1. Когда силы, действующие на систему тел, распределены соответственно законам, изложенным в первой части настоящего сочинения, то эти силы взаимно уничтожаются и система остается в равновесии. Но если равновесия не существует, то тела необходимо должны двигаться, подчиняясь полностью или частично влиянию действующих на них сил. Определение движений, вызываемых заданными силами, и составляет предмет настоящей второй части \”Аналитической механики\”.

Мы будем рассматривать главным образом силы ускоряющие и замедляющие, действие которых, подобно действию силы тяжести, непрерывно и которые стремятся каждое мгновение сообщить бесконечно малую и одинаковую для всех частиц материи скорость.

В том случае, когда эти силы действуют свободно и равномерно, они необходимо вызывают скорости, которые возрастают пропорционально времени; сообщенные таким образом за заданное время скорости можно рассматривать, как наиболее простое действие этого рода сил, которое, следовательно, является наиболее подходящим для измерения. Простые действия этих сил следует в механике считать известными, и все искусство этой науки заключается лишь в том, чтобы 21 ж. Лагранж, т. I

вывести из них сложные явления, которые должны получиться в результате ссединенного и видоизмененного действия этих сил.
2. Итак, допустим, что для каждой ускоряющей силы известна скорость, какую она способна сообщить в течение определенного промежутка в ремени, который мы примем в качестве единицы времени, движущемуся телу, действуя на него все время одинаковым образом, и будем измерять ускоряющую силу именно с помощью этой самой скорости; последняя же в свою очередь должна измеряться тем пространством, которое движущееся тело прошло бы в течение такого же времени, если бы оно продолжало двигаться равномерно; на основании теорем Галилея известно, что это пространство всегда вдвое больше пространства, фактически проходимого телом под постоянным действием ускоряющей силы.

Вообще можно какую-нибудь известную ускоряющую силу принять в качестве единицы и к ней относить все прочие силы. Тогда в качестве единицы пространства следует принять удвоенную величину того пространства, которое под влиянием той же равномерно действующей силы тело пройдет в течение промежутка времени, принятого в качестве единицы времени, а скорость, полученная за то же время под постоянным действием той же силы, будет в этом случае единицей скоростей.

Таким образом, силы, пространства, времена и скорости явятся лищь простыми отношениями, обыкновенными математическими количествами.

Так, например, если в качестве единицы ускоряющих сил принять силу тяжести на широте Парижа и время измерять в секундах, то тогда следует 30,196 парижских фута принять в качестве единицы пройденных пространств, так как 15,098 – это высота, с какой на этой широте падает в одну секунду тело, предоставленное самому себе; в этом случае единицей скоростей будет та скорость, которую падающее тело приобретает, пройдя указанную высоту.

3. Установив эти предварительные определения, рассмотрим систему тел, расположенных совершенно произвольным образом и находящихся под действием любых ускоряющих сил.

Пусть $m$ – масса любого из этих тел, которое мы будем рассматривать в качестве точки; для простоты отнесем абсолютное положение этого тела к конду любого промежутка времени $t$ к трем прямоугольным координатам $x, y, z$. Эти координаты мы будем предполагать всегда параллельными трем осям, неподвижным в пространстве, и пересекающимися под прямыми углами в одной точке, называемой началом координат; тогда, следовательно, эти координаты выразят прямолинейные расстояния тела от трех плоскостей, проходящих через эти же оси.

В силу взаимной перпендикулярности указанных плоскостей координаты $x, y, z$ выражают те расстояния, на которые тело при своем движении отдаляется от этих плоскостей, следовательно,
\[
\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}
\]

выразят те скорости, которые рассматриваемое тело имеет в некоторое мгновение, чтобы удалиться от каждой из этих плоскостей и двигаться в сторону возрастающих координат; если бы тело было затем предоставлено самому себе, то согласно основным принципам теории движения эти скорости остались бы в последующие мгновения постоянными.

Однако, вследствие существования между телами связи и под действием влияющих на них ускоряющих сил, эти скорости в течение мгновения $d t$ получают приращения
\[
d \frac{d x}{d t}, d \frac{d y}{d t}, d \frac{d z}{d t},
\]

которые надлежит определить. Эти приращения можно рассматривать как новые скорости, сообщенные каждому телу, и если их разделить на $d t$, то мы будем
иметь меру ускоряющих сил, необходимых для того, чтобы вызвать эти приращения; в самом деле, как бы ни менялось действие какой-либо силы, согласно природе дифференциального исчисления мы можем ее всегда считать постоянной в течение бесконечно малого времени; тогда скорость, сообщенная этой силой, пропорциональна произведению силы на время; следовательно, сама сила будет выражена с помощью отношения скорости ко времени.

Если элемент времени $d t$ считать постоянным, то рассматриваемые ускоряющие силы выразятся через
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}, \frac{d^{2} y}{d t^{2}}, \frac{d^{2} z}{d t^{2}}
\]

а если әти силы помножить на массу $m$ тела, на которое они действуют, то
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}, m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}, m \frac{d^{2} z}{d t^{2}}
\]

выразят силы, примененные непосредственно для того, чтобы в течение времени $d t$ двигать тело $m$ параллельно осям координат $x, y, z$. Таким образом каждое тело $m$ системы можно рассматривать как находящееся под действием подобных сил; следовательно, все эти силы должны быть эквивалентны тем силам, под влиянием которых согласно допущению находится система и действие которых видоизменяется вследствие природы самой системы; поәтому согласно теореме, приведенной в «Статике» (отд. 11, п. 15), сумма «моментов» первых всегда должна быть равна сумме «моментов» вторых.
4. В дальнейшем мы будем применять обычный знак $d$ для обозначения дифференциалов по времени, а вариации, выражающие виртуальные скорости, мы будем обозначать знаком $\delta$, как мы это уже делали и раньше при разрешении некоторых вопросов в \”Статике».

Тогда мы будем иметь
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \delta x, \quad m \frac{d^{2} y}{d t^{2}} \delta y, \quad m \frac{d^{2} z}{d t^{2}} \delta z
\]

для моментов сил
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}, \quad m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}, \quad m \frac{d^{2} z}{d t^{2}},
\]

действующих по направлению координат $x, y, z$ и стремящихся увеличить әти координаты; сумма их моментов может быть, таким образом, выражена с помощью формулы
\[
\mathbf{S} m\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \delta x+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \delta y+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \delta z\right),
\]

если допустить, что знак интегрирования $\mathbf{S}$ распространяется на все тела системы.
5. Пусть теперь $P, Q, R, \ldots$ суть заданные ускоряющие силы, действующие на каждое тело системы по направлению соответствующих центров, к которым согласно допущению направлены эти силы, и пусть $p, q, r, \ldots$ прямолинейные расстояния каждого из этих тел от тех же центров. Тогда дифференциалы $\delta p$, $\delta q, \delta r, \ldots$ представят вариации линий $p, q, r, \ldots$, зависящие от вариаций $\delta x, \delta y, \delta z$ координат $x, y, z$ тела $m$. Но так как эти силы $P, Q, R, \ldots$ согласно нашему представлению стремятся уменьшить эти линии, то их виртуальные скорости должны быть выражены через – $\delta p,-\delta q,-\delta r, \ldots$ (Статика, отд. II, п. 3 ); следовательно, моменты сил $m P, m Q, m R, \ldots$ выразятся через $-m P \delta p,-m Q \delta q,-m R \delta r, \ldots$, а сумма моментов всех этих сил составит
\[
-\mathbf{S} m(P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots) .
\]

Следовательно, если эту сумму приравнять сумме, приведенной в предыдущем пункте, мы получим
\[
\begin{aligned}
\mathbf{S} m\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \delta x\right. & \left.+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \delta y+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \delta z\right)= \\
& =-\mathbf{S} m(P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots)
\end{aligned}
\]

или, перенеся правую часть влево,
\[
\begin{aligned}
\mathbf{S} m\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \delta x\right. & \left.+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \delta y+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \delta z\right)+ \\
& +\mathbf{S} m(P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots)=0 .
\end{aligned}
\]

Такова общая формула динамики для движения любой системы тел.
6. Ясно, что эта формула отличается от общей формулы статики (Статика, отд. II) только членами, происходящими от сил $m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}, m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}, \quad m \frac{d^{2} z}{d t^{2}}$, вызывающих ускорение тела по направлению возрастающих координат $x, y, z$. В самом деле, в предыдущем отделе (п. 11) мы видели, что эти силы, взятые в противоположном направлении, т.е. таким образом, как если бы они стремились укоротить линии $x, y, z$, должны уравновесить действующие силы $P, Q, R, \ldots$, которые согласно предположению должны стремиться укоротить линии $p, q, r, \ldots$ Таким образом следует только к «моментам» последних сил прибавить «моменты» сил $m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}, m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}, m \frac{d^{2} z}{d t^{2}}$ для каждого из тел $m$, чтобы от условий равновесия тотчас же перейти к свойствам движения (Статика, отд. II, п. 4).
7. Таким образом те же самыө правила, какие были даны нами в «Статике» (отд. II) для вывода общей формулы статики, могут быть применены и к общей формуле динамики. При этом следует лишь иметь в виду:
1) что дифференциалы, которые мы для выражения вариации там обозначили через $d$, дальше будут всегда обозначаться через $\delta$;
2) что знак $d$ будет всегда относиться ко времени $t$, равно как и соответствующий символ $\int$ для интегрирования, за исключением частных дифферендиалов, где безразлично, какой символ взят;

3) что для выражения әлементов кривой, или поверхности, или вообще системы, состоящей из бесконечного числа частиц, будет всегда применяться знак $D$, соответствующий символу интегрирования $\mathbf{S}$. Следовательно, если формулы, выведенные нами для равновесия (Статика, отд. V, гл. III и IV), мы захотим распространить и на движение, то следует повсюду знак $d$ заменить знаком $D$, и тогда мы будем иметь выражение для суммы моментов всех сил.
8. Если движение происходит в сопротивляющейся среде, то сопротивление среды можно рассматривать как силу, которая действует в направлении, противоположном направлению движения тела, и которую, следовательно, можно считать направленной к некоторой точке на касательной.

Допустим, что сопротивление равно $R$. Для того чтобы получить момент этой силы – $R \delta r$, следует только принять во внимание, что вообще
\[
r=\sqrt{(x-l)^{2}+(y-m)^{2}+(z-n)^{2}},
\]

где $l, m, n$ представляют собою координаты центра силы $R$; поэтому
\[
\delta r=\frac{x-l}{\boldsymbol{r}} \delta x+\frac{y-m}{r} \delta y+\frac{z-n}{r} \delta z .
\]

Возьмем центр силы $R$ на касательной к кривой, описываемой телом, и очень близко от последнего; для этой цели положим
\[
x-l=d x, \quad y-m=d y, \quad z-n=d z ;
\]

если $d s$ обозначает элемент кривой, то это даст
\[
\frac{x-l}{r}=\frac{d x}{d s}, \frac{y-m}{r}=\frac{d y}{d s}, \frac{z-n}{z}=\frac{d z}{d s},
\]

и, следовательно,
\[
\delta r=\frac{d x}{d s} \delta x+\frac{d y}{d s} \delta y+\frac{d z}{d s} \delta z .
\]

Если сопротивляющаяся среда находится в движении, то это движение следует сложить с движением тела, для того, чтобы получить направление силы сопротивления. Назовем $d \alpha, d \beta, d \gamma$ малые пути, проходимые средой параллельно осям координат $x$, $y, z$, в то время как тело описывает путь $d s$; тогда следует только ити величины вычесть из $d x, d y, d z$, чтобы получить относительные движения. Так как
\[
d s:=\sqrt{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}},
\]

то, если мы положим
\[
d \sigma=\sqrt{(d x-d \alpha)^{2}}+(d y-d \beta)^{2}+(d z-d \gamma)^{2},
\]

мы в этом случае получим
\[
\delta r=\frac{d x-d \alpha}{d \sigma} \delta x+\frac{d y-d \beta}{d \sigma} \delta y+\frac{d z-d \gamma}{d \sigma} \delta z .
\]

Что касается \”сопротивления $R$, то оно обычно является функцией скорости $\frac{d s}{d t}$; но в том случае, когда среда находится в движении, оно будет функцией относительной скорости $\frac{d \sigma}{d t}$.

Указанным путем можно применить наши общие формулы к движениям, происходящим в согротивляющихся средах, не имея надобности при этом прибегать к какому-либо особому рассмотрению этих видов движений.
9. Важно отметить, что выражение
\[
d^{2} x \delta x+d^{2} y \delta y+d^{2} z \delta z,
\]

которым общая формула динамики отличается от общей формулы статики (п. 5), не зависит от полонения осей координат $x, y, z$.

В самом деле, предположим, что вместо этих координат мы подставим другие прямоугольные координаты $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, имеющие то же начало, но отнесенные к другим осям. Согласно формулам преобразования координат, приведенным в «Статике» (отд. III, п. 10), мы имеем
\[
\begin{array}{l}
x=\alpha x^{\prime}+\beta y^{\prime}+\gamma z^{\prime}, \\
y=\alpha^{\prime} x^{\prime}+\beta^{\prime} y^{\prime}+\gamma^{\prime} z^{\prime}, \\
z=\alpha^{\prime \prime} x^{\prime}+\beta^{\prime \prime} y^{\prime}+\gamma^{\prime \prime} z^{\prime} .
\end{array}
\]

Если мы продифференцируем эти выражения, рассматривая при этом все коәффициенты $\alpha, \beta, \gamma, \alpha^{\prime}, \ldots$ как постоянные и новые координаты $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ как единственные переменные, то мы получим
\[
\begin{array}{l}
d^{2} x=\alpha d^{2} x^{\prime}+\beta d^{2} y^{\prime}+\gamma d^{2} z^{\prime} \\
d^{2} y=\alpha^{\prime} d^{2} x^{\prime}+\beta^{\prime} d^{2} y^{\prime}+\gamma^{\prime} d^{2} z^{\prime} \\
d^{2} z=\alpha^{\prime \prime} d^{2} x^{\prime}+\beta^{\prime \prime} d^{2} y^{\prime}+\gamma^{\prime \prime} d^{2} z^{\prime}
\end{array}
\]

Точно так же мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\delta x=\alpha \delta x^{\prime}+\beta \delta y^{\prime}+\gamma \delta z^{\prime}, \\
\delta y=\alpha^{\prime} \delta x^{\prime}+\beta^{\prime} \delta y^{\prime}+\gamma^{\prime} \delta z^{\prime}, \\
\delta z=\alpha^{\prime \prime} \delta x^{\prime}+\beta^{\prime \prime} \delta y^{\prime}+\gamma^{\prime \prime} \delta z^{\prime} .
\end{array}
\]

Подставив эти значения и приняв во внимание условные уравнения между коэффициентами $\alpha, \beta, \gamma$, $\alpha^{\prime}, \ldots$, приведенные в упомянутом выше пункте, мы получим
\[
d^{2} x \delta x+d^{2} y \delta y+d^{2} z \delta z=d^{2} x^{\prime} \delta x^{\prime}+d^{2} y^{\prime} \delta y^{\prime}+d^{2} z^{\prime} \delta z^{\prime} .
\]

Если произвести такие же подстановки в выражениях для прямолинейных расстояний между различными телами системы, представляемых с помощью p, q,.., то легко видеть, что величины $\alpha$, $\beta, \gamma, \alpha^{\prime}, \ldots$ исчезнут и что преобразованные выражения сохранят тот же вид. В самом деле мы имеем
\[
\cdot \mathrm{p}=\sqrt{(x-\mathrm{x})^{2}+(y-\mathrm{y})^{2}+(z-\mathrm{z})^{2}},
\]

где $x, y, z$ являются координатами тела $m, \mathbf{a} \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}-$ координаты другого тела $\mathrm{m}$, отнесенные к тем же осям. Благодаря изменению осей, первые из этих координат превращаются в $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, а если мы через $\mathbf{x}^{\prime}, \mathrm{y}^{\prime}, \mathrm{z}^{\prime}$ обозначим новые значения последних. то мы будем также иметь
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{x}=\alpha \mathbf{x}^{\prime}+\beta \mathrm{y}^{\prime}+\gamma^{\prime}, \\
\mathbf{y}=\alpha^{\prime} \mathbf{x}^{\prime}+\beta^{\prime} \mathbf{y}^{\prime}+\gamma^{\prime} \mathbf{z}^{\prime}, \\
\mathrm{z}=\alpha^{\prime \prime} \mathbf{x}^{\prime}+\beta^{\prime \prime} \mathrm{y}^{\prime}+\gamma^{\prime \prime} \mathbf{z}^{\prime} .
\end{array}
\]

Произведя подсэановку и приняв во внимание те же условные уравнения, мы получим
\[
\mathbf{p}=\sqrt{\left(\overline{x^{\prime}}-\mathbf{x}^{\prime}\right)^{2}+\left(y^{\prime}-\mathrm{y}^{\prime}\right)^{2}+\left(z^{\prime}-\mathrm{z}^{\prime}\right)^{2}} ;
\]

подобные же выражения получатся для аналогичных величин $q, r, \ldots$
10. Отсюда следует, что если система находится только под действием внутренних сил $P, Q, \ldots$, пропорциональных каким-либо функциям расстояний $\mathrm{p}, \mathrm{q}, \ldots$ между телами, если только условця системы зависят лишь от взаимного расположения тел, так что условные уравнения связывают между собою только различные линии $p, q, \ldots$, то общая формула динамики (п. 5) имеет для преобразованных координат $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ тот же вид, что и для первоначальных координат $x, y, z$. После того как путем интегрирования различных уравнений, выведенных из этой формулы, мы нашли значения координат $x, y, z$ каждого тела $\eta$, выраженные в качестве функций времени, можно эти координаты $x, y, z$ преобразовать в какие-либо другие $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, пользуясь следующими уравнениями:
\[
\begin{array}{l}
x=\alpha x^{\prime}+\beta y^{\prime}+\gamma^{\prime}, \\
y=\alpha^{\prime} x^{\prime}+\beta^{\prime} y^{\prime}+\gamma^{\prime} z^{\prime}, \\
z=\alpha^{\prime \prime} x^{\prime}+\gamma^{\prime \prime} y^{\prime}+\gamma^{\prime \prime} z^{\prime},
\end{array}
\]

в которых девять коэффициентов $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$ содержат три неопределенных величины, так как между ними существует шесть условных уравнений.

Если значения $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ содержат в себе все произвольные постоянные, необходимые для полного определения разлитных интегралов, то три упомянутые неизвестные величины сольются с этими произвольными постоянными; но они могут возместить собою недостающие величины, отсутствие которых делает решение неполным. Таким образом с помощью этих трех новых произвольных величин, которые могут быть введены к концу вычислений, мы получаем возможность полюжить равными нулю, или равными каким-либо определенным величинам, такое же количество произвольных постоянных, что зачастую приводит к облегчению и упрощению расчета.
11. Хотя действия импульса и удара можно всегда ввести в вычисления подобно действиям ускоряющих сил тем не менее в тех случаях, когда определяется только общая величина сообщенной скорости, можно избавиться от рассмотрения последовательных шриращений, и импульсивные силы можно принять просто әквивалентными сообщенным движениям.

Итак, пусть $P, Q, R, \ldots$ будут импульсивные силы, приложенные к какому-либо телу $m$ системы, направленные по линиям $p, q, r, \ldots$; предцоложим, что скорость, сообщенная этому телу, разложена на три скорости $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ по направлениям координат $x$, $y, z$; тогда, как в пункте 5 , заменив ускоряющие силы $\frac{d^{2} x}{d t^{2}}, \frac{d^{2} y}{d t^{2}}, \frac{d^{2} z}{d t^{2}}$ скоростями $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$, мы получим обцее уравнение
$\mathbf{S} m(\dot{x} \delta x+\dot{y} \delta y+\dot{z} \delta z)+\mathbf{S}(p \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots)=0$.
Это уравнение даст столько частных уравнений, сколько останется независимых вариаций, после того, как все вариации, обозначенные знаком $\delta$, мы сведем, в соответствии с условиями системы, к минимальному возможному их числу.