2. Пусть имеется какая-либо система тел $m$, находящихся под действием ускоряющих сил $P, Q, R, \ldots$, направленных к каким-либо неподвижным или подвижным центрам и пропорциональных каким-нибудь функциям их расстояний $p, q, r, \ldots$ от этих центров.

Допустим, тто, приняв во внимание условные уравнения системы, мы выразим координаты $x, y, z$ каждого из тел в функции других переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, которые совершенно независимы друг от друга и служат для определения положения системы в любое мгновение.

Для движения всей системы мы будем иметь уравнения п. 10 предыдущего отдела; легко видеть, что эти уравнения являются уравнениями второго порядка по отношению к переменным $\xi, \psi, \varphi, \ldots$; таким образом полные значения этих переменных, которые будут найдены путем интегрирования и которые будут выражены в виде функций времени $t$, будут содержать в себе вдвое большее число произвольных постоянных, чем имеется переменных. Так как эти постоянные должны оставаться произвольными, то их можно произвольно изменять; таким образом рассматриваемые уравнения можно будет дифференцировать по этим постоянным, которые согласно предположению содержатся в выражениях переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$
3. Положим для большей простоты $d \xi=\xi^{\prime} d t$, $d \psi=\psi^{\prime} d t, d \varphi=\varphi^{\prime} d t, \ldots ;$ тогда величина $T$ будет функцией $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ и $\xi^{\prime}, \psi^{\prime}, \varphi^{\prime}, \ldots$, и если силы направлены к неподвижным центрам или к телам самой системы, то величина $V$ будет простой функцией $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ В этом случае, положив $Z=T-V$, мы будем иметь
\[
\frac{\delta T}{\delta d \xi}=\frac{1}{d t} \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}, \quad \frac{\delta T}{\delta d \psi}=\frac{1}{d t} \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}, \quad \frac{\delta T}{\delta d \varphi}=\frac{1}{d t} \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}, \ldots ;
\]

символ $\delta$ здесь можно заменить символом $\partial$, так как он служит только для выражения частных дифференциалов.

Таким обравом дифференциальные уравнения движения системы (п. 10 предыдущего отдела), будучи помножены на $d t$, сведутся к следующему более простому виду:
\[
\begin{array}{l}
d \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}-\frac{\partial Z}{\partial \xi} d t=0 \\
d \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}-\frac{\partial Z}{\partial \psi} d t=0 \\
d \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}-\frac{\partial Z}{\partial \varphi} d t=0 \\
\cdots \cdots
\end{array}
\]

4. Продифференцируем эти уравнения в смысле символа $\delta^{*}$ ), который мы отнесем исключительно к вариациям произвольных постоянных, содержащихся в выражениях переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, функцией которых является $Z$; так как символ $d$, находящийся в членах $d \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}, d \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}, \ldots$ относится только к переменной $t$, выражающей время, можно согласно принципам вариационного исчисления двойной символ $\delta d$ заменить символом $d \delta$; указанным путем мы получим следующие уравнения:
\[
\begin{array}{c}
d \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}-\delta \frac{\partial Z}{\partial \xi} d t=0, \\
d \delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}-\delta \frac{\partial Z}{\partial \psi} d t=0, \\
d \delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}-\delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi} d t=0, \\
\ldots \ldots . \cdots . \ldots .
\end{array}
\]

Точно так же, если для выражения других вариаций тех же произвольных постоянных мы применим символ $\Delta$, то мы получим
\[
\begin{array}{c}
d \Delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}-\Delta \frac{\partial Z}{\partial \xi} d t=0 \\
d \Delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}-\Delta \frac{\partial Z}{\partial \psi} d t=0 \\
d \Delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}-\Delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi} d t=0 \\
\cdots \cdots \cdots
\end{array}
\]
5. Если теперь первую группу уравнений умножить соответственно на $\Delta \xi, \Delta \psi, \Delta \varphi, \ldots$ и из их суммы вычесть сумму второй группы уравнений, умножен-
*) Здесь пр едполагается, что после интегрирования этих уравнений вмосто переменных $\xi, \psi, \ldots$ подставлены их общие выражения, полученные с помощью этого интегрировавия. Тогда уравнения превращаются в тождества и их можно дифферевцировать по различным буквам, входящим в их состав. (Прим. Бертрана.)

ных соответственно на $\delta \xi, \delta \psi, \delta \varphi, \ldots$, то мы получим
\[
\begin{array}{c}
\Delta \xi d \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}+\Delta \psi d \delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}+\Delta \varphi d \delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}+\ldots- \\
-\delta \xi d \Delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}-\delta \psi d \Delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}-\delta \varphi d \Delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}+\ldots- \\
-\left(\Delta \xi \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi}+\Delta \psi \delta \frac{\partial Z}{\partial \psi}+\Delta \varphi \delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi}+\ldots\right) d t- \\
-\left(\delta \xi \Delta \frac{\partial Z}{\partial \xi}+\delta \psi \Delta \frac{\partial Z}{\partial \psi}+\delta \varphi \Delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi}+\ldots\right) d t=0 .
\end{array}
\]

Но $\quad \Delta \xi d \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}=d\left(\Delta \xi \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}\right)-d \Delta \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}} ; \quad$ при этом $d \Delta \xi=\Delta d \xi=\Delta \xi^{\prime} d t$, ибо $d \xi=\xi^{\prime} d t$; следовательно,
\[
\Delta \xi d \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}=d\left(\Delta \xi \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}\right)-\Delta \xi^{\prime} \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}} d t .
\]

Подобным же образом мы будем иметь
\[
\delta \xi d \Delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}=d\left(\delta \xi \Delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}\right)-\delta \xi^{\prime} \Delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}} d t,
\]

и такие же формулы для других величин.
С помощью указанных преобразований предыдущее уравнение будет приведено к следующему виду:
\[
\begin{array}{l}
d\left\{\begin{array}{c}
\Delta \xi \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}+\Delta \psi \delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}+\Delta \varphi \delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}+\ldots- \\
-\delta \xi \Delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}-\delta \psi \Delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}-\delta \varphi \Delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}-\ldots
\end{array}\right\}- \\
-\left\{\begin{array}{c}
\Delta \xi \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi}+\Delta \psi \delta \frac{\partial Z}{\partial \psi}+\Delta \varphi \delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi}+\ldots+ \\
+\Delta \xi^{\prime} \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}+\Delta \psi^{\prime} \delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}+\Delta \varphi^{\prime} \delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}+\ldots
\end{array}\right\} d t+ \\
+\left\{\begin{array}{c}
\delta \xi \Delta \frac{\partial Z}{\partial \xi}+\delta \psi \Delta \frac{\partial Z}{\partial \psi}+\delta \varphi \Delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi}+\ldots+ \\
+\delta \xi^{\prime} \Delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}+\delta \psi^{\prime} \Delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}+\delta \varphi^{\prime} \Delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}+\ldots
\end{array}\right\} d t=0 .
\end{array}
\]
6. Если развернуть выражения $\delta \frac{\partial Z}{\partial \xi}, \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}, \ldots$, равно как аналогичные им выражения $\Delta \frac{\partial Z}{\partial \xi}$, $\Delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}, \ldots$, рассматривая при этом $Z$ как функцию $\xi, \psi$, $\varphi, \ldots$ и $\xi^{\prime}, \psi^{\prime} \varphi^{\prime}, \ldots$, то легко видеть, что члены предыдущего уравнения, будучи умножены на $d t$, взаимно друг друга уничтожают. Действительно, мы имеем
\[
\begin{array}{l}
\delta \frac{\partial Z}{\partial \xi}=\frac{\partial^{2} Z}{\partial \xi^{2}} \delta \xi+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \xi \partial \psi} \delta \psi+\ldots+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \xi \partial \xi^{\prime}} \delta \xi^{\prime}+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \xi \partial \psi^{\prime}} \delta \psi^{\prime}+\ldots, \\
\delta \frac{\partial Z}{\partial \psi}=\frac{\partial^{2} Z}{\partial \xi \partial \psi} \delta \xi+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \psi^{2}} \delta \psi+\ldots+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \psi \partial \xi^{\prime}} \delta \xi^{\prime}+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \psi \partial \psi^{\prime}} \delta \psi^{\prime}+\ldots, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\[
\begin{array}{l}
\delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}=\frac{\partial^{2} Z}{\partial \xi \partial \xi^{\prime}} \delta \xi+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \psi \partial \xi^{\prime}} \delta \psi+\ldots+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \xi^{\prime 2}}-\delta \xi^{\prime}+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \xi^{\prime} \partial \psi^{\prime}} \delta \psi^{\prime}+\ldots, \\
\delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}=\frac{\partial^{2} Z}{\partial \partial_{\jmath^{\prime}}} \delta \xi+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \psi^{\prime} \psi^{\prime}} \delta \psi+\ldots+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \xi^{\prime} \partial \psi^{\prime}} \delta \xi^{\prime}+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \psi^{\prime 2}} \delta \psi^{\prime}+\ldots, \\
\text {. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Если члены расположить в порядке по отношению частным дифференциалам $Z$, то мы получим следую цее разложение:
\[
\begin{array}{l}
\Delta \xi \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi}+\Delta \psi \delta \frac{\partial Z}{\partial \psi}+\ldots+\Delta \xi^{\prime} \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}+\Delta \psi^{\prime} \delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}+\ldots= \\
=+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \xi^{2}} \Delta \xi \delta \xi+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \xi \partial \psi}(\Delta \xi \delta \psi+\Delta \psi \delta \xi)+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \psi^{2}} \Delta \psi \delta \psi+\ldots+ \\
+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \xi \partial \xi^{\prime}}\left(\Delta \xi \delta \xi^{\prime}+\Delta \xi^{\prime} \delta \xi\right)+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \xi \partial \psi^{\prime}}\left(\Delta \xi \delta \psi^{\prime}+\Delta \psi^{\prime} \delta \xi\right)+\ldots+ \\
+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \psi \partial \xi^{\prime}}\left(\Delta \psi \delta \xi^{\prime}+\Delta \xi^{\prime} \delta \psi\right)+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \psi \partial \psi^{\prime}}\left(\Delta \psi \delta \psi^{\prime}+\Delta \psi^{\prime} \delta \psi\right)+\ldots+ \\
+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \xi^{\prime 2}} \Delta \xi^{\prime} \delta \xi^{\prime}+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \xi^{\prime} \partial \psi^{\prime}}\left(\Delta \xi^{\prime} \delta \psi+\Delta \psi^{\prime} \delta \xi^{\prime}\right)+\frac{\partial^{2} Z}{\partial \psi^{\prime 2}} \Delta \psi^{\prime} \delta \psi^{\prime}+\ldots, \\
\end{array}
\]

Если символы $\delta$ и $\Delta$ переставить один на место другого, то мы получим аналогичное разложение
\[
\delta \xi \Delta \frac{\partial Z}{\partial \xi}+\delta \psi \Delta \frac{\partial Z}{\partial \psi}+\ldots+\delta \xi^{\prime} \Delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}+\delta \psi^{\prime} \Delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}+\ldots
\]

Мы видим, однако, что эта замена не вызывает никакого изменения в предыдущем разложении; отсюда слөдует, что приведенные два выражения тождественны; а так как они встречаются в указанном выше уравнении с противоположными знаками, то они должны взаимно уничтожиться.
7. Таким образом мы получаем просто уравнение
\[
d\left\{\begin{array}{c}
\Delta \xi \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}+\Delta \psi \delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}+\Delta \varphi \delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}+\ldots- \\
-\delta \xi \Delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}-\delta \psi \Delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}-\delta \varphi \Delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}-\ldots
\end{array}\right\}=0,
\]

в котором вместо $Z$ можно поставить $T$, так как $Z=T-V$, а $V$ не должно содержать в себе переменных $\xi^{\prime}, \psi^{\prime}, \varphi^{\prime}, \ldots$ (п. 3 ).
Из приведенного уравнения видно, что величина
\[
\begin{array}{l}
\Delta \xi \delta \frac{\partial T}{\partial \xi^{\prime}}+\Delta \psi \delta \frac{\partial T}{\partial \psi^{\prime}}+\Delta \varphi \delta \frac{\partial T}{\partial \varphi^{\prime}}+\ldots- \\
-\delta \xi \Delta \frac{\partial T}{\partial \xi^{\prime}}-\delta \psi \Delta \frac{\partial T}{\partial \psi^{\prime}}-\delta \varphi \Delta \frac{\partial T}{\partial \varphi^{\prime}}-\ldots
\end{array}
\]

необходимо всегда является постоянной по отношению ко времени $t$, к которому относятся дифференциалы, обозначенные символом $d$. Таким образом, если в эту величину подставить значения переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, выраженные в виде функций $t$ и произвольных постоянных, полученные из уравнений какой-либо задачи механики, то переменная $t$ сама собою исчезнет, каковы бы ни были те вариации, которым подвергнуты эти постоянные в величинах, снабженных символами $\delta$ и $\Delta$. Здесь мы имеем новое весьма замечательное свойство функции $T$, выражающей живую силу всей системы, которое может дать общий критерий для суждения о точности решения, найденного с помощью какого угодно метода. Но, как мы это покажем ниже, важнейшее применение эта формула находит для варьирования произвольных постоянных в вопросах механики.