39. Рассмотрим теперь четвертый принцип, а именно принцип наименьшего действия.

Если мы обозначим через $и$ скорость любого тела $m$ системы, то мы будем иметь
$$u^2=\frac{d{x}^2}{d{t}^2}+\frac{d{y}^2}{d{t}^2}+\frac{d{z}^2}{d{t}^2},$$

и уравнение живых сил (п. 34) примет следующий вид:
$$\mathbf{S}m(\frac{u^2}{2}+\mathrm{\Pi })=H$$

если последнее выражение продифференцировать в смысле символа $\delta$, то оно даст
$$\mathbf{S}m(u\delta u+\delta \mathrm{\Pi })=0.$$

Но так как ІІ является функцией $p,q,r,\dots$, то мы имеем
$$\delta \mathrm{\Pi }=P\delta p+Q\delta q+R\delta r+\dots$$

Таким образом
$$\mathbf{S}m(P\delta p+Q\delta q+R\delta r+\dots )=-\mathbf{S}mu\delta u.$$

Это уравнение всегда будет иметь место, если
$$Pdp+Qdq+Rdr+\dots$$

представляет собою интегрируемую величину и если связь между телами не зависит от времени; оно перестает быть верным, когда одно из приведенных условий не выполнено.

Если указанное выше выражение теперь подставить в общую формулу динамики (п. 5 отд. II), то последняя примет следующий вид:
$$\mathbf{S}\mathit{m}(\frac{d^{2}x}{d{t}^2}\delta x+\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\delta y+\frac{d^{2}z}{d{t}^2}\delta z-u\delta u)=0.$$

Ho
$$\begin{array}{l}{d}^{2}x\delta x+d^{2}y\delta y+d^{2}z\delta z=\\ =d(dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z)-dxd\delta x-dyd\delta y-dzd\delta z.\end{array}$$

Так как символы $d$ и $\delta$ выражают совершенно независимые другот друга дифференциалы или вариации, то величины $d\delta x,d\delta y,d\delta z$ должны представлять собою то же самое, что и $\delta dx,\delta dy,\delta dz$. Сверх того, ясно, что
$$dx\delta dx+dy\delta dy+dz\delta dz=\frac{1}{2}\delta (d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2).$$

Таким образом мы имеем
$$\begin{array}{l}{d}^{2}x\delta x+d^{2}y\delta y+d^{2}z\delta z=\\ =d(dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z)-\frac{1}{2}\delta (d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2).\end{array}$$

Пусть $s$ представляет собою пространство или дугу, описанную телом $m$ за время $t$; тогда мы имеем
$$ds=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2},dt=\frac{ds}{u}.$$

Следовательно,
$$d^{2}x\delta x+d^{2}y\delta y+d^{2}z\delta z=d(dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z)-ds\delta ds$$

и отсюда
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}\delta x+\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\delta y+\frac{d^{2}z}{d{t}^2}\delta z=\frac{d(dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z)}{d{t}^2}-u^2\frac{\delta ds}{ds}.$$

В силу этого рассматриваемая общая формула примет следующий вид:
$$\mathbf{S}m[\frac{d(dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z)}{d{t}^2}-u^2\frac{\delta ds}{ds}-u\delta u]=0,$$

или, если все члены помножить на постоянный әлемент $dt=\frac{ds}{u}$ и принять во внимание, что $u\delta ds+ds8u=$ $=\delta (uds)$,
$$\mathbf{S}m[\frac{d(dx\delta x+dy\delta y+dz\delta z)}{dt}-\delta (uds)]=0.$$

Так как знак интеграла $\mathbf{S}$ не связан со знаками дифференциалов $d$ и $\delta$, можно последние поставить впереди первого, в результате чего приведенное уравнение примет следующий вид:
$$d\mathbf{S}m(\frac{dx}{dt}\delta x+\frac{dy}{dt}\delta y+\frac{dz}{dt}\delta z)-\delta \mathbf{S}muds=0.$$

Проинтегрируем это уравнение по отношению к знаку дифференциала $d$ и обозначим это интегрирование с помощью обычного знака интеграла $\int$; тогда мы получим
$$\begin{array}{c}\mathbf{S}m(\frac{dx}{dt}\delta x+\frac{dy}{dt}\delta y+\frac{dz}{dt}\delta z)-\int \delta \mathbf{S}muds=\text{ const. }\\ \text{ Но знак }\int \text{ в выражении }\\ \int \delta \mathbf{S}muds\end{array}$$

может относиться только к переменным $u$ и $s$ и не находится ни в какой связи со знаками $\mathbf{S}$ и $\delta$ поэтому ясно, что указанное выражение тождественно со следующим:
$$\delta \mathbf{S}m\int uds$$

если предположим, что в тех точках, где начинается интегрирование $\int uds$, мы имеем
$$\delta x=0,\delta y=0,\delta z=0,$$

то произвольная постоянная должна равняться нулю, так как в этих точках левая часть уравнения должна обратиться в нуль. Таким образом в этих случаях мы будем иметь
$$\delta {\mathbf{S}}_m\int uds={\mathbf{S}}_m(\frac{dx}{dt}\delta x+\frac{dy}{dt}\delta y+\frac{dz}{dt}\delta z).$$

Следовательно, если сверх того мы предположим, что вариации $\delta x,\delta y,\delta z$ равны нулю также и в тех точках, где интегрирование $\int uds$ кончается, то мы получим просто
$$\delta \mathbf{S}m\int uds=0,$$
т. е. вариация величины $\mathbf{S}m\int uds$ будет равна нулю; гаким образом әта последняя величина будет максимумом или минимумом.

Итак, отсюда вытекает следующая общая теорема.

При движении любой системы тел, находящихся под действием взаимных сил притяжения, или сил, направленных к неподвиясным чентрам и пропорцнональных каким-либо функциям расстояний, кривые, описываемые различными телами, а равно их скорости необходимо таковы, что сумма произведений отдельных масс на интеграл скорости, умноженной на элемент кривой, является максимумом или минимумомпри условии, что первые и последние точки каждой кривой рассматриваютсл как заданные, так что вариации координат, соответствуючих этим точка.и, равны нулю.

Такова теорема, которую под названием принципа наименьшего действия мы упомянули в конце первого отдела*).
*) Интеграл $\mathbf{S}m\int uds$ оказывается максимумом или минимумом, если его сравнить с аналогичными интегрелами, относящимися ко всякому другому движению системы, которое было бы вызвано теми же силами и при котором, несмотря на введение новых связей, допускающих суmествование принципа живых сил, начальные и конечные положения оставались бы одними и теми же. Возможно, что это заключение, которое с очевидностью следует из доказательетва, в тексте выражено недостаточно ясно. (Прим. Бертрана.)

40. Однако приведенная теорема не только содержит в себе интересное свойство движения тел, но может также послужить для определения этого движения. В самом деле, так как выражение $\mathbf{S}m\int uds$ должно быть максимумом или минимумом, остается только, пользуясь методом вариаций, выяснить условия, при которых она может принять указанные выше значения; если применить общее уравнение сохранения живых сил, то мы всегда найдем все уравнения, необходимые для определения движения каждого тела. Действительно, для существования максимума или минимума необходимо, чтобы вариация была равна нулю; следовательно, мы будем иметь
$$\delta \mathbf{S}m\int uds=0;$$

отсюда, проделав приведенные выше операции в обратном порядке, мы найдем ту общую формулу, из которой мы исходили.

Для того чтобы сделать этот метод более ясным, мы изложим его здесь в нескольких словах. Условие максимума или минимума вообще дает
$$\delta \mathbf{S}m\int uds=0;$$

если знак дифференциала $\delta$ ввести под знаки $\mathbf{S}$ и $\int$ (что согласно природе этих различных знаков, очевидно, допустимо), то мы получим уравнение
$$\mathbf{S}m\int \delta (uds)=0,$$

По поводу этого принципа можно посмотреть статью о. Родригеса, напечатанную в Correspondance de l’École Polytechnique, t. III, p. 159 и Vorlesungen über Dynamik Якоби.
(Iррим. Дарбу.)
(Есть русский перевод: Якоби, Лекции по динамике, ОНти, М. -Л. 1936. — Прим. ред.)

или, дифференцируя в смысле символа $\delta$,
$$\mathbf{S}m\int (ds\delta u+u\delta ds)=0.$$

Я рассматриваю сначала часть
$$\mathbf{S}m\int ds\delta u$$

если вместо $ds$ подставить его значение $udt$, то она перейдет в
$$\mathbf{S}m\int u\delta udt,$$

или, если изменить порядок знаков $\mathbf{S}$ и $\int$, которые совершенно независимы друг от друга, то она примет следующий вид:
$$\int dt\mathbf{S}mu\delta u.$$

Но общее уравнение принципа живых сил дает (п. 34)
$$\mathbf{S}m{u}^2=2H-2\mathbf{S}m\mathrm{\Pi },$$

где $d\mathrm{\Pi }$ равен
$$Pdp+Qdq+Rdr+\dots ;$$

поэтому, если приведенное выражение продифференцировать в смысле символа $\delta$, то мы получим
$\mathbf{S}mu\delta u=-\mathbf{S}m\delta \mathrm{\Pi }=-\mathbf{S}m(P\delta p+Q\delta q+R\delta r+\dots )$, ибо так как согласно допущению П является алгебраической функцией $p,q,r,\dots$, то дифференциал $\delta \mathrm{\Pi }$ представляет собою то же самое, что и $d\mathrm{\Pi }$, с заменой только символа $d$ символом $\delta$. Таким образом величина
$$\mathbf{S}m\int ds\delta u$$

будет приведена к следующему виду:
$$-\int dt\mathbf{S}m(P\delta p+Q\delta q+R\delta r+\dots ).$$

Затем я рассматриваю вторую часть
$$\mathbf{S}m\int u\delta ds$$

и подставляю в нее вместо злемента $ds$ его величину, выраженную с помощью прямоугольных координат или с помощью каких-либо других переменных. Если мы пользуемся прямоугольными координатами $x,y,z$, то
$$ds=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2};$$

следовательно, дифференцируя в смысле символа $\delta$, мы получим
$$\delta ds=\frac{dx}{ds}\delta dx+\frac{dy}{ds}\delta dy+\frac{dz}{ds}\delta dz,$$

или, переставив знаки $d$ и $\delta$ и написав $d\delta$ вместо $\delta d$, что всегда допустимо ввиду независимости этих символов,
$$\delta ds=\frac{dx}{ds}d\delta x+\frac{dy}{ds}d\delta y+\frac{dz}{ds}d\delta z;$$

таким образом, подставив это значение и написав $dt$ вместо $\frac{ds}{u}$, мы получим
$$\int u\delta ds=\int (\frac{dx}{dt}d\delta x+\frac{dy}{dt}d\delta y+\frac{dz}{dt}d\delta z).$$

Так как здесь под знаком интеграла $\int$ находятся дифференциалы вариаций $\delta x,\delta y,\delta z$, то следует их устранить, пользуясь известной операцией интегрирования по частям согласно правилам вариационного исчисления. Таким образом величина $\int \frac{dx}{dt}d\delta x$ преобразуется в-другую ей эквивалентную
$$\frac{dx}{dt}\delta x-\int \delta xd\frac{dx}{dt}$$

если предположить, что обе крайние точки кривой заданы, так что координаты, соответствующие началу и концу интеграла, не изменяются, то мы будем 25 ж. Лагранж, т. I

иметь просто
$$\int \frac{dx}{dt}d\delta x=-\int \delta xd\frac{dx}{dt}.$$

Аналогично мы найдем
$$\int \frac{dy}{dt}d\delta y=-\int \delta yd\frac{dy}{dt}\text{ и }\int \frac{dz}{dt}d\delta z=-\int \delta zd\frac{dz}{dt}.$$

Таким образом мы получим следующее преобразованное выражение
$$\int u\delta ds=-\int (\delta xd\frac{dx}{dt}+\delta yd\frac{dy}{dt}+\delta zd\frac{dz}{dt}).$$

Следовательно, величина ${\mathbf{S}}_m\int u\delta ds$, если переставить знаки $\mathbf{S}$ и $\int$, а $dt$ считать постоянной величиной, примет следующий вид:
$$-\int dt\mathbf{S}m(\delta xd\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\delta yd\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+\delta zd\frac{d^{2}z}{d{t}^2}).$$

Таким образом мы получим следующее уравнение максимума или минимума:
$$\begin{array}{rl}\int dt\mathbf{S}m(P\delta p+Q\delta q& +R\delta r+\dots +\\ & +\frac{d^{2}x}{d{t}^2}\delta x+\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\delta y+\frac{d^{2}z}{d{t}^2}\delta z)=0,\end{array}$$

которое, вообще говоря, должно иметь силу для всех возможных вариаций; поэтому величина, стоящая под знаком $\int$, должна в любое мгновение быть равной нулю; таким образом мы получим неопределенное уравнение
$$\begin{array}{rl}\mathbf{S}n(P\delta p+Q\delta q& +R\delta r+\dots +\\ & +\frac{d^{2}x}{d{t}^2}\delta x+\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\delta y+\frac{d^{2}z}{d{t}^2}\delta z)=0,\end{array}$$

ноторое представляет собою не что иное, как общую формулу динамики (отд. II, п. 5) и которое, следовательно, подобно ей, даст все уравнения, необходимые для разрешения настоящей задачи.
41. Вместо координат $x,y,z$ можно также воспользоваться любыми другими неопределенными величинами, и тогда все сведется к тому, чтобы әлемент дуги $ds$ выразить в функции этих неопределенных величин. Так, например, если взять радиус, или прямолинейное расстояние от начала координат, которое мы назовем $\rho$, и два угла, из которых один, $\psi$, пусть обозначает угол, образуемый упомянутым радиусом с плоскостью $xy$, а другой, $\phi -$ угол, образуемый проекцией того же радиуса на указанную плоскость с осью $x$, то мы будем иметь
$$z=\rho \sin \psi ,y=\rho \cos \psi \sin \phi ,x=\rho \cos \psi \cos \phi ,$$

а отсюда мы получим
$$d{s}^2=d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2=d{\rho }^2+{\rho }^2(d{\psi }^2+{\cos }^2\psi d{\phi }^2);$$

это выражение можно было бы вывести и непосредственно, пользуясь геометрическим методом. Продифференцировав в смысле $\delta$ и написав $d\delta$ вместо $\delta d$, мы будем иметь
$$\begin{array}{rl}ds\delta ds=& d\rho d\delta \rho +\rho (d{\psi }^2+{\cos }^2\psi d{\phi }^2)\delta \rho +\\ & +{\rho }^2(d\psi d\delta \psi -\sin \psi \cos \psi d{\phi }^2\delta \psi +{\cos }^2\psi d\phi d\delta \phi ),\end{array}$$

откуда, разделив на $dt=\frac{ds}{u}$ и проинтегрировав, получим
$$\begin{array}{l}\int u\delta ds=\int dt[\frac{d\rho }{dt}\frac{d\delta \rho }{dt}+\rho (\frac{d{\psi }^2}{d{t}^2}+{\cos }^2\psi \frac{d{\phi }^2}{d{t}^2})\delta \rho ]+\\ +\int dt({\rho }^2\frac{d\psi }{dt}\frac{d\delta \psi }{dt}-{\rho }^2\sin \psi \cos \psi \frac{d{\phi }^2}{d{t}^2}\delta \psi +{\rho }^2{\cos }^2\psi \frac{d\phi }{dt}\frac{d\delta \phi }{dt}).\end{array}$$

Двойной символ $d\delta$ под знаком $\int$ можно устранить путем интегрирования по частям. Сначала отб́росим члены, содержащие вариации вне знака $\int$, так как эти вариации, которые в данном случае должны относиться к пределам интеграла, становятся равными нулю благодаря принятому допущению, что начальные и конечные точки кривых, описываемых телами, наперед заданы и являются неизменными. В результате мы получим следующее преобразован. ное выражение:
$$\begin{array}{l}\int u\delta ds=-\int du\delta s=\\ =-\int dt\{(\frac{d^2\rho }{d{t}^2}-\rho \frac{d{\psi }^2}{d{t}^2}-\rho {\cos }^2\psi \frac{d{\phi }^2}{d{t}^2})\delta \rho +\\ +[{\rho }^2\sin \psi \cos \psi \frac{d{\phi }^2}{d{t}^2}+\frac{d\left({\rho }^2\frac{d\psi }{dt}\right)}{dt}]\delta \psi +\frac{d({\cos }^2\psi \frac{d\phi }{dt})}{dt}\delta \phi \}.\end{array}$$

Таким образом уравнение максимума или минимума примет следующий вид:
$$\begin{array}{rl}\int dt\mathbf{S}& m\{P\delta p+Q\delta q+R\delta r+\dots +\\ +& (\frac{d^2\rho }{d{t}^2}-\rho \frac{d{\psi }^2}{d{t}^2}-\rho {\cos }^2\psi \frac{d{\phi }^2}{d{t}^2})\delta \rho +\\ +& [{\rho }^2\sin \psi \cos \psi \frac{d{\phi }^2}{d{t}^2}+\frac{d\left({\mu }^2\frac{d\psi }{dt}\right)}{dt}]\delta \psi +\\ +& \frac{d({\cos }^2\psi \frac{d\phi }{dt})}{dt}\delta \phi \}=0.\end{array}$$

Если приравнять нулю величину, стоящую под знаком $\int$, мы получим неопределенное уравнение, аналогичное уравнению, приведенному в предыдущем пункте, которое, однако, вместо вариаций $\delta x,y\delta ,\delta z$ будет содержать вариации $\delta \rho ,\delta \phi ,\delta \psi$; отсюда можно вывести уравнения, необходимые для решения поставленной задачи, если сначала все вариации свести к возможно меньшему их числу и затем отдельно приравнять нулю все члены, в состав которых входит каждая из оставшихся вариаций.

Если воспользоваться другими неопределенными величинами, то мы получим иные формулы, но можно быть уверенным, что в каждом отдельном случае всегда можно получить наиболее простые формулы, вытекающие из природы этих неопределенных величин. Смотри том II Mémoires de l’Académie de Turin, где этот метод был применен для разрешения различных вопросов механики *).
42. Впрочем, так как $ds=udt$, то величина,
$$\mathbf{S}m\int uds,$$

которая представляет собою максимум или минимум, может быть приведена к следующему виду $\mathbf{S}m\int u^{2}dt$ или $\int dt\mathbf{S}m{u}^2$, где $\mathbf{S}m{u}^2$ выражает живую силу всей системы в любое мгновение. Таким образом рассматриваемый принцип сводится собственно к тому, что сумма живых сил всех тел от момента, когда они выходят из заданных точек, до того момента, когда они приходят в другие заданные точки, является максимумом или минимумом. Следовательно, его можно было бы с большим основанием назвать принципом наибольшей или наименьшей живой силы; эта формулировка имела бы то преимущество, что она была бы общей как для движения, так и для равновесия; в самом деле, в отд. III «Статики» (п. 22) мы видели, что при прохождении положения равновесия живая сила системы всегда бывает наибольшей или наименьшей.
*) См. также интересную статью О. Родригеса в Correspondance sur l’École Polythechnique, т. III, стр. 159. (Iрия. Бертрана.)