19. Вариационное исчисление не толыно находит одинаковое применение в проблемах равновесия сплошных тел и в проблемах о максимумах и минимумах интегральных выражений, но оно дает возможность установить между этими двумя видами проблем замечательную аналогию, которую мы ниже п ивложим.

Мы начнем с того, что дадим общую формулу для вариации любой дифференциальной функции многих переменных.

Известно, что в функциях нескольких переменных и их дифференциалов порядка выше первого всегда можно один из первых дифференциалов принять за постоянную величину, что упрощает функцию, нискольк не уменьшая ее общности; но тогда при дифференцировании в смысле символа $\delta$ следует рассматривать в качестве постоянной и ту переменную, дџфференциал которой был принят в качестве постоянной; если же желают сообщить вариации всем переменным, следует восстановить изменчивость дпфференциала, который был принят за постоянную.
20. Пусть $U$ – функция от $x, y, \frac{d y}{d x}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \ldots$, где $d x$ считается постоянной ветичиной. Если положить, как в теории фунгц!й,
\[
\frac{d y}{d x}=y^{\prime}, \quad \frac{d y^{\prime}}{d r}=y^{\prime \prime}, \quad \frac{d y^{\prime \prime}}{d x}=y^{\prime \prime \prime}, \ldots,
\]

то величина $U$ станет функцией от $x, y, x^{\prime}, y^{\prime}, \ldots$, п вариация $\delta U$, если применить обозначение частных дифференциалов, булет иметь следующий вил:
\[
\delta U=\frac{\partial U}{\partial \cdot r} \delta x+\frac{\partial U}{\partial y} \delta y+\frac{\partial U}{\partial y^{\prime}} \delta y^{\prime}+\frac{\partial U}{\partial y^{\prime \prime}} \delta y^{\prime \prime \prime}+\ldots
\]

Теперь, если варьировать все величины, полуgITC
\[
\begin{array}{l}
\delta y^{\prime}=\delta \frac{d y}{d x}=\frac{\delta d y}{d x}-\frac{d y}{d x} \frac{\delta d x}{d x}= \\
=\frac{d \delta y}{d x}-y^{\prime} \frac{d \delta x}{d x}=\frac{d\left(\delta y+y^{\prime} \delta x\right)}{d x}+y^{\prime \prime} \delta x, \\
\delta y^{\prime \prime}=\frac{d\left(\delta y^{\prime}-y^{\prime \prime} \delta x\right)}{d x}-y^{\prime \prime} \delta x=\frac{d^{2}\left(\delta y-y^{\prime} \delta x\right)}{d x^{2}}+y^{\prime \prime \prime} \delta x, \\
\delta y^{\prime \prime \prime}=\frac{d^{3}\left(\delta y-y^{\prime} \delta x\right)}{d x^{3}}+y^{\mathrm{IV} \delta x,} \\
\text {. . . . . . . . . . . }
\end{array}
\]

Если эти величины подставить п для сокращения письма положить
\[
\delta y-y^{\prime} \delta x=\delta u
\]

и, следовательно,
\[
\delta y=\delta u+y^{\prime} \delta x,
\]

то мы получим
\[
\begin{array}{r}
\delta U=\left(\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial U}{\partial y} y^{\prime}+\frac{\partial U}{\partial y^{\prime}} y^{\prime \prime}+\frac{\partial U}{\partial y^{\prime \prime}} y^{\prime \prime \prime}+\ldots\right) \delta x+ \\
+\frac{\partial U}{\partial y} \delta u+\frac{\partial U}{\partial y^{\prime}} \frac{d \delta u}{d x}+\frac{\partial U}{\partial y^{\prime \prime}} \frac{d^{2} \delta u}{d x^{2}}+\ldots
\end{array}
\]

Но если мы продифференцируем величину $U$ в смыле символа $d$ и подставпм $y^{\prime} d x$ вместо $d y$ и $y^{\prime \prime} d x$ вместо $d y^{\prime}$, мы будем иметь
\[
d U=\left(\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial U}{\partial y} y^{\prime}+\frac{\partial U}{\partial y^{\prime}} y^{\prime \prime}+\frac{\partial U}{\partial y^{\prime \prime}} y^{\prime \prime \prime}+\ldots\right) d x,
\]

откуда следует
\[
\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial U}{\partial y} y^{\prime}+\frac{\partial U}{\partial y^{\prime}} y^{\prime \prime}+\ldots=\frac{d U^{\prime}}{d x} .
\]

И палее
\[
\delta U=\frac{d U}{d x} \delta x+\frac{\partial U}{\partial y} \delta u+\frac{\partial U}{\partial y^{\prime}} \frac{d \delta u}{d x}+\frac{\partial U}{\partial y^{\prime \prime}} \frac{d^{2} \delta u}{d x^{2}}+\ldots
\]

Если величина $U$ содержит еще другую переминую $z$ и ее производные $\frac{d z}{d x}, \frac{d^{2} z}{d x^{2}}, \ldots$, то, полюжив $\frac{d z}{d x}=z^{\prime}, \frac{d z^{\prime}}{d x}=z^{\prime \prime}, \ldots$ и поступая совершенно так же, как и выше, мы получим следующие члени:
\[
\frac{\partial U}{\partial z} \delta v+\frac{\partial U}{\partial z^{\prime}} \frac{d v}{d z}+\frac{\partial U}{\partial z^{\prime \prime}} \frac{d^{2} \delta v}{d x^{2}}+\ldots,
\]

где
\[
\delta v=\delta z-z^{\prime} \delta \ell:
\]

эті члены мы прибавим к приведенному выше зна чению $\delta U$, і так далее.
21. Если интегральная функция $\int U d x$ должна стать максимумом или минимумом, то согласно правиэам вариационного печисления следует положить
\[
\int U d x=\int \delta(U d x)=\int(\delta U d x+U \delta d x)=0 .
\]

Если сюда подставить значение $\delta U$, заменить $\delta d x$ через $d \delta x$ и путем интегрирования по частям избавиться от дифференциалов $\delta x, \delta u, \delta v$, то под знаком интеграла останутся только члены вида
\[
\left(\mathbb{\Xi} \delta x+\jmath^{2} \dot{\jmath} u+\Psi^{2} \delta v\right) d x .
\]

в которых
\[
\begin{aligned}
\Xi & =d U-d U=0 \\
\Upsilon & =\frac{\partial U}{\partial y}-\frac{d}{d x} \frac{\partial U}{\partial y^{\prime}}+\frac{d^{2}}{d x^{2}} \frac{\partial U}{\partial y^{n}}-\ldots \\
\Psi^{*} & =\frac{\partial U}{\partial z}-\frac{d}{d x} \frac{\partial U}{\partial z^{\prime}}+\frac{d^{2}}{d x^{2}} \frac{\partial U}{\partial z^{\prime \prime}}-\ldots
\end{aligned}
\]

Эти члены должны равняться нулю, каковы бы ни были вариации $\delta x, \delta y, \delta z$; но если вместо $\delta u$ \” $\delta v$ снова подставить их знатения $\delta y–y^{\prime} \delta x, \delta z-z^{\prime} \delta x$, то в силу равенства $\Xi=0$ рассматриваемые члены примут стедующий вид:
\[
\left[\Upsilon^{\prime} \delta y+\Psi^{a} \delta z-\left(y^{\prime}+\Psi^{\prime} z^{\prime} \delta x\right] d x,\right.
\]

откуда получается только два уравнения
\[
\mathrm{x}=0, \quad \Psi=0 ;
\]

третье же уравнение, зависящее от вариации $\delta x$, ‘одержится в этих двух уравнениях.

Отсюда мы видим, что можно избавиться от необходимости сообщать вариацию и переменной $x$, дифференциал которой в функции $U$ предполагался постоянным, так как уравнения, необхо. димые для разрешения заданной задачи, вытекают уже из вариаций других переменных. Это обстоятельство было уже отмечено при возникновении вариационного исчисления и оно является необходимым следствием этого исчисления.

Но может оказаться полезным рассмотреть одновременно все вариации по отношению к пределам интеграла, так как из каждой вариации могут вытечь особые условия для точек, соответствующих этим пределам, – как это было показано нами в последней лекции по исчислению функций.
22. Интегральная функция, максимум или минимум которой определяется, ножет содержать и другие интегралы; какова бы, однако, она ні была, ее всегда можно преобразовать таким образом, чтобы она содержала только конечные переменные и их дифференциалы и зависела только от одного или нескольких условных уравнений между теми же переменными, которым всегда можно удовлетворить с помощью метода множителей.

Предположим, например, что $U$ является фуикцией от $x, y, z$ и их дифференциалов и что в то же время переменная $z$ зависит от условного уравнения $L=0$. Продифференцировав это уравнение в смысле символа $\delta$, мы получим $\delta L=0$. Теперь ням остается только помножить это уравнение на неопределенный коэффициент $\lambda$, или для однородности – поскольку $L$ является конечной функцией – на $\lambda d x$, прибавить интегральное уравнение $\int \lambda \delta L d x=0$ к уравнению максимума или минимума $\delta \int U d x=0$ и затем рассматривать вариации $\delta x, \delta y, \delta z$ как независимые. Но если $L$ рассматривать как функцию $x, y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}, \ldots$, $z, z^{\prime}, z^{\prime \prime}, \ldots$ то
\[
\delta L=\frac{\partial L}{\partial x} \delta x+\frac{\partial L}{\partial y} \delta y+\frac{\partial L}{\partial z} \delta z+\frac{\partial L}{\partial y^{\prime}} \delta y^{\prime}+\frac{\partial L}{\partial z^{\prime}} \delta z^{\prime}+\ldots
\]

Если подстановки, подобные приведенным выше, мы сделаем для $\delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}, \delta y^{\prime \prime \prime}, \ldots$, то мы получим
\[
\delta L=\frac{d L}{d x} \delta x+\frac{\partial L}{\partial y} \delta u+\frac{\partial L}{\partial z} \delta v+\frac{\partial L}{\partial y^{\prime}} \frac{d \delta u}{d x}+\frac{\partial L}{\partial z^{\prime}} \frac{d \delta v}{d x}+\ldots ;
\]

члены, стоящие под знаком интеграла и ироис текающие из уравнения
\[
\int(\delta U d x+\hbar \delta L d x)=0,
\]

примут следующий вид:
\[
\left(\Xi \delta x+\boldsymbol{\Upsilon}^{2} \delta u+\Psi \dot{\Psi}\right) d x,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\Xi=\lambda d L, \\
\begin{array}{l}
\mathrm{I}^{\prime}= {\left[\frac{\partial U}{\partial y}+\lambda \frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}+\lambda \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}\right)+\right.} \\
\left.\quad+\frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(\frac{\partial U}{\partial y^{\prime \prime}}+\lambda \frac{\partial L}{\partial y^{\prime \prime}}\right)-\ldots\right] d x, \\
\Psi=\left[\frac{\partial U}{\partial z}+\lambda \frac{\partial L}{\partial z}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial L}{\partial z^{\prime}}+\lambda \frac{\partial L}{\partial z^{\prime}}\right)+\right. \\
\left.\quad+\frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(\frac{\partial L}{\partial z^{\prime \prime}}+\lambda \frac{\partial L}{\partial z^{\prime \prime}}\right)-\ldots\right] d x .
\end{array}
\end{array}
\]

Но из условного уравнения $L=0$ следует $d L=0$. что дает нам $\Xi=0$. Точно так же, если мы приравпяем нулю коэффициенты трех вариаций $\delta x, \delta y, \delta z$, мы полутим только два уравнения
\[
\mathrm{Y}=0, \quad \Psi=0,
\]

из которых одно послужит для исключения неопределенной величины $\lambda$; таким образом для разрешения цанной задачи остается только одно уравнение относительно $x, y, z$, которое следует скомбинтровать с заданным уравнением $L=0$.
23. Так как для случая, когда дифференциат $d x$ считается постоянным
\[
y^{\prime}=\frac{d y}{d x}, \quad y^{\prime \prime}=\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \ldots, \quad z^{\prime}=\frac{d z}{d x}, \quad z^{\prime \prime}=\frac{d^{2} z}{d x^{2}}, \ldots,
\]

мы видим, что достаточно в функциях $U, L, \ldots$ варьировать переменные $y, z, \ldots$ и их дифференциалы; тогда, применяя вместе с символом $\delta$ обозначение частных дифференциалов, мы будем иметь
\[
\begin{array}{c}
\delta U=\frac{\delta U}{\partial y} \cdot y+\frac{\partial U}{\delta d y} d \delta y+\frac{\delta U}{\partial d^{2} y} d^{2} \delta y+\cdots+ \\
\quad+\frac{\partial U}{\partial z} \delta z+\frac{\delta U}{\delta d z} d \delta z+\frac{\delta U}{\delta d^{2} z} d^{2} \delta z+\ldots
\end{array}
\]

Но если мы желаем одновременно принять во внимание вариацию $x$, нам следует только прибавить к выражению $\delta U$ член $\frac{d U}{d x} \delta x$ и вместо $\delta y$ поставить $\delta y-\frac{d y}{d x} \delta x$, вместо $\delta z$ поставить $\delta z-\frac{d z}{d x} \delta x, \ldots$

Уіазанным путем после соответствующих преобразований мы получим
\[
\begin{array}{l}
\delta \int U d x=\int(\Upsilon \delta y+\Psi \delta z+\ldots) d x+ \\
+\Upsilon^{\prime} \delta y+\Upsilon^{\prime \prime} d \delta y+\ldots+\Psi^{\prime \prime} \delta z+\Psi^{\prime \prime} d \delta z+\ldots
\end{array}
\]

где положено
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{Y}^{2}=\frac{\delta U}{\delta y}-d \frac{\delta U}{\delta d y}+d^{2} \frac{\delta U}{\delta d^{2} y}-\ldots \\
\Upsilon^{\prime}=\frac{\delta U}{\delta d y}-d \frac{\delta U}{\delta d^{2} y}+\ldots, \\
\mathrm{r}^{\prime \prime}=\frac{\delta U}{\delta d^{2} y}-\ldots, \\
\Psi=\frac{\delta U}{\delta z}-d \frac{\delta U}{\delta d z}+d^{2} \frac{\delta U}{\delta d^{2} z} \cdots \\
\Psi^{\prime}=\frac{\delta U}{\delta d z}-d \frac{\delta U}{\delta d^{2} z}+\ldots, \\
\Psi^{\prime \prime}=\frac{\delta U}{\delta d^{2} z}-\cdots, \\
\end{array}
\]

Для того чтобы учесть и вариацию $x$, следует прибавить во всех членах $-\frac{d y}{d x} \delta x$ к $\delta y$ и $-\frac{d z}{d x} \delta x$ к $\delta z$.
24. Таков общий метод разрешения проблем o максимумах и минимумах неопределенных интегралов, для которых вариационное исчисление и было сначала предназначено. Мы видим, что если даже подвергнуть вариации все переменные, то мы всетаки получаем число уравнений на единицу меньшее, чем имеется переменных, но это соответствует природе вещей, так как в данном случае задача заключается не в том, чтобы определить индивидуальное значение каждой из переменных величин, как в обычных задачах на максимумы $и$ минимумы, а в том, чтобы найти неопределенные отношения между этими переменными, благодаря которым образуется их взаимная функциональная зависимость и они могут быть выражены с помощью кривых простой или двоякой кривизны.
25. Применим теперь тот же метод к задачам механики, допустив для большей простоты, что выражение
\[
P d p+Q d q+R d r+\ldots
\]

интегрируемо и чоо, как и в пункте 21 отд. III, его интеграл равен П. Тогда мы имеєм также
\[
P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots=\delta I \text { I },
\]

и общее уравнение равновесия (п. 13) принимает следующий вид:
\[
\mathbf{S}(\delta \Pi d m+\lambda \delta L+\mu \delta M+\ldots)=0,
\]

если в данном случае отвлечься от условных уравнений, относящихся к определенным точкам.

Так как массса $d m$ каждой частицы системы не должна изменяться в то время, когда изменяется поло9 ж. Лагранж, т. I

жение системы, следует*) допустить, что $\delta d m=0$, и, следовательно, что $\delta L=\delta d m\left[{ }^{15}\right]$.

Когда система линейна, мы имеем вообще $d m=U d x$, где $U$ – функция, аналогичная указанной в пункте 20 ; таким образом мы будем иметь
\[
\delta L=\delta U d x+U \delta d x
\]

и формула $\mathbf{S} \lambda \delta L$ даст под знаком интеграла следующие члены
\[
(\Xi \delta x+\Upsilon \delta u+\Psi \delta v) d x,
\]

в которых (п. 22)
\[
\begin{array}{l}
\Xi=\lambda \frac{d U}{d x}-\frac{d}{d x}(\lambda U) \\
\Upsilon=\lambda \frac{\partial U}{\partial x}-\frac{d}{d x}\left(\lambda \frac{\partial U}{\partial y^{\prime}}\right)+\frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(\lambda \frac{\partial U}{\partial y^{\prime \prime}}\right)-\ldots \\
\Psi=\lambda \frac{\partial U}{\partial z}-\frac{d}{d x}\left(\lambda \frac{\partial U}{\partial z^{\prime}}\right)+\frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(\lambda \frac{\partial U}{\partial z^{\prime \prime}}\right)-\ldots
\end{array}
\]
26. Итак, если никаких других условий не существует, то уравнение, получающееся от членов, находящихся под знаком $\mathbf{S}$, имеет следующий вид:
\[
\delta \Pi d m+(\Xi \delta x+\Upsilon \delta u+\Psi \delta v) d x=0 ;
\]

это уравнение должно выполняться отдельно для каждой из вариаций $\delta x, \delta y, \delta z$.
Но так как П является функцией от $x, y, z$, мы
\[
\delta \Pi=\frac{\partial \Pi}{\partial x} \delta x+\frac{\partial \Pi}{\partial y} \delta y+\frac{\partial \Pi}{\partial z} \delta z
\]
*) Другими словами, первое условие относительно любой точки системы заключается в том, что масса каждой частиды остается при всех возможных перемещения неизменной. (Прия. Дарбу.)

a тak kak
\[
\delta u=\delta y-\frac{d y}{d x} \delta x, \quad \delta v=\delta z-\frac{d z}{d x} \delta x,
\]

то предыдущее уравнение принимает следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial \Pi}{\partial x} d m+\Xi d x-\Upsilon^{*} d y-\Psi d z\right) \delta x+ \\
\quad+\left(\frac{\partial \mathrm{II}}{\partial y} d m+\Upsilon^{*} d x\right) \delta y+\left(\frac{\partial \mathrm{II}}{\partial z} d m+\Psi d x\right) \delta z=0 .
\end{array}
\]

Отсюда получаются три уравнения:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial \Pi}{\partial x} d m+\Xi d x-\Upsilon d y-\Psi d z & =0, \\
\frac{\partial \Pi}{\partial y} d m+\Upsilon d x & =0, \\
\frac{\partial \Pi}{\partial z} d m+\Psi d x & =0 .
\end{aligned}
\]

Таким образом здесь мы имеем столько же уравнений, сколько существует неизвестных; в этом заключается различие между рассматриваемого рода задачами из области механики и задачами на максимумы и минимумы.
27. Далее я прежде всего считаю необходимым отметить, что при исключении неопределенной величины $\lambda$ приведенные три уравнения сводятся к двум, и хотя вообще условные уравнения всегда замещают собою уравнения, выпадающие вследствие исключения неопределенных величин, однако введенное здесь условие $\delta d m=0$, т. е. условие постоянства $d m$, не может нам дать особого уравнения для решения задачи, так как согласно духу дифференциального исчисления мы всегда можем какой-либо элемент считать постоянным; ведь, собственно говоря, в данном случае объектом исчисления являются взаимные отнощения между дифференциалами, а не сами по себе отдельные дифференциалы. Таким образом эти три уравнения сведутся к двум, и, как в задачах на максимумы и минимумы, они послужат только для определения природы кривой.
28. Отмечу, далее, что рассматриваемые здесь проблемы статики монно также свести к простым проботемам о максимумах и минимумах.

В самом деле, если сложить все три найденных выше уравнения, помножив предварительно первое из них на $d x$, второе на $d y$, и третье на $d z$, то в силу
\[
\frac{\partial \Pi}{\partial x} d x+\frac{\partial \Pi}{\partial y} d y+\frac{\partial \Pi}{\partial z} d z=d \Pi,
\]

мы получим уравнение
\[
d \Pi d m+\Xi d x^{2}=0 .
\]

Но мы имеем
\[
\Xi d x=\lambda d U-d \lambda U=-U d \lambda,
\]

и так как $d m=U d x$, то, разделив на $d m$, мы получим $d \Pi-d \lambda=0$, откуда следует
\[
\lambda=\mathrm{II}+a,
\]

где $a$ – произвольная постоянная.
Так как $\delta L=\delta d m$, то член $\lambda \delta L$ в уравнении пункта 25 примет следующий вид:
\[
\Pi \delta d m+a \delta d m,
\]

а так как $\delta \Pi d m+\Pi \delta d m=\delta(\Pi d m)$, то это уравнение напишется следуюцим образом:
\[
\mathbf{S} \delta(\Pi d m)+a \mathbf{S} \delta d m=0,
\]
T. e.
\[
\delta \mathbf{S} \Pi d m+a \delta \mathbf{S} d m=0 ;
\]

это уравнение необходимо должно иметь место для того, чтобы интегральное выражение $\mathbf{S}$ II $d m$ стало максимумом или минимумом среши всех тех значений, при которых выражение $\mathbf{S} d m$ будет иметь одно и то же значение.

Указанным путем можно, как и в вопросах о максимумах и минимумах, одну из переменных рассматривать как величину постоянную по отношению к вариациям $\delta$, благодаря чему анализ упрощается. Однако общий метод обладает тем преимуществом, что он дает значение коэффициента $\lambda$, выражающего *) согласно теории, изложенной в предыдущем отделе, силу, с какой элемент $d m$ противостоит действию сил $P, Q, R, \ldots$, приложенных к системе.
29. Мы допустили для простоты, что имеется только одно условное выражение; но если бы сверх того существовало уравнение $M=0$, где $M$-функция $x, y, z, y^{\prime}, y^{\prime \prime}, \ldots, z^{\prime}, z^{\prime \prime}, \ldots$, следовало бы под знаком интеграла в уравнении равновесия к члену $\lambda \delta L$ прибавить еще выражешие $\mu \delta M$ или, точнсс, для однородности $\mu \delta M d x$; вследствие этого к значениям $\Xi, \Upsilon, \Psi$ пункта 25 прибавились бы соответствующие величины
\[
\begin{array}{l}
\mu \frac{d M}{d x}, \\
\mu \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{d}{d x}\left(\mu \frac{\partial M}{\partial y^{\prime}}\right)+\frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(\mu \frac{\partial M}{\partial y^{\prime \prime}}\right)-\ldots \\
\mu \frac{\partial M}{\partial z}-\frac{d}{d x}\left(\mu \frac{\partial M}{\partial z^{\prime}}\right)+\frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(\mu \frac{\partial M}{d z^{\prime \prime}}\right)-\ldots
\end{array}
\]

Таким образом мы получим три уравнения того же вида, что и в пункте 26 , которые в результате исключения $\lambda$ и $\mu$ сведутся к одному; но если к последнему присоединить условное уравнение
*) См. по этому поводу пункт 6 отд. IV и примечание к пункту 9 отд. II (стр. 60). (Iрим. Бертрана.)

$M=0$, то получается, как и раньше, два уравнения дія трех переменных $x, y: z$.

Эти три уравнения дают, как и в пункте 28 , уравнение
\[
d \Pi d m+\Xi d x^{2}=0 .
\]

Здесь мы имеем
\[
\Xi d x=-U d \lambda+\mu d M
\]

но уравнение $M=0$ цает $d M=0$; таким образом, как и в упомянутой выше статье, мы имеем просто
\[
\Xi d x=-U d \lambda
\]

отсюда мы получаем тот же результал
\[
\delta \mathbf{S} \Pi d m+a \delta d m=0 .
\]
30. Таким образом проблема равновесия системы частиц $d m$, находящихся под действием сил $P, Q, R, \ldots$, направтенных по тиниям $p, q, r, \ldots$ и обладающих тем свойством, что
\[
P d p+Q d p+R d r+\ldots=d \mathrm{I}
\]

сводится просто і задаче обрращения интегрального выражения $\mathbf{S} \Pi d m$ в максимум или минимум, причем сверх того должны быть приняты во внимание особые устовия системы; как видим, благодаря этому все проблемы равновесия попадают в групну проблем o максимумах и минимумах, известиую под названием изопериметрических проблем.

В случае цепи, если допустить, что ординаты $y$ направлены вертикатьно, мы имеем $\Pi=g y$, где $g$ – постоянная силы тяжести. Таким образом в данном стучае выражение $\mathbf{S} y d m$ дожжно быть максимумом или минимумом среди всех тех, для которых значение $\mathbf{S} d m$ остается неизменным; но $\frac{\mathbf{S} y d m}{\mathbf{S} d m}$ представляет собою расстояние центра тяжести от горизонтальной плоскости; следовательно, поскольку вся масса по предположению дана, это расстояние должно быть наибольшим или наименьшим, что, впрочем, известно и без того.
31. До сих пор мы рассматривали только функции переменных, которые мы считали независимыми друг от друга; но если рассматривать $z$ как функцию $x$ и $y$ и если существует функция $U$, зависящая от $x, y, z$ и от частных дифференциалов $z$ по $x$ и $y$, то может возниннуть вопрос об определении вариации $\delta U-$ с тем, чтобы принять в расчет и одновременные вариации $x, y, z$.
Пусть для простоты
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial z}{\partial x}=z^{\prime}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=z_{\prime}, \quad \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-z^{\prime \prime}, \quad \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=z_{\prime}^{\prime}, \\
\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=z_{\prime \prime}, \quad \frac{\partial^{3} z}{\partial x^{3}}=z^{\prime \prime \prime}, \quad \frac{\partial^{3} z}{\partial x^{2} \partial y}=z^{\prime \prime}, \quad \frac{\partial^{3} z}{\partial x \partial y^{2}}=z_{\prime \prime}^{\prime}, \ldots
\end{array}
\]

Величина $U$ будет тогда функцией $x, y, z, z^{\prime}, z$, $z^{\prime \prime}, z_{\prime}^{\prime}, z_{\ell}, \ldots$, и мы будем иметь
\[
\begin{aligned}
\delta U=\frac{\partial U}{\partial x} \delta x & +\frac{\partial U}{\partial y} \delta y+\frac{\partial U}{\partial z} \delta z+\frac{\partial U}{\partial z^{\prime}} \delta z^{\prime}+ \\
& +\frac{\partial U}{\partial z_{\prime}} \delta z_{\prime}+\frac{\partial U}{\partial z^{\prime \prime}} \delta z^{\prime \prime}+\frac{\partial U}{\partial z_{\prime}^{\prime}} \delta z_{\prime}^{\prime}+\ldots ;
\end{aligned}
\]

вся трудность сведется тогда к тому, чтобы найти значения вариаций $\delta z^{\prime}, \delta z, \delta z^{\prime \prime}$, если в частных дифференциалах подвергнуть одновременному варьированию элементы $d x$ и $d y$.

Для упрощения расчета мы можем допустить, что вариация $\delta x$ является функцией $x$, независимой от $y$. а вариация $\delta y$ является функцией $y$, независимой
от $x$. В дальнейщем мы увидим, что это допущение обладает всей той общностью, какой только можно пожелать *).
*) Здесь имеется одно положение, которое треб́ует некоторых пояснений. ІІри переходе с одной поверхности на другую, бесконечно близко к ней расположенную, можно наверняка добиться такого соответствия, чтобы в каждой точке первой поверхности $\delta x$ и $\delta y$ имели такие значения, какие нам желательно. Таким образом, если речь идет об исследовании проблемы максимума или минимума, здесь не возникает никаких неудобств – даже для условий на границах,– в чем легко убедиться, если принять, что $\delta x$ зависит только от $x$ и $\delta y$ только от $y$. Однако дальше (отл. V, I. 44) Лагранж применяет формулы пунктов $32-34$, выведенные на основе указанного допущения, к случаю, когда $\delta x$ и $\delta y$ выражают любое виртуальное перемещение и, следовательно, являются совершенно произвольными функциями $x$ и $y$. Поэтому представляется небесдолезным произвести вычисление, исходя из предположения, что $\delta x$ и $\delta y$ являютея произвольными.
Положив
\[
\delta z-z^{\prime} \delta x-z, \delta y=u,
\]

мы имеем
\[
d u=d \delta z-z, d \delta x-z, d \delta y-d z^{\prime} \delta x-d z, \delta y .
\]

Напишем уравнение в полных дифференциалах
\[
d z=z^{\prime} d x+z, d y
\]

и продифференцируем его в смысле $\delta$. Тогда мы будем иметь
\[
\delta d z=z^{\prime} \delta d x+z, \delta d y+\delta z^{\prime} d x+\delta z, d y .
\]

Сложим уравнения (2) и (3) и заметим, что порядок символов $d$ и $\delta$ можно изменить, благодаря чему исчезнут члены с $d \delta$. Мы получим
\[
d u=\delta z^{\prime} d x+\delta z, d y-d z^{\prime} \delta x-d z, \delta y .
\]

В этом уравнении $d x$ и $d y$ могут принять любые возможные значения. Дөпустим сначала, что
\[
d \dot{y}=0
\]

тог да мы имеем
\[
d u=\frac{\partial u}{\partial x} d x, d z^{\prime}=z^{\prime \prime} d x, d z,=z^{\prime}, d x,
\]

32. Исходя из этого допущения, мы путем дифференцирования получаем
\[
\delta z^{\prime}=\delta \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\delta \partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\delta \partial x}{\partial x} .
\]

Ясно, что
\[
\frac{\delta \partial z}{\partial x}=\frac{\partial \delta z}{\partial x} \quad \text { и } \frac{\delta \partial x}{\partial x}=\frac{\partial \delta x}{\partial x} ;
\]

таким образом мы имеем
\[
\delta z^{\prime}=\frac{\partial \delta z}{\partial x}-z^{\prime} \frac{\partial \delta x}{\partial x}=\frac{\partial\left(\delta z-z^{\prime} \delta x\right)}{\partial x}+\frac{\partial z^{\prime}}{\partial x} \delta x,
\]

или
\[
\delta z^{\prime}=\frac{\partial\left(\delta z-z^{\prime} \delta x-z, \delta y\right)}{\partial x}+\frac{\partial z^{\prime}}{\partial x} \delta x+\frac{\partial z \prime}{\partial x} \delta y .
\]

и, следовательно, уравнение (4) даст нам следующую формулу:
\[
\frac{d u}{d x}=\delta z^{\prime}-z^{\prime \prime} \delta x-z^{\prime} \delta y,
\]

которая даст возможность определить $\delta z^{\prime}$. ‘очно так же, положив $d x=0$, мы найдем
\[
\frac{\partial u}{\partial y}=\delta z^{\prime}-z^{\prime} \delta x-z_{\prime \prime} \delta y .
\]

Здесь мы имеем перед собою первые две формулы Лагранжа. Так как они применяются к произвольной функции, в них можно поставить $z^{\prime}$ вместо $z$. Тогда значение $u$ выразится через
\[
\delta z^{\prime}-z^{\prime \prime} \delta x-z^{\prime} \delta y .
\]

и формулы (5) и (6) нам дадут
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial x}\left(\delta z^{\prime}-z^{\prime \prime} \delta x-z^{\prime} \delta y\right)=\delta z^{\prime \prime}-z^{\prime \prime \prime} \delta x-z^{\prime \prime} \delta y, \\
\frac{\partial}{\partial y}\left(\delta z^{\prime}-z^{\prime \prime} \delta x-z^{\prime}, \delta y\right)=\delta z^{\prime}-z^{\prime \prime} \delta x-z_{\prime \prime}^{\prime} \delta y .
\end{array}
\]

Для упрощения предыдущих формул можно еще воспользо-

Точно так же мы имеем
\[
\delta z_{1}=\frac{\partial\left(\delta z-z^{\prime} \delta x-z, \delta y\right)}{\partial y}+\frac{\partial z^{\prime}}{\partial y} \delta x+\frac{\partial z^{\prime}}{\partial y} \delta y .
\]

в силу того, что
\[
\frac{\partial \delta x}{\partial y}=0 \text { п } \frac{\partial \delta y}{\partial x}=0 .
\]

ваться уравнениями (5) и (6); тогда мы получим
\[
\begin{array}{c}
\partial^{2} u \\
\partial x^{2}=\delta z^{\prime \prime \prime} \delta x-z_{\prime \prime}^{\prime \prime} \delta y, \\
\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\delta z, z_{\prime}^{\prime \prime} \delta x-z_{\prime \prime}^{\prime} \delta y .
\end{array}
\]

К этим соотношениям можно, очевидно, прибавить еще с,тьдующее:
\[
\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=\delta z_{\prime \prime} \ldots z_{\prime \prime}^{\prime} \delta x-z_{\prime \prime} \delta y ;
\]

последнее дополнит группу уравнений, выведенных Јагранжем на основе принятого им особого допущения и с помощью дифференцирований, которые представляются правильными, но которые, быть может, были им недостаточно подробно объяснены.

Утверждение गагранжа «в дальнейшем мы увидим, что это допущение обладает всей той общностью, какой только можно пожелать», относится, повидимому, к другой части вычисления, изложенной в пункте 34 и касающейся вопроса о вариации элемента поверхности $d x d y$. Действительно, в том случае, когда $\delta x$ зависит только от одной переменной $x$, а $\delta y$ – от одной переменной $y$, вариация прямоугольника вычисляется очень легко: в данном случае упомянутый прямоугольник преобразуется в другой прямоугольник со сторонами $d x+\delta d x$ и $d y+\delta d y$ и, следовательно, его вариация получается непосредственно и составляет
\[
d x \delta d y+d y \delta d x=d x d y\left(\frac{\delta d x}{d x}+\frac{\delta d y}{d y}\right) .
\]

Исчисление становится более сложным в том случае, когда $\delta x$ и $\delta y$ зависят одновременно от обеих переменных $x$ и $y$. Но әто вычисление произведено полностью для случая трех переменных в пунктах 12, 13 и 14 отдела VII, к которым Ларранж несомненно и собиралея отослать читателя. (Прим. Дарбу.)

Тальше мы имеем
\[
\delta z^{\prime \prime}=\delta \frac{\partial z^{\prime}}{\partial x^{\prime}}=\frac{\partial \delta z^{\prime}}{\partial x}-\frac{\partial z^{\prime}}{\partial x} \frac{\partial \delta x}{\partial x} .
\]

Подставив сюда значение $\delta z^{\prime}$, получаем
\[
\delta z^{\prime \prime}=\frac{\partial^{2}\left(\delta z-z^{\prime} \delta x-z, \delta y\right)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z^{\prime}}{\partial x^{2}} \delta x+\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} \delta y ;
\]

точно так же мы имеем
\[
\delta z_{,}{ }^{\prime}=\delta \frac{\partial z^{\prime}}{\partial y}=\frac{\partial \delta z^{\prime}}{\partial y}-\frac{\partial z^{\prime}}{\partial y} \frac{\partial \delta y}{\partial y} .
\]

Если и здесь подсяавить значение $\delta z^{\prime}$, то в силу равенства $\frac{\partial z_{i}}{\partial x}=\frac{\partial z^{\prime}}{\partial y}$ мы получим
\[
\delta z_{1}{ }^{\prime}=\frac{\partial^{2}\left(\delta z-z^{\prime} \delta x-z_{1} \delta y\right)}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} z^{\prime}}{\partial x} \delta x+\frac{\partial^{\prime} z_{1}}{\partial x \partial y} \delta y .
\]

Аналогично мы находим
\[
\delta z_{1,}=\frac{\partial^{2}\left(\delta z-z^{\prime} \delta x-z, \delta y\right)}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} z^{\prime}}{\partial y^{2}} \delta x+\frac{\partial^{2} z_{\prime}}{\partial y} \delta y
\]

и так далее.
33. Итак, если мы положим для сокращения письма
\[
\delta z=\frac{\partial z}{\partial x} \delta x-\frac{\partial z}{\partial y} \delta y=\delta u,
\]

и примем во знимание, что
\[
\begin{array}{rlrl}
\frac{\partial z}{\partial x^{\prime}}=\frac{\partial z^{\prime}}{\partial y}, & \frac{\partial z^{\prime}}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial x}, & \frac{\partial^{2} z^{\prime}}{\partial x^{2}}=\frac{\partial z^{\prime \prime}}{\partial x}, & \frac{\partial^{2} z_{\prime}^{\prime}}{\partial x^{2}}=\frac{\partial z^{\prime \prime}}{\partial y}, \\
\frac{\partial^{2} z^{\prime}}{\partial x \partial y}=\frac{\partial z_{\prime}^{\prime}}{\partial x}, & \frac{\partial^{2} z_{\prime}}{\partial x \partial y}=\frac{\partial z_{\prime}^{\prime}}{\partial y}, & \frac{\partial^{2} z^{\prime}}{\partial y^{\prime 2}}=\frac{\partial z_{\prime \prime}^{\prime}}{\partial x}, \cdots,
\end{array}
\]

то мы получим более простые выражения
\[
\begin{array}{l}
\delta z^{\prime}=\frac{\partial \delta u}{\partial x}+\frac{\partial z^{\prime}}{\partial x} \delta x+\frac{\partial z^{\prime}}{\partial y} \delta y, \\
\delta z_{\prime}=\frac{\partial \delta u}{\partial y}+\frac{\partial z_{\prime}}{\partial x} \delta x+\frac{\partial z_{\prime}^{\prime}}{\partial y} \delta y, \\
\delta z^{\prime \prime}=\frac{\partial^{2} \delta u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial z^{\prime \prime}}{\partial x} \delta x+\frac{\partial z^{\prime \prime}}{\partial y} \delta y, \\
\delta z_{\prime}^{\prime}=\frac{\partial^{2} \delta u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial z_{\prime}^{\prime}}{\partial x} \delta x+\frac{\partial z_{\prime}^{\prime}}{\partial y} \delta y, \\
\delta z_{\prime \prime}=\frac{\partial^{2} \delta u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial z_{\prime \prime}^{\prime}}{\partial x} \delta x+\frac{\partial z_{\prime \prime}^{\prime}}{\partial y} \delta y, \\
\ldots . . . . . . . . .
\end{array}
\]

Подставив эти выражения в $\delta U$, введя при этом вместо $\delta z$ выражение
\[
\delta u+\frac{\partial z}{\partial x} \delta x+\frac{\partial z}{\partial y} \delta y
\]

и расположив члены по $\delta x, \delta y, \delta u$, мы получим
\[
\begin{aligned}
\delta U= & \left(\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial U}{\partial z}-\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial U}{\partial z^{\prime}} \frac{\partial z^{\prime}}{\partial x}+\frac{\partial U}{\partial z_{\prime}} \frac{\partial z_{\prime}}{\partial x}+\right. \\
& \left.+\frac{\partial U}{\partial z^{\prime \prime}} \frac{\partial z^{\prime \prime}}{\partial x}+\frac{\partial U}{\partial z_{\prime}^{\prime}} \frac{\partial z^{\prime}}{\partial x}+\ldots\right) \delta x+ \\
& +\left(\frac{\partial U}{\partial y}+\frac{\partial U}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial y}+\frac{\partial U}{\partial z_{\prime}} \frac{\partial z^{\prime}}{\partial y}+\frac{\partial U}{\partial z_{\prime}} \frac{\partial z_{\prime}^{\prime}}{\partial y}+\right. \\
& \left.+\frac{\partial U}{\partial z^{\prime \prime}} \frac{\partial z^{\prime \prime}}{\partial y}+\frac{\partial U}{\partial z^{\prime}} \frac{\partial z_{\prime}^{\prime}}{\partial y}+\ldots\right) \delta y+ \\
& +\frac{\partial U}{\partial z} \delta u+\frac{\partial U}{\partial z^{\prime}} \frac{\partial \delta u}{\partial x}+\frac{\partial U}{\partial z,} \frac{\partial \delta u}{\partial y}+ \\
& +\frac{\partial U}{\partial z^{\prime \prime}} \frac{\partial^{2} \delta u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial U}{\partial z^{\prime}} \frac{\partial^{2} \delta u}{\partial x \partial y}+\ldots
\end{aligned}
\]

Обозначим через $\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right),\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)$ частные производные $U$ по отношению \& $x$ и $y$, найденные в предположении, что $z$ – функция этих переменных. Ясно, что тогда
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)=\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial U}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial U}{\partial z^{\prime}} \frac{\partial z^{\prime}}{d x}+\frac{\partial U}{\partial z_{\prime}} \frac{\partial z_{\prime}}{\partial x}+\ldots, \\
\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=\frac{\partial U}{\partial y}+\frac{\partial U}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial y}+\frac{\partial U}{\partial z^{\prime}} \frac{\partial z^{\prime}}{\partial y}+\frac{\partial U}{\partial z_{\prime}} \frac{\partial z_{\prime}}{\partial y}+\ldots
\end{array}
\]

Таким образом полная вариация $U$ сведется к следующему простому виду:
\[
\begin{aligned}
\delta U=\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right) \delta x & +\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right) \delta y+\frac{\partial U}{\partial z} \delta u+ \\
& +\frac{\partial u}{\partial z^{\prime}} \frac{\partial \delta u}{\partial x}+\frac{\partial U}{\partial z} \frac{\partial \delta u}{\partial y}+\frac{\partial U}{\partial z^{n}} \frac{\partial^{2} \delta u}{\partial x^{2}}+ \\
& +\frac{\partial U}{\partial z^{\prime}} \frac{\partial^{2} \delta u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial U}{\partial z_{\prime \prime}} \frac{\partial^{2} \delta u}{\partial y^{2}}+\ldots
\end{aligned}
\]
34. Если необходимо получить максимум или минимум двойного интеграла $\mathbf{S S} U d x d y$, должно быть выполнено следующее условие:
\[
\delta \mathbf{S S} U d x d y=\mathbf{S S} \delta(U d x d y)=0 .
\]

Но если произвести вариацию всех величин, то
\[
\delta(U d x d y)=\delta U d x d y+U \delta(d x d y) .
\]

Здесь следует иметь в виду, что так как $d x d y$ представляет собою прямоугольник, являлощийся элементом плоскости $x y$, он сохраняет свою форму прямоугольника и после варьирования координат $x$ и $y$ на $\delta x$ и $\delta y$, если только остаться при принятом допуцении, что $\delta x$ совершенно не зависит от $y$ и $\delta y$ от $x$. Гаким образом вариация $d x d y$ даст просто $d y \delta d x+$ $+d x \delta d y$; но так как
\[
\delta d x=d \delta x \frac{d \delta x}{d x} d x, \quad \delta d y=d \delta y=\frac{d \delta y}{d y} d y,
\]

поскольку $\delta x$ и $\delta y$ рассматриваются соответственно как функции $x$ и $y$, мы имеем
\[
\delta(U d x d y)=\left(\delta U+U \frac{d \delta x}{d x}+U \frac{d \delta y}{d y}\right) d x d y .
\]

Если подставить значения $\delta U$ и путем интегрирования по частям освободиться от дифференциалов вариаций $\delta x, \delta y, \delta u$, то под двойным знаком $\mathbf{S S}$ останутся следующие члены:
\[
(\Xi \delta x+\Upsilon \delta y+\Psi \delta u) d x d y,
\]

в которых
\[
\begin{array}{l}
\Xi=\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)-\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)=0 \\
\mathbf{r}=\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=0, \\
\Psi=\frac{\partial U}{\partial z}-\left(\frac{\partial U^{\prime}}{\partial x}\right)-\left(\frac{\partial U^{\prime}}{\partial y}\right)+\left(\frac{\partial^{2} U^{\prime \prime}}{\partial x^{2}}\right)+ \\
\quad+\left(\frac{\partial^{2} U^{\prime}}{\partial x \partial y}\right)+\left(\frac{\partial^{2} U^{\prime}}{\partial y^{2}}\right)-\ldots,
\end{array}
\]

при этом для сокращения положено
\[
\begin{array}{c}
U^{\prime}=\frac{\partial U}{\partial z^{\prime}}, \quad U_{,}=\frac{\partial U}{\partial z_{\prime}}, \\
U^{\prime \prime}=\frac{\partial U}{\partial z^{\prime \prime}}, \quad U^{\prime}=\frac{\partial U}{\partial z_{\prime}^{\prime}}, \quad U_{\prime \prime}=\frac{\partial U}{\partial z_{\prime \prime}}, \ldots,
\end{array}
\]

и принято, что частные производные, заключенные в скобки, выражают полные значения этих производных – предположении, что $z$ при дифференцировании рассматривается как функция $x$ и $y$.
35. Так как $\delta u=\delta z-\frac{\partial z}{\partial x} \delta x-\frac{\partial z}{\partial y} \delta y$, то выражение под знаком двойного интеграла даст просто следующее уравнение:
\[
\Psi\left(\delta z-\frac{\partial z}{\partial x} \delta x-\frac{\partial z}{\partial y} \delta y\right)=0,
\]

откуда, если отдельно приравнять нулю коэффициенты при вариациях $\delta z, \delta x, \delta y$, получится только одно уравнение $\Psi=0$, как если бы мы варьировали только одну переменную $z$.

Итак, мы видим, что в задачах на максимумы и минимумы, касающихся двойных интегралов, в которых одна из трех переменных является функцией двух остальных, получается, строго говоря, только одно уравнение, которое может быть получено непосредственно, а именно путем варьирования по $\delta$ только той переменной, которую мы признали функцией двух других переменных *). Это уравнение представляет собою уравнение поверхности, удовлетворяющей данной задаче. Таким именно образом и было найдено уравнение в частных дифференциалах минимальной поверхности, причем было положено $U=\sqrt{1+\left(z^{\prime}\right)^{2}+\left(z_{1}\right)^{2}} ;$ из доказанного нами выше следует, что это уравнение полностью удовлегворяет условиям задачи, какие бы вариации мы ни сообщали трем координатам поверхности.
36. Полученные нами выше формулы вариаций могут быть применены к равновесию системы частиц $d m$, расположенных на поверхности и находящихся под действием любых сил.

Если принять во внимание только неизменяемость $d m$, то как и в пункте 25 , мы сначала получим общее уравнение равновесия
\[
\mathbf{S S}(\delta \Pi d m+\lambda \delta d m)=0 .
\]
*) A priori ясно, что достаточно варьировать $z$; ведь, каковы бы ни были две бесконечно близкие поверхности, всегда можно перейти с одной на другую, давая $z$ некоторое приращение, которое находится в надлежащей зависимости от двух других координат $x$ и $y$. Может оказаться более или менее удобным допустить, что последние имеют в соответствующих точках одинаковое значение, или же различные значения, но ясно, что вполне допустимо делать как одно, так и другое предположение. (При.к. Бертрана.)

Для значения $d m$ мы будем здесь иметь выражение вида $U d x d y$, поэтому (п. 34 )
\[
\delta d m=\left(\delta U+U \frac{d \delta x}{d x}+U \frac{d \delta y}{d y}\right) d x d y .
\]

Если это выражение, а также выражение для $\delta U$, приведенное в пункте 33, подставить в интегральную формулу $\mathbf{S S} \lambda \delta d m$ и путем интегрирования по частям освободиться от дифференциалов вариаций $\delta x, \delta y, \delta u$, то под двойным знаком интеграла останутся лишь следующие члены:
\[
(\Xi \delta x+\Upsilon \delta y+\Psi \delta u) d x d y,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\Xi=\lambda\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)-\left(\frac{\partial \lambda U}{\partial x}\right)=-U\left(\frac{\partial \lambda}{\partial x}\right), \\
\Upsilon=\lambda\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)-\left(\frac{\partial \lambda U}{\partial y}\right)=-U\left(\frac{\partial \lambda}{\partial y}\right), \\
\Psi=\frac{\partial U}{\partial z}-\left(\frac{\partial U^{\prime}}{\partial x}\right)-\left(\frac{\partial U^{\prime}}{\partial y}\right)+ \\
+\left(\frac{\partial^{2} U^{n}}{\partial x^{2}}\right)+\left(\frac{\partial^{2} U^{\prime}}{\partial x \partial y}\right)+\left(\frac{\partial^{2} U_{\prime \prime}^{\prime}}{\partial y^{2}}\right)-\ldots, \\
\end{array}
\]

для $U^{\prime}, U^{\prime}, U^{\prime \prime}, U^{\prime}, \ldots$ здесь сохранены значения, указанные в пункте 34.

Если к этому выражению прибавить еще члены, получающиеся от интеграла $\mathbf{S S} \delta \Pi d m$ путем подстановки значений $\delta \Pi$ и $d m$, т. е.
\[
\left(\frac{\partial \Pi}{\partial x} \delta x+\frac{\partial \Pi}{\partial y} \delta y+\frac{\partial \Pi}{\partial z} \delta z\right) U d x d y
\]

и вместо $\delta u$ подставить его значение $\delta z-\frac{\partial z}{\partial x} \delta x-\frac{\partial z}{\partial y} \delta y$ (iI. 33), – то общее уравнение равновесия под знаком двойного интеграла будет содержать следующее

лены, расположенные по вариациям $\delta x, \delta y, \delta z$ :
\[
\left.\begin{array}{r}
\left\{\left[\frac{\partial \Pi}{\partial x}-\left(\frac{\partial \lambda}{\partial x}\right)\right] U-\Psi \frac{\partial z}{\partial x}\right\} \delta x+ \\
+\left\{\left[\frac{\partial \Pi}{\partial y}-\left(\frac{\partial \lambda}{\partial y}\right)\right] U-\Psi \frac{\partial z}{\partial y}\right\} \delta y+ \\
+\left(\frac{\partial \Pi}{\partial z} U+\Psi\right) \delta z
\end{array}\right\} d x d y
\]

гсюда получаются следующие три уравнения:
\[
\begin{aligned}
{\left[\frac{\partial \Pi}{\partial x}-\left(\frac{\partial \lambda}{\partial x}\right)\right] U-\Psi \frac{\partial z}{\partial x} } & =0, \\
{\left[\frac{\partial \Pi}{\partial y}-\left(\frac{\partial \lambda}{\partial y}\right)\right] U-\Psi \frac{\partial z}{\partial y} } & =0 \\
\frac{\partial \Pi}{\partial z} U+\Psi & =0 .
\end{aligned}
\]

Последнее уравнение дает $\Psi=-U \frac{\partial \Pi}{\partial z}$; если это лачение подставить в остальные два уравнения, то эле разделения на $U$ получается
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \Pi}{\partial x}+\frac{\partial \Pi}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}-\left(\frac{\partial \lambda}{\partial x}\right)=0, \\
\frac{\partial \Pi}{\partial y}+\frac{\partial \Pi}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial y}-\left(\frac{\partial \lambda}{\partial y}\right)=0 .
\end{array}
\]

ервое из этих уравнений дает $\lambda=\Pi+$ функция $y$; горое дает $\lambda=\Pi+$ функция $x$; отсюда следует
\[
\lambda=\Pi+a,
\]

це $a$-постоянная величина. Если эту величину ддставить в общее уравнение равновесия, то последәе примет следуюций вид:
\[
\mathbf{S S}[\delta(\Pi d m)+a \delta d m]=0,
\]

ти
\[
\delta \mathbf{S S} \Pi d m+a \delta \mathbf{S S} d m=0 .
\]

Это-уравнение максимума или минимума двойного интеграла $\mathbf{S S} I d m$ среди всех тех значений его, при которых значение величины $\mathbf{S S} d m$ остается неизменным.

Таким образом данная проблема механики *) сводится к простой задаче на максимумы и минимумы, разрешение которой зависит только от вариации одной переменной $z$, являющейся согласно допущению функцией $x$ и $y$ (п. 35).

Эту теорию можно распространить и на формулы тройных интегралов и отсюда получить аналогичные выводы.
*) Јагранж не дает полного определения той поверхностной системы частиц, к которой он применяет свой анализ. Если бы речь нла о гибкой и нерастяжимой поверхности, то остались бы неизменными не только элементы поверхности, но и линейные элементы. Јагранж не принимает во внимание неизменяемости линейных элементов, вследствие чего полученные им уравнения не могут дать полного разрещения данной задачи. Этот вопрос был в последнее время снова рассмотрен Лекорню (Lecorni) в мемуаре Sur l’équilibre des surfaces flexibles et inextensibles (Journal de l’École Polytechnique, XLVIII Cahier) и Еельтрами (Beltrami). См. мемуар Sull’equilibrio delle superficie flessibili ed inestensibili (Memorie dell’Accademia delle Sciènze dell’Istituto di Bologna, 4-a série, t. III), в котором Бельтрами разрешил этот вопрос, пользуясь как раз принципом виртуальных скоростей. (Прим. Дарбу.)