2. Пусть имеется какая-либо система тел $m$, находящихся под действием ускоряющих сил $P,Q,R,\dots$, направленных к каким-либо неподвижным или подвижным центрам и пропорциональных каким-нибудь функциям их расстояний $p,q,r,\dots$ от этих центров.

Допустим, тто, приняв во внимание условные уравнения системы, мы выразим координаты $x,y,z$ каждого из тел в функции других переменных $\xi ,\psi ,\phi ,\dots$, которые совершенно независимы друг от друга и служат для определения положения системы в любое мгновение.

Для движения всей системы мы будем иметь уравнения п. 10 предыдущего отдела; легко видеть, что эти уравнения являются уравнениями второго порядка по отношению к переменным $\xi ,\psi ,\phi ,\dots$; таким образом полные значения этих переменных, которые будут найдены путем интегрирования и которые будут выражены в виде функций времени $t$, будут содержать в себе вдвое большее число произвольных постоянных, чем имеется переменных. Так как эти постоянные должны оставаться произвольными, то их можно произвольно изменять; таким образом рассматриваемые уравнения можно будет дифференцировать по этим постоянным, которые согласно предположению содержатся в выражениях переменных $\xi ,\psi ,\phi ,\dots$
3. Положим для большей простоты $d\xi ={\xi }^{\prime }dt$, $d\psi ={\psi }^{\prime }dt,d\phi ={\phi }^{\prime }dt,\dots ;$ тогда величина $T$ будет функцией $\xi ,\psi ,\phi ,\dots$ и ${\xi }^{\prime },{\psi }^{\prime },{\phi }^{\prime },\dots$, и если силы направлены к неподвижным центрам или к телам самой системы, то величина $V$ будет простой функцией $\xi ,\psi ,\phi ,\dots$ В этом случае, положив $Z=T-V$, мы будем иметь
$$\frac{\delta T}{\delta d\xi }=\frac{1}{dt}\frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }},\frac{\delta T}{\delta d\psi }=\frac{1}{dt}\frac{\partial Z}{\partial {\psi }^{\prime }},\frac{\delta T}{\delta d\phi }=\frac{1}{dt}\frac{\partial Z}{\partial {\phi }^{\prime }},\dots ;$$

символ $\delta$ здесь можно заменить символом $\partial$, так как он служит только для выражения частных дифференциалов.

Таким обравом дифференциальные уравнения движения системы (п. 10 предыдущего отдела), будучи помножены на $dt$, сведутся к следующему более простому виду:
$$\begin{array}{l}d\frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}-\frac{\partial Z}{\partial \xi }dt=0\\ d\frac{\partial Z}{\partial {\psi }^{\prime }}-\frac{\partial Z}{\partial \psi }dt=0\\ d\frac{\partial Z}{\partial {\phi }^{\prime }}-\frac{\partial Z}{\partial \phi }dt=0\\ \cdots \cdots \end{array}$$

4. Продифференцируем эти уравнения в смысле символа ${\delta }^{\ast }$ ), который мы отнесем исключительно к вариациям произвольных постоянных, содержащихся в выражениях переменных $\xi ,\psi ,\phi ,\dots$, функцией которых является $Z$; так как символ $d$, находящийся в членах $d\frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }},d\frac{\partial Z}{\partial {\psi }^{\prime }},\dots$ относится только к переменной $t$, выражающей время, можно согласно принципам вариационного исчисления двойной символ $\delta d$ заменить символом $d\delta$; указанным путем мы получим следующие уравнения:
$$\begin{array}{c}d\delta \frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}-\delta \frac{\partial Z}{\partial \xi }dt=0,\\ d\delta \frac{\partial Z}{\partial {\psi }^{\prime }}-\delta \frac{\partial Z}{\partial \psi }dt=0,\\ d\delta \frac{\partial Z}{\partial {\phi }^{\prime }}-\delta \frac{\partial Z}{\partial \phi }dt=0,\\ \dots \dots .\cdots .\dots .\end{array}$$

Точно так же, если для выражения других вариаций тех же произвольных постоянных мы применим символ $\mathrm{\Delta }$, то мы получим
$$\begin{array}{c}d\mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}-\mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial \xi }dt=0\\ d\mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial {\psi }^{\prime }}-\mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial \psi }dt=0\\ d\mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial {\phi }^{\prime }}-\mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial \phi }dt=0\\ \cdots \cdots \cdots \end{array}$$
5. Если теперь первую группу уравнений умножить соответственно на $\mathrm{\Delta }\xi ,\mathrm{\Delta }\psi ,\mathrm{\Delta }\phi ,\dots$ и из их суммы вычесть сумму второй группы уравнений, умножен-
*) Здесь пр едполагается, что после интегрирования этих уравнений вмосто переменных $\xi ,\psi ,\dots$ подставлены их общие выражения, полученные с помощью этого интегрировавия. Тогда уравнения превращаются в тождества и их можно дифферевцировать по различным буквам, входящим в их состав. (Прим. Бертрана.)

ных соответственно на $\delta \xi ,\delta \psi ,\delta \phi ,\dots$, то мы получим
$$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }\xi d\delta \frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}+\mathrm{\Delta }\psi d\delta \frac{\partial Z}{\partial {\psi }^{\prime }}+\mathrm{\Delta }\phi d\delta \frac{\partial Z}{\partial {\phi }^{\prime }}+\dots -\\ -\delta \xi d\mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}-\delta \psi d\mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial {\psi }^{\prime }}-\delta \phi d\mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial {\phi }^{\prime }}+\dots -\\ -(\mathrm{\Delta }\xi \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi }+\mathrm{\Delta }\psi \delta \frac{\partial Z}{\partial \psi }+\mathrm{\Delta }\phi \delta \frac{\partial Z}{\partial \phi }+\dots )dt-\\ -(\delta \xi \mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial \xi }+\delta \psi \mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial \psi }+\delta \phi \mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial \phi }+\dots )dt=0.\end{array}$$

Но $\mathrm{\Delta }\xi d\delta \frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}=d\left(\mathrm{\Delta }\xi \delta \frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}\right)-d\mathrm{\Delta }\delta \frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }};$ при этом $d\mathrm{\Delta }\xi =\mathrm{\Delta }d\xi =\mathrm{\Delta }{\xi }^{\prime }dt$, ибо $d\xi ={\xi }^{\prime }dt$; следовательно,
$$\mathrm{\Delta }\xi d\delta \frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}=d\left(\mathrm{\Delta }\xi \delta \frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}\right)-\mathrm{\Delta }{\xi }^{\prime }\delta \frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}dt.$$

Подобным же образом мы будем иметь
$$\delta \xi d\mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}=d\left(\delta \xi \mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}\right)-\delta {\xi }^{\prime }\mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}dt,$$

и такие же формулы для других величин.
С помощью указанных преобразований предыдущее уравнение будет приведено к следующему виду:
$$\begin{array}{l}d\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }\xi \delta \frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}+\mathrm{\Delta }\psi \delta \frac{\partial Z}{\partial {\psi }^{\prime }}+\mathrm{\Delta }\phi \delta \frac{\partial Z}{\partial {\phi }^{\prime }}+\dots -\\ -\delta \xi \mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}-\delta \psi \mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial {\psi }^{\prime }}-\delta \phi \mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial {\phi }^{\prime }}-\dots \end{array}\right\}-\\ -\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }\xi \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi }+\mathrm{\Delta }\psi \delta \frac{\partial Z}{\partial \psi }+\mathrm{\Delta }\phi \delta \frac{\partial Z}{\partial \phi }+\dots +\\ +\mathrm{\Delta }{\xi }^{\prime }\delta \frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}+\mathrm{\Delta }{\psi }^{\prime }\delta \frac{\partial Z}{\partial {\psi }^{\prime }}+\mathrm{\Delta }{\phi }^{\prime }\delta \frac{\partial Z}{\partial {\phi }^{\prime }}+\dots \end{array}\right\}dt+\\ +\left\{\begin{array}{c}\delta \xi \mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial \xi }+\delta \psi \mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial \psi }+\delta \phi \mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial \phi }+\dots +\\ +\delta {\xi }^{\prime }\mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}+\delta {\psi }^{\prime }\mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial {\psi }^{\prime }}+\delta {\phi }^{\prime }\mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial {\phi }^{\prime }}+\dots \end{array}\right\}dt=0.\end{array}$$
6. Если развернуть выражения $\delta \frac{\partial Z}{\partial \xi },\delta \frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }},\dots$, равно как аналогичные им выражения $\mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial \xi }$, $\mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }},\dots$, рассматривая при этом $Z$ как функцию $\xi ,\psi$, $\phi ,\dots$ и ${\xi }^{\prime },{\psi }^{\prime }{\phi }^{\prime },\dots$, то легко видеть, что члены предыдущего уравнения, будучи умножены на $dt$, взаимно друг друга уничтожают. Действительно, мы имеем
$$\begin{array}{l}\delta \frac{\partial Z}{\partial \xi }=\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial {\xi }^2}\delta \xi +\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial \xi \partial \psi }\delta \psi +\dots +\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial \xi \partial {\xi }^{\prime }}\delta {\xi }^{\prime }+\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial \xi \partial {\psi }^{\prime }}\delta {\psi }^{\prime }+\dots ,\\ \delta \frac{\partial Z}{\partial \psi }=\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial \xi \partial \psi }\delta \xi +\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial {\psi }^2}\delta \psi +\dots +\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial \psi \partial {\xi }^{\prime }}\delta {\xi }^{\prime }+\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial \psi \partial {\psi }^{\prime }}\delta {\psi }^{\prime }+\dots ,\\ \text{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }\end{array}$$
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
$$\begin{array}{l}\delta \frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}=\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial \xi \partial {\xi }^{\prime }}\delta \xi +\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial \psi \partial {\xi }^{\prime }}\delta \psi +\dots +\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial {\xi }^{\prime 2}}-\delta {\xi }^{\prime }+\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial {\xi }^{\prime }\partial {\psi }^{\prime }}\delta {\psi }^{\prime }+\dots ,\\ \delta \frac{\partial Z}{\partial {\psi }^{\prime }}=\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial {\partial }_{{ȷ}^{\prime }}}\delta \xi +\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial {\psi }^{\prime }{\psi }^{\prime }}\delta \psi +\dots +\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial {\xi }^{\prime }\partial {\psi }^{\prime }}\delta {\xi }^{\prime }+\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial {\psi }^{\prime 2}}\delta {\psi }^{\prime }+\dots ,\\ \text{. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . }\end{array}$$

Если члены расположить в порядке по отношению частным дифференциалам $Z$, то мы получим следую цее разложение:
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }\xi \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi }+\mathrm{\Delta }\psi \delta \frac{\partial Z}{\partial \psi }+\dots +\mathrm{\Delta }{\xi }^{\prime }\delta \frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}+\mathrm{\Delta }{\psi }^{\prime }\delta \frac{\partial Z}{\partial {\psi }^{\prime }}+\dots =\\ =+\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial {\xi }^2}\mathrm{\Delta }\xi \delta \xi +\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial \xi \partial \psi }(\mathrm{\Delta }\xi \delta \psi +\mathrm{\Delta }\psi \delta \xi )+\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial {\psi }^2}\mathrm{\Delta }\psi \delta \psi +\dots +\\ +\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial \xi \partial {\xi }^{\prime }}(\mathrm{\Delta }\xi \delta {\xi }^{\prime }+\mathrm{\Delta }{\xi }^{\prime }\delta \xi )+\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial \xi \partial {\psi }^{\prime }}(\mathrm{\Delta }\xi \delta {\psi }^{\prime }+\mathrm{\Delta }{\psi }^{\prime }\delta \xi )+\dots +\\ +\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial \psi \partial {\xi }^{\prime }}(\mathrm{\Delta }\psi \delta {\xi }^{\prime }+\mathrm{\Delta }{\xi }^{\prime }\delta \psi )+\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial \psi \partial {\psi }^{\prime }}(\mathrm{\Delta }\psi \delta {\psi }^{\prime }+\mathrm{\Delta }{\psi }^{\prime }\delta \psi )+\dots +\\ +\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial {\xi }^{\prime 2}}\mathrm{\Delta }{\xi }^{\prime }\delta {\xi }^{\prime }+\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial {\xi }^{\prime }\partial {\psi }^{\prime }}(\mathrm{\Delta }{\xi }^{\prime }\delta \psi +\mathrm{\Delta }{\psi }^{\prime }\delta {\xi }^{\prime })+\frac{{\partial }^{2}Z}{\partial {\psi }^{\prime 2}}\mathrm{\Delta }{\psi }^{\prime }\delta {\psi }^{\prime }+\dots ,\end{array}$$

Если символы $\delta$ и $\mathrm{\Delta }$ переставить один на место другого, то мы получим аналогичное разложение
$$\delta \xi \mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial \xi }+\delta \psi \mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial \psi }+\dots +\delta {\xi }^{\prime }\mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}+\delta {\psi }^{\prime }\mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial {\psi }^{\prime }}+\dots$$

Мы видим, однако, что эта замена не вызывает никакого изменения в предыдущем разложении; отсюда слөдует, что приведенные два выражения тождественны; а так как они встречаются в указанном выше уравнении с противоположными знаками, то они должны взаимно уничтожиться.
7. Таким образом мы получаем просто уравнение
$$d\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }\xi \delta \frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}+\mathrm{\Delta }\psi \delta \frac{\partial Z}{\partial {\psi }^{\prime }}+\mathrm{\Delta }\phi \delta \frac{\partial Z}{\partial {\phi }^{\prime }}+\dots -\\ -\delta \xi \mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial {\xi }^{\prime }}-\delta \psi \mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial {\psi }^{\prime }}-\delta \phi \mathrm{\Delta }\frac{\partial Z}{\partial {\phi }^{\prime }}-\dots \end{array}\right\}=0,$$

в котором вместо $Z$ можно поставить $T$, так как $Z=T-V$, а $V$ не должно содержать в себе переменных ${\xi }^{\prime },{\psi }^{\prime },{\phi }^{\prime },\dots$ (п. 3 ).
Из приведенного уравнения видно, что величина
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }\xi \delta \frac{\partial T}{\partial {\xi }^{\prime }}+\mathrm{\Delta }\psi \delta \frac{\partial T}{\partial {\psi }^{\prime }}+\mathrm{\Delta }\phi \delta \frac{\partial T}{\partial {\phi }^{\prime }}+\dots -\\ -\delta \xi \mathrm{\Delta }\frac{\partial T}{\partial {\xi }^{\prime }}-\delta \psi \mathrm{\Delta }\frac{\partial T}{\partial {\psi }^{\prime }}-\delta \phi \mathrm{\Delta }\frac{\partial T}{\partial {\phi }^{\prime }}-\dots \end{array}$$

необходимо всегда является постоянной по отношению ко времени $t$, к которому относятся дифференциалы, обозначенные символом $d$. Таким образом, если в эту величину подставить значения переменных $\xi ,\psi ,\phi ,\dots$, выраженные в виде функций $t$ и произвольных постоянных, полученные из уравнений какой-либо задачи механики, то переменная $t$ сама собою исчезнет, каковы бы ни были те вариации, которым подвергнуты эти постоянные в величинах, снабженных символами $\delta$ и $\mathrm{\Delta }$. Здесь мы имеем новое весьма замечательное свойство функции $T$, выражающей живую силу всей системы, которое может дать общий критерий для суждения о точности решения, найденного с помощью какого угодно метода. Но, как мы это покажем ниже, важнейшее применение эта формула находит для варьирования произвольных постоянных в вопросах механики.