длины соответствующих частей нити, заключенных между телами.

Назовем первое из этих расстояний $f$ и второе $g$; тогда мы в качестве условных уравнений имеем
$$df=0,dg=0;$$

следовательно,
$$dL=df,dM=dg,$$

и общее уравнение равновесия рассматриваемых трех тел будет иметь следующий вид:
$$\begin{array}{l}{X}^{\prime }d{x}^{\prime }+Y^{\prime }d{y}^{\prime }+Z^{\prime }d{z}^{\prime }+X^{\prime \prime }d{x}^{\prime \prime }+Y^{\prime \prime }d{y}^{\prime \prime }+Z^{\prime \prime }d{z}^{\prime \prime }+\\ +X^{\prime \prime \prime }d{x}^{\prime \prime \prime }+Y^{\prime \prime \prime }d{y}^{\prime \prime \prime }+Z^{\prime \prime \prime }d{z}^{\prime \prime \prime }+\lambda df+\mu dg=0.\end{array}$$

Но легко видеть, что
$$\begin{array}{l}f=\sqrt{{(x^{\prime \prime }-x^{\prime })}^2+{(y^{\prime \prime }-y^{\prime })}^2+{(z^{\prime \prime }-z^{\prime })}^2},\\ g=\sqrt{{(x^{\prime \prime \prime }-x^{\prime \prime })}^2+{(y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime })}^2+{(z^{\prime \prime \prime }-z^{\prime \prime })}^2}.\end{array}$$

Следовательно, путем дифференцирования мы получим
$$\begin{array}{l}df=\frac{(x^{\prime \prime }-x^{\prime })(d{x}^{\prime \prime }-d{x}^{\prime })+(y^{\prime \prime }-y^{\prime })(d{y}^{\prime \prime }-d{y}^{\prime })+(z^{\prime \prime }-z^{\prime })(d{z}^{\prime \prime }-d{z}^{\prime })}{f},\\ dg=\frac{(x^{\prime \prime \prime }-x^{\prime \prime })(d{x}^{\prime \prime \prime }-d{x}^{\prime \prime })+(y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime })(d{y}^{\prime \prime \prime }-d{y}^{\prime \prime })+(z^{\prime \prime \prime }-z^{\prime \prime })(d{z}^{\prime \prime \prime }-d{z}^{\prime \prime })}{g};\end{array}$$

подставляя эти значения получим девять следующих уравнений, которые и представляют собою условия равновесия нити:
$$\begin{array}{c}{X}^{\prime }-\lambda \frac{x^{\prime \prime }-x^{\prime }}{f}=0,X^{\prime \prime }+\lambda \frac{x^{\prime \prime }-x^{\prime }}{f}-\mu \frac{x^{\prime \prime \prime }-x^{\prime \prime }}{g}=0,\\ Y^{\prime }-\lambda \frac{y^{\prime \prime }-y^{\prime }}{f}=0,Y^{\prime \prime }+\lambda \frac{y^{\prime \prime }-y^{\prime }}{f}-\mu \frac{y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }}{g}=0,\\ Z^{\prime }-\lambda \frac{z^{\prime \prime }-z^{\prime }}{f}=0;Z^{\prime \prime }+\lambda \frac{z^{\prime \prime }-z^{\prime }}{f}-\mu \frac{z^{\prime \prime \prime }-z^{\prime \prime }}{g}=0;\\ X^{\prime \prime \prime }+\mu \frac{x^{\prime \prime \prime }-x^{\prime \prime }}{g}=0,Y^{\prime \prime \prime }+\mu \frac{y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }}{g}=0,\\ Z^{\prime \prime \prime }+\mu \frac{z^{\prime \prime \prime }-z^{\prime \prime }}{g}=0;\end{array}$$

остается только исключить из этих уравнений две неизвестные величины $\lambda$ и $\mu$. Это может быть выполнено различными путями, которые в результате и дадут для равновесия трех тел, укрепленных на нити, различные, или же различно выраженные, уравнения. Мы изберем тот метод, который представится наиболее простым.

Мы видим, прежде всего, что если первые три уравнения соответственно прибавить к следующим трем, а затем к последним трем уравнениям, то получатся следующие три уравнения, свободные от неизвестных $\lambda$ и $\mu$ :
$$\begin{array}{c}{X}^{\prime }+X^{\prime \prime }+X^{\prime \prime \prime }=0,\\ Y^{\prime }+Y^{\prime \prime }+Y^{\prime \prime \prime }=0,\\ Z^{\prime }+Z^{\prime \prime }+Z^{\prime \prime \prime }=0.\end{array}$$

Эти уравнения показывают, что суммы всех сил, параллслыных гаядой из трсх осей координат, должны быть равны нулю; они представляют собою случай общих уравнений, найденных в отделе III, § I.

Остается еще найти другие четыре уравнения; для этой цели, отвлекшись от первых трех уравнений, я прибавляю средние три уравнения соответственно к трем последним и получаю нижеследующие уравнения, в которые уже не входит $\mu$ :
$$\begin{array}{l}{X}^{\prime \prime }+X^{\prime \prime \prime }+\lambda \frac{x^{\prime \prime }-x^{\prime }}{f}=0,\\ Y^{\prime \prime }+Y^{\prime \prime \prime }+\lambda \frac{y^{\prime \prime }-y^{\prime }}{f}=0,\\ Z^{\prime \prime }+Z^{\prime \prime \prime }+\lambda \frac{z^n-z^{\prime }}{f}=0,\end{array}$$

и которые по исключении $\lambda$ дают два следующих уравнения:
$$\begin{array}{c}{Y}^{\prime \prime }+Y^{\prime \prime \prime }-\frac{y^n-y^{\prime }}{x^{\prime \prime }-x^{\prime }}(X^{\prime \prime }+X^{\prime \prime \prime })=0,\\ Z^{\prime \prime }+Z^{\prime \prime \prime }-\frac{z^{\prime \prime }-z^{\prime }}{x^{\prime \prime }-x^{\prime }}(X^{\prime \prime }+X^{\prime \prime \prime })=0.\end{array}$$

Наконец, рассмотрев отдельно три последних уравнения, содержащих только $\mu$, и исключив эту величину, мы получаем следующие два уравнения:
$$\begin{array}{l}{Y}^{\prime \prime \prime }-\frac{y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }}{x^{\prime \prime \prime }-x^{\prime \prime }}{X}^{\prime \prime \prime }=0\\ Z^{\prime \prime \prime }-\frac{z^{\prime \prime \prime }-z^{\prime \prime }}{x^{\prime n}-x^n}{X}^{\prime \prime \prime }=0.\end{array}$$

Приведенные семь уравнений*) содержат условия, необходимые для равновесия трех тел; а если их прибавить к уравнениям, выражающим условие, что $f$ и $g$ представляют собою определенные заданные величины, то мы получим достаточное число уравнений для определения положения в пространстве каждого из тел.
13. Если бы нить, которую мы все еще представляем себе нерастяжимой, была нагружена четырьмя телами, которые находились бы под действием соответствующих сил
$$X^{\prime },Y^{\prime },Z^{\prime };X^{\prime \prime },Y^{\prime \prime },Z^{\prime \prime },X^{\prime \prime \prime },\dots ,$$

направленных по трем осям прямоугольных координат, то с помощью аналогичных приемов, которые мне представляется излишним повторять, мы получили бы девять следующих уравнений для равнове- $$
*) Нетрудно заметить, что эти семь уравнений являются в известной мере очевидными а priori и что их можно было бы написать, не прибегая к принципу виртуальных скоростей. Но Лагранж не ставит себе целью трактовать каждый отдельный вопрос наиболее простым путем; он желает лишь показать, каким образом можно сделать ненужным специальное рассмотрение каждого отдельного случая и свести статикук простому механизму исчисления. Впрочем, Лагранж никогда не утверждал и не собирался утверждать, что именно таким путем следует подходить к изучению механики. (Прим. Бертрана.)

сия этих четырех тел:
$$\begin{array}{rl}{X}^{\prime }+X^{\prime \prime }+X^{\prime \prime \prime }+X^{\mathrm{IV}}& =0\\ Y^{\prime }+Y^{\prime \prime }+Y^{\prime \prime \prime }+Y^{\mathrm{IV}}& =0\\ Z^{\prime }+Z^{\prime \prime }+Z^{\prime \prime \prime }+Z^{\mathrm{IV}}& =0\\ Y^{\prime \prime }+Y^{\prime \prime \prime }+Y^{\mathrm{IV}}-\frac{y^n-y^{\prime }}{x^n-x^{\prime }}(X^{\prime \prime }+X^{\prime \prime \prime }+X^{\mathrm{IV}})& =0\\ Z^{\prime \prime }+Z^{\prime \prime \prime }+Z^{\mathrm{IV}}-\frac{z^{\prime \prime }-z^{\prime }}{x^{\prime \prime }-x^{\prime }}(X^{\prime \prime }+X^{\prime \prime \prime }+X^{\mathrm{IV}})& =0\\ Y^{\prime \prime \prime }+Y^{\mathrm{IV}}-\frac{y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }}{x^{\prime \prime \prime }-x^{\prime \prime }}(X^{\prime \prime \prime }+X^{\mathrm{IV}})& =0\\ Z^{\prime \prime \prime }+Z^{\mathrm{IV}}-\frac{z^{\prime \prime }-z^{\prime \prime }}{x^{\prime \prime \prime }-x^{\prime \prime }}(X^{\prime \prime \prime }+X^{\mathrm{IV}})& =0\\ Y^{\mathrm{IV}}-\frac{y^{\mathrm{IV}}-y^{\prime \prime \prime }}{x^{\mathrm{IV}}-x^{\prime \prime \prime }}{X}^{\mathrm{IV}}& =0,\\ Z^{\mathrm{IV}}-\frac{z^{\mathrm{IV}}-z^{\prime \prime \prime }}{x^{\mathrm{IV}}-x^{\prime \prime \prime }}{X}^{\mathrm{IV}}& =0.\end{array}$$

Теперь легко распространить указанное решениө на какое угодно число тел и даже на случай цепной линии; однако этот последний случай мы рассмотрим особо, пользуясь при этом методом, изложенным в § II предыдущего отдела.
14. Можно было бы получить решение, более простое в некоторых отношениях, если бы с самого начала ввести в исчисление неизменяемость расстояний $f,g,\dots$

Так, если ограничиться случаем трех гел и назвать $\psi ,{\psi }^{\prime }$ углы, образуемые линиямп $f$ и $g$ с плоскостью $x,y$, и $\phi ,{\phi }^{\prime }$ — углы, образуемые проекциями этих линий на ту же плоскость с осью $x$, то мы будем иметь
$$\begin{array}{ll}{x}^{\prime \prime }-x^{\prime }=f\cos \phi \cos \psi ,& x^{\prime \prime \prime }-x^{\prime \prime }=g\cos {\phi }^{\prime }\cos {\psi }^{\prime },\\ y^{\prime \prime }-y^{\prime }=f\sin \phi \cos \psi ,& y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }=g\sin {\phi }^{\prime }\cos {\psi }^{\prime },\\ z^{\prime \prime }-z^{\prime }=f\sin \psi ,& z^{\prime \prime \prime }-z^{\prime \prime }=g\sin {\psi }^{\prime }.\end{array}$$

Подставив значения $x^{\prime \prime },y^{\prime \prime },z^{\prime \prime },x^{\prime \prime \prime },y^{\prime \prime \prime },z^{\prime \prime \prime }$, найденные из этих уравнений, н общую формулу равновесия трех тел
$$\begin{array}{l}{X}^{\prime }d{x}^{\prime }+Y^{\prime }d{y}^{\prime }+Z^{\prime }d{z}^{\prime }+X^{\prime \prime }d{x}^{\prime \prime }+Y^{\prime \prime }d{y}^{\prime \prime }+Z^{\prime \prime }d{z}^{\prime \prime }+\\ +X^{\prime \prime \prime }d{x}^{\prime \prime \prime }+Y^{\prime \prime \prime }d{y}^{\prime \prime \prime }+Z^{\prime \prime \prime }d{z}^{\prime \prime \prime }=0\end{array}$$

и варьируя только величины $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },\phi ,{\phi }^{\prime },\psi ,{\psi }^{\prime }$, вариации которых остаются неопределенными, атакже приравняв отдельно нулю величины, умножающиеся на каждую из этих вариаций, мы получим семь уравнений
$$\begin{array}{l}{X}^{\prime }+X^{\prime \prime }+X^{\prime \prime \prime }=0,\\ Y^{\prime }+Y^{\prime \prime }+Y^{\prime \prime \prime }=0,\\ Z^{\prime }+Z^{\prime \prime }+Z^{\prime \prime \prime }=0,\\ (X^{\prime }+X^{\prime \prime \prime })\sin \phi -(Y^{\prime \prime }+Y^{\prime \prime \prime })\cos \phi =0,\\ X^{\prime \prime \prime }\sin {\phi }^{\prime }-Y^{\prime \prime \prime }\cos {\phi }^{\prime }=0,\\ (X^{\prime \prime }+X^{\prime \prime \prime })\cos \phi \sin \psi +(Y^{\prime \prime }+Y^{\prime \prime \prime })\sin \phi \sin \psi -\\ -(Z^{\prime \prime }+Z^{\prime \prime \prime })\cos \psi =0,\\ X^{\prime \prime \prime }\cos {\phi }^{\prime }\sin {\psi }^{\prime }+Y^{\prime \prime \prime }\sin {\phi }^{\prime }\sin {\psi }^{\prime }-Z^{\prime \prime \prime }\cos {\psi }^{\prime }=0,\end{array}$$

из которых первые пять прямо совпадают с теми уравнениями, которые были найдены в пункте 12 путем исключения неопределенных величин $\lambda$ и $\mu$, а последниө два уравнения легко сводятся к упомянутым выше, если с помощью четвертого и пятого уравнений исключить $y^{\prime \prime }$ и $y^{\prime \prime \prime }$.

Но если с помощью указанного приема мы быстрее приходим к окончательным уравнениям, то это- объясняется тем, что мы прибегаем к предварительному преобразованию переменных, которое включает условные уравнения; при непосредственном же применении уравнений с неопределенными коэффициентами, как в пункте 12 , решение задачи
сводится к чистой технике расчета. Сверх того, как мы сейчас увидим, благодаря этим коэффициентам мы в данном случае получаем значение сил, которые должны испытывать стержни $f$ и $g$ вследствие сопротивления, оказываемого ими растяжению.
15. Если бы мы пожелали, чтобы первое тело было закреплено неподвижно, тогда дифференциалы $d{x}^{\prime },d{y}^{\prime },d{z}^{\prime }$ были бы равны нулю и члены, связанные с этими дифференциалами, сами собою исчезли бы в общем уравнении равновесия. Тогда первые три уравнения пункта 12 , а именно:
$$\begin{array}{l}{X}^{\prime }-\lambda \frac{x^n-x^{\prime }}{f}=0,\\ Y^{\prime \prime }-\lambda \frac{y^{\prime \prime }-y^{\prime }}{f}=0,\\ Z^{\prime }-\lambda \frac{z^{\prime \prime }-z^{\prime }}{f}=0,\end{array}$$

уже не имели бы места; вследствие этого и уравнения
$$\begin{array}{rl}{X}^{\prime }+X^{\prime \prime }+X^{\prime \prime \prime }& =0\\ Y^{\prime }+Y^{\prime \prime }+Y^{\prime \prime \prime }& =0\\ Z^{\prime }+Z^{\prime \prime }+Z^{\prime \prime \prime }& =0\end{array}$$

отпали бы, но все остальные уравнения остались бы без изменения. Как видим, это соответствует случаю, когда нить неподвижно закреплена в одном из своих концов.

Если бы нить была закреплена в обоих своих концах, тогда мы имели бы не только $d{x}^{\prime }=0$, $d{y}^{\prime }=0,d{z}^{\prime }=0$, но сверх того и $d{x}^{\prime \prime \prime }=0,d{y}^{\prime \prime \prime }=0$, $d{z}^{\prime \prime \prime }=0$; члены, связанные с этими шестью дифференциалами в общем уравнении равновесия, исчезли бы, а следовательно, отпали бы и шесть связанных с ними частных уравнений.

Вообще же, если бы оба конца нити не были вполне свободны, но были бы прикреплены к двум точкам, движущимся согласно определенному заданному закону, то этот закон, выраженный аналитически, дал бы одно или несколько уравнений между дифференциалами $d{x}^{\prime },d{y}^{\prime },d{z}^{\prime }$, относящимися к первому телу, и дифференциалами $d{x}^{\prime \prime \prime },d{y}^{\prime \prime \prime },d{z}^{\prime \prime \prime }$, относящимися ко второму телу. Эти уравнения, помноженные каждое соответственно на новый неопределенный коэффициент, следовало бы прибавить к найденному выше общему уравнению равновесия; или же можно было бы подставить в это общее уравнение значение одного или нескольких из этих дифференциалов, полученных из упомянутых уравнений, и затем приравнять нулю коэффициенты каждого из оставшихся дифференциалов, как это было сделано выше (п. 14). Так как здесь не возникает никаких трудностей, то мы на этом больпе останавливаться не будем.
16. Для того чтобы определить силы, получающиеся вследствие реакции нити на различные тела, следует только воспользоваться методом, указанным для этой цели в предыдущем отделе (п. 5).

Примем в соображение, что в настоящем случае мы имеем
$dL=df=\frac{(x^{\prime \prime }-x^{\prime })(d{x}^{\prime \prime }-d{x}^{\prime })+(y^{\prime \prime }-y^{\prime })(d{y}^{\prime \prime }-d{y}^{\prime })+(z^{\prime \prime }-z^{\prime })(d{z}^{\prime \prime }-d{z}^{\prime })}{f}$,
$dM=dg=\frac{(x^{\prime \prime \prime }-x^{\prime \prime })(d{x}^{\prime \prime \prime }-d{x}^{\prime \prime })+(y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime })(d{y}^{\prime \prime \prime }-d{y}^{\prime \prime })+(z^{\prime \prime \prime }-z^{\prime \prime })(d{z}^{\prime \prime \prime }-d{z}^{\prime \prime })}{g}$,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Следовательно:
1) По отношению к первому телу, координаты которого равны $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$, мы имеем
$$\frac{\partial L}{\partial x^{\prime }}=-\frac{x^n-x^{\prime }}{f},\frac{\partial L}{\partial y^{\prime }}=-\frac{y^{\prime \prime }-y^{\prime }}{f},\frac{\partial L}{\partial z^{\prime }}=-\frac{z^{\prime \prime }-z^{\prime }}{f};$$

поэтому
$$\begin{array}{l}\sqrt{{\left(\frac{\partial L}{\partial x^{\prime }}\right)}^2+\left(\frac{\partial L}{\partial y^{\prime }}\right)+{\left(\frac{\partial L}{\partial z^{\prime }}\right)}^2}=\\ =\frac{\sqrt{{(x^{\prime \prime }-x^{\prime })}^2+{(y^{\prime \prime }-y^{\prime })}^2+{(z^{\prime \prime }-z^{\prime })}^2}}{f}=1\end{array}$$

Таким образом первое тело благодаря действию остальных приобретает силу, равную $\lambda$, направление которой перпендикулярно к поверхности, представленной уравнением $dL=df=0$, в котором просто варьируются $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$; но легко видеть, что эта поверхность представляет собою не что иное, как сферу, радиус которой равен $f$ и центр которой имеет своими координатами $x^{\prime \prime },y^{\prime \prime },z^n$; таким образом сила $\lambda$ будет направлена по радиусу этой сферы, т. е. по направлению нити, соединяющей первое и второе тело.
2) То же самое мы имеем по отношению ко второму төлу, координаты которого равны $x^{\prime \prime },y^{\prime \prime },z^{\prime \prime }$
$$\frac{\partial L}{\partial x^n}=\frac{x^n-x^{\prime }}{f},\frac{\partial L}{\partial y^n}=\frac{y^n-y^{\prime }}{f},\frac{\partial L}{\partial z^{\prime \prime }}=\frac{z^n-z^{\prime }}{f};$$

поэтому
$$\begin{array}{l}\sqrt{{\left(\frac{\partial L}{\partial x^n}\right)}^2+{\left(\frac{\partial L}{\partial y^n}\right)}^2+{\left(\frac{\partial L}{\partial z^{\prime \prime }}\right)}^2}=\\ =\frac{\sqrt{{(x^n-x^{\prime })}^2+{(y^{\prime \prime }-y^{\prime })}^2+{(z^n-z^{\prime })}^2}}{f}=1\end{array}$$

отсюда следует, что и второе тело получит силу $\lambda$, направленную перпендикулярно к поверхности, уравнение которой $dL=df=0$, если варьировать $x^{\prime \prime },y^{\prime \prime }$, $z^{\prime \prime }$;та поверхность опять-таки представляет собою сферу, радиус которой равен $f$, но центр имеет своими координатами $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$, т. е. координаты первого тела; таким образом сила $\lambda$, действующая на второе тело, будет тоже направлена по нити $f$, соединяющей это тело с первым.
3) Далее, по отношению ко второму телу, мы имеем еще
$$\frac{\partial M}{\partial x^{\prime \prime }}=-\frac{x^{\prime \prime \prime }-x^{\prime \prime }}{g},\frac{\partial M}{\partial y^{\prime \prime }}=—\frac{y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }}{g},\frac{\partial M}{\partial z^{\prime \prime }}=-\frac{z^{\prime \prime \prime }-z^n}{g},$$

следовательно,
$$\sqrt{{\left(\frac{\partial M}{\partial x^{\prime \prime }}\right)}^2+{\left(\frac{\partial M}{\partial y^{\prime \prime }}\right)}^2+{\left(\frac{\partial M}{\partial z^{\prime \prime }}\right)}^2}=1.$$

Таким образом второе тело будет испытывать еще действие силы, равной $\mu$, направление которой будет перпендикулярно к поверхности, выраженной уравнением $dg=0$, в котором варьируются $x^{\prime \prime },y^{\prime \prime }$, $z^{\prime \prime }$; эта поверхность будет представлять собою не что иное, как сферу, радиусом которой является $g$; отсюда следует, что сила $\mu$ будет направлена по этому радиусу, т. е. по линии, соединяющей второе тело с третьим.

Такие же рассуждения можно применить по отношению к другим телам и притти к аналогичным выводам.
17. Ясно, что сила $\lambda$, вызванная в первом теле по направлению нити, соединяющей это тело со следующим, а также сила, равная $\lambda$, но противоположно направленная, — действующая на второе тело по направлению той же нити, не могут быть не чем иным, как силами, получившимися в результате реакции нити на оба эти тела, т. е. натяжения, испытываемого частью нити, содержащейся между первым телом и вторым, так что коэффициент $\lambda$ выражает величину этого натяжения. Точно так же коэффициент $\mu$ выражает натяжение части нити, содержащейся между вторым телом и третьим, и так далее.

Впрочем, при разрешении настоящей задачи мы модча допускали, что каждая часть нити не только нерастяжима, но и неспособна сокращаться, так что она сохраняет повсюду одну и ту же длину; следовательно, силы $\lambda ,\mu ,\dots$ выражают натяжения только тогда, когда они положительны и стремятся сблизить тела; но если бы они оказались отрицательными и стремились удалить тела друг от друга, то они скорее выражали бы те сопротивления, которые нить должна оказывать телам бтагодаря своей жесткости или несжимаемости.
18. Для того чтобы подтвердить доказанное нами выше и одновременно показать новое применение нашего метода, предположим, что нить, на которой укреплены тела, упруга по направлению своей длины и способна удлиняться и укорачиваться, и допустим, что $F,G,\dots$ представляют собою силы сокращения соответствующих частей $f,g,\dots$ нити, содержащихся между первым телом и вторым, между вторым телом и третьим, и так далее.

На основании сказанного в пункте 9*) отдела II ясно, что силы $F,G,\dots$ дадут моменты $Fdf+$ $+Gdg+\dots$

Следовательно, эти моменты надлежит прибавить к тем, которые получаются вследствие действия внешних сил и выражаются, как мы видели выше (п. 11), следующей формулой:
$$\begin{array}{rl}{X}^{\prime }d{x}^{\prime }+Y^{\prime }d{y}^{\prime }& +Z^{\prime }d{z}^{\prime }+X^{\prime \prime }d{x}^{\prime \prime }+Y^{\prime \prime }d{y}^{\prime \prime }+\\ & +Z^{\prime \prime }d{z}^{\prime \prime }+X^{\prime \prime \prime }d{x}^{\prime \prime \prime }+Y^{\prime \prime \prime }d{y}^{\prime \prime \prime }+Z^{\prime \prime \prime }d{z}^{\prime \prime \prime }+\dots ,\end{array}$$

после чего мы будем иметь общую сумму моментов системы. Поскольку сверх того не имеется никаких особых условий, которым должно быть подчинено расположение тел, мы получим общее уравнение равно-
*) Для исчисления этих моментов было бы лучше отослать читателя к пункту 4 отдела II; там можно найти доказательство указанного здесь результата. Что же касается пункта 9 , то мы уже отметили, что он предполагает применение видоизмененной терминологии, которая связана с известными неудобствами. (Прим. Вертрана.)

весия, приравняв просто рассматриваемую сумму нулю; следовательно, мы будем иметь
$$\begin{array}{l}{X}^{\prime }d{x}^{\prime }+Y^{\prime }d{y}^{\prime }+Z^{\prime }d{z}^{\prime }+X^{\prime \prime }d{x}^{\prime \prime }+Y^{\prime \prime }d{y}^{\prime \prime }+Z^{\prime \prime }d{z}^{\prime \prime }+\\ +X^{\prime \prime \prime }d{x}^{\prime \prime \prime }+Y^{\prime \prime \prime }d{y}^{\prime \prime \prime }+Z^{\prime \prime \prime }d{z}^{\prime \prime \prime }+\dots +\\ +Fdf+Gdg+\dots =0.\end{array}$$

Подставив сюда найденные выше (п. 12) значения $df,dg,\dots$ п приравняв нулю суммы членов, связанных с каждым из дифференциалов $d{x}^{\prime },d{y}^{\prime },\dots$, мы получим следующие уравнения для равновесия нити в рассматриваемом случае:
$$\begin{array}{r}{X}^{\prime }-F\frac{x^n-x^{\prime }}{f}=0,X^{\prime \prime }+F\frac{x^{\prime \prime }-x^{\prime }}{f}-G\frac{x^{\prime \prime \prime }-x^n}{g}=0,\\ Y^{\prime }-F\frac{y^{\prime \prime }-y^{\prime }}{f}=0,Y^{\prime \prime }+F\frac{y^{\prime \prime }-y^{\prime }}{f}-G\frac{y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }}{g}=0,\\ Z^{\prime }-F\frac{z^{\prime \prime }-z^{\prime }}{f}=0,Z^{\prime \prime }+F\frac{z^{\prime \prime }-z^{\prime }}{f}-G\frac{z^{\prime \prime \prime }-z^{\prime \prime }}{g}=0,\\ X^{\prime \prime \prime }+G\frac{x^{\prime \prime \prime }-x^{\prime \prime }}{g}=0,\\ Y^{\prime \prime \prime }+G\frac{y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }}{g}=0,\\ Z^{\prime \prime \prime }+G\frac{z^{\prime \prime \prime }-z^{\prime \prime }}{g}=0;\end{array}$$

эти уравнения аналогичны тем, которые были получены в п. 12 для случая нерастяжимой нити, если положить $\lambda =F,\mu =G,\dots$

Отсюда ясно, что величины $F,G,\dots ,\ast )$, выражающие в настоящем случае силы в нитях,
*) A priori ясно, что это должно быть так, и если Лагранж не отмечает этого обстоятельства, то это объясняется соображением, указанным выше (п. 12). В самом деле, понятно, что если равновесие однажды установилось и нить приняла известную длину, которая уже больше не изменяется, то безразлично, была ли эта длина подчинена условию, что она должна оставаться неизменной, или же нет. (II рим. Бертрана:)

предполагаемых упругими, являются теми же величинами, которые мы нашли выше (п. 16) для сил тех же нитей — в предположении, что они нерастяжимы.
19. Вернемся еще к случаю нерастяжимой нити, нагруженной тремя телами, но в то же время предположим, что среднее тело может перемещаться вдоль нити; в этом случае условие задачи будет заключаться в том, что сумма расстояний между первым телом и вторым и между вторым телом и третьим остается неизменной; следовательно, если мы эти расстояния попрежнему назовем $f$ и $g$, то будем иметь $f+g=$ const и, следовательно, $df+dg=0$.

Умножим дифференциальную величину $df+dg$ на неопределенный коэффициент $\lambda$ и прибавим его к сумме моментов равличных сил, которые согласно допущенлю действуют на тела; это даст нам следующее общее уравнение равновесия:
$$\begin{array}{l}{X}^{\prime }d{x}^{\prime }+Y^{\prime }d{y}^{\prime }+Z^{\prime }d{z}^{\prime }+X^{\prime \prime }d{x}^{\prime \prime }+Y^{\prime \prime }d{y}^{\prime \prime }+Z^{n}d{z}^{\prime \prime }+\\ +X^{\prime \prime \prime }d{x}^{\prime \prime \prime }+Y^{\prime \prime \prime }d{y}^{\prime \prime \prime }+Z^{\prime \prime \prime }d{z}^{\prime \prime \prime }+\lambda (df+dg)=0,\end{array}$$

откуда (подставив значения $df$ и $dg$ и приравняв нулю сумму членов, в состав которых входит один и тот же дифферендиал $d{x}^{\prime },d{y}^{\prime },\dots )$, мы получим следующие уравнения равновесия нити:
$$\begin{array}{c}{X}^{\prime }-\lambda \frac{x^{\prime \prime }-x^{\prime }}{f}=0,\\ Y^{\prime }-\lambda \frac{y^{\prime \prime }-y^{\prime }}{f}=0,\\ Z^{\prime }-\lambda \frac{z^{\prime \prime }-z^{\prime }}{f}=0,\\ X^{\prime \prime }+\lambda (\frac{x^{\prime \prime }-x^{\prime }}{f}-\frac{x^{\prime \prime \prime }-x^{\prime \prime }}{g})=0,X^{i\prime \prime }+\lambda \frac{x^{\prime \prime \prime }-x^{\prime \prime }}{g}=0,\\ Y^{\prime \prime }+\lambda (\frac{y^{\prime \prime }-y^{\prime }}{f}-\frac{y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }}{g})=0,Y^{\prime \prime \prime }+\lambda \frac{y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }}{g}=0,\\ Z^{\prime \prime }+\lambda (\frac{z^{\prime \prime }-z^{\prime }}{f}-\frac{z^{\prime \prime \prime }-z^{\prime \prime }}{g})=0,Z^{\prime \prime \prime }+\lambda \frac{z^{\prime \prime \prime }-z^{\prime \prime }}{g}=0,\end{array}$$

из которых придется лишь исключить неизвестную величину $\lambda$.

Отсюда ясно, как следует поступать в том случае, когда имеется большее количество тел, из которых одни закреплены неподвижно на нити, а другие могут свободно перемещаться по ней.