27. Частные условия равновесия жидкости, в которую погружено твердое тело или которая окружает твердое тело, если все точки жидкости и твердого тела находятся под действием каких-либо сил, зависят от тех членов общего уравнения (п. 17), которые относятся к пределам и которые содержат только двойные интегралы.
Эти члены дают следующее уравнение на границах:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S} \lambda^{\prime \prime}\left(\delta x^{\prime \prime} d y d z+\delta y^{\prime \prime} d x d z+\delta z^{\prime \prime} d x d y\right)- \\
-\mathbf{S} \lambda^{\prime}\left(\delta x^{\prime} d y d z+\delta y^{\prime} d x d z+\delta z^{\prime} d x d y\right)=0,
\end{array}
\]

которое должно удовлетворяться во всех тех точках, где жидкость соприкасается с твердым телом.
28. Рассмотрим сначала случай жидкой массы, внешняя поверхность которой свободна и которая окружает твердое неподлижное ядро любой формы.

Примем начало координат в какой-нибудь точке внутри ядра; пусть величины, отмеченные одним штрихом, относятся к погерхности ядра, а отмеченные двумя штрихами – к внешней поверхности жидкости. Таким образом прежде всего для всех точек последней поверхности мы будем иметь уравнение $\lambda^{\prime \prime}=0$, которое, как мы уже видели выше (п. 19), дает для формы этой поверхности следующеө уравнение:
\[
\mathbf{S} \Gamma(X d x+Y d y+Z d z)=K .
\]

Таким образом остается только удовлетворить уравнению
\[
\mathbf{S} \lambda^{\prime}\left(\delta x^{\prime} d y d z+\delta y^{\prime} d x d z+\delta z^{\prime} d x d y\right)=0,
\]

все члены которого относятся к поверхности ядра.
29. Так как интегрирование этих членов распространяется на координаты, дифференциалы которых входят в выражение әлементов поверхности $d x d y$, $d x d z, d y d z$, то следует начать с того, чтобы әти әлементы привести к одному и тому же виду; этого можно достичь, отнеся их к әлементу той поверхности, которой они соответствуют.

Обозначим через $d s^{2}$ элемент поверхности, соответствующий элементу $d x d y$ плоскости $x y$, и назовем $\gamma^{\prime}$ угол, образуемый касательной плоскостью с той же плоскостью $x y$; в силу известного свойства плоскостей мы будем иметь $d x d y=d s^{2} \cos \gamma^{\prime}$; поэтому интеграл $\mathbf{S} \lambda^{\prime} \delta z^{\prime} d x d y$ перейдет в $\mathbf{S} \lambda^{\prime} \cos \gamma^{\prime} \delta z d s^{2}$, причем последний интеграл должен быть распространен на все точки поверхности жидкости.

Точно так же, если $d \sigma^{2}$ представляет собою әлемент поверхности, соответствующий элементу $d x d z$ плоскости $x z$, и если мы назовем $\beta^{\prime}$ угол, образуемый касательной плоскостью с той же плоскостью $x z$, то мы получим $d x d z=d \sigma^{2} \cos \beta^{\prime}$, и интеграл $\mathbf{S} \lambda^{\prime} \delta y^{\prime} d x d z$ превратится в $\mathbf{S} \lambda^{\prime} \cos \beta^{\prime} \delta y^{\prime} d \sigma^{2}$, который тоже должен быть распространен на всю поверхность жидкости.
30. Обращаю теперь внимание на то обстоятельство, что, хотя два әлемента поверхности $d s^{2}$ п $d \sigma^{2}$ могут быть не равными между собою, тем не менее – ввиду того, что оба интеграла, в состав которых входят эти әлементы, относятся к одной и той же поверхности, нам ничто не мешает применить в обоих интегралах один и тот же әлемент, ибо в силу природы дифференциального исчисления абсолютное значение элементов является произвольным и совершенно не влияет на значение интеграла. Таким образом мы можем интеграл $\mathbf{S} \lambda^{\prime} \cos \beta^{\prime} \delta y^{\prime} d \sigma^{2}$ заменить интегралом $\mathbf{S} \lambda^{\prime} \cos \beta^{\prime} \delta y^{\prime} d s^{2}$.

По тем жө соображениям интеграл $\mathbf{S} \lambda^{\prime} \delta x^{\prime} d y d z$ может быть представлен в виде $\mathbf{S} \lambda^{\prime} \cos \alpha^{\prime} \delta x^{\prime} d s^{2}$, если через $\alpha^{\prime}$ назвать угол, образуемый касательной плоскостью с плоскостью $x y$.

Сверх того, ясно, что әлементы $d x, d y, d z$ всегда можно взять такими, чтобы они удовлетворяли следующим условиям:
$d x d y=\cos \gamma^{\prime} d s^{2}, \quad d x d z=\cos \beta^{\prime} d s^{2}, \quad d y d z=\cos \alpha^{\prime} d s^{2}$, которые дают
\[
\begin{array}{l}
d x=d s \sqrt{\frac{\cos \beta^{\prime} \cos \gamma^{\prime}}{\cos \alpha^{\prime}}}, \\
d y=d s \sqrt{\frac{\cos \alpha^{\prime} \cos \gamma^{\prime}}{\cos \beta^{\prime}}}, \\
d z=d s \sqrt{\frac{\cos \alpha^{\prime} \cos \beta^{\prime}}{\cos \gamma^{\prime}}} .
\end{array}
\]

Благодаря указанным преобразованиям граничное уравнение в конце концов примет следующий вид:
\[
\mathbf{S} \lambda^{\prime}\left(\cos \alpha^{\prime} \delta x^{\prime}+\cos \beta^{\prime} \delta y^{\prime}+\cos \gamma^{\prime} \delta z^{\prime}\right) d s^{2}=0 ;
\]

этот интеграл должен быть взят по всей поверхности соприкасания жидкости с ядром.
31. Допустим, что форма рассматриваемой поверхности выражается с помощью дифференциального уравнения
\[
A d x^{\prime}+B d y^{\prime}+C d z^{\prime}=0 .
\]

Если назвать $\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}, \gamma^{\prime}$ углы, образуемые касательной плоскостью с плоскостями $x y, x z$ и $y z$, то на основании теории поверхностей мы получим
\[
\begin{array}{l}
\cos \alpha^{\prime}=\frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}, \\
\cos \beta^{\prime}=\frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}, \\
\cos \gamma^{\prime}=\frac{C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}},
\end{array}
\]

Поэтому граничное уравнение, приведенное в предыдущем пункте, примет следующий вид:
\[
\mathbf{S}\left[\lambda^{\prime} \frac{A \delta x^{\prime}+B \delta y^{\prime}+C \delta z^{\prime}}{V}\right] d s^{2}=0 .
\]

Так как эта поверхность является заданной как по своей форме, так и по положению, то между вариациями $\delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}$ координат частид, прилегающих к этой новерхности, должно существовать отношение, зависящее от уравнения этой поверхности. Мы допустили, что это уравнение имеет следующий вид:
\[
A d x^{\prime}+B d y^{\prime}+C d z^{\prime}=0,
\]

поэтому мы обязательно будем также иметь
\[
A \delta x^{\prime}+B \delta y^{\prime}+C \delta z^{\prime}=0 ;
\]

әтим удовлетворяется приведөнное в предыдущем пункте уравнение на границах, причем нө получается никакого нового уравнения.

32. Пусть $p^{\prime}$ – линия, перпендикулярная к поверхности в точке, которой соответствуют вариации $\delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}$, причем эта линия заканчивается в некоторой неподвижной точке. Так как $\alpha^{\prime}$ – это угол, образуемый касательной плоскостью с плоскостью $y z$, то он будет также углом, образуемым перпендикуляром $p^{\prime}$ к этой плоскости с осью $x$, которая перпендикулярна к плоскости $y z$. Тбчно так же $\beta^{\prime}$ будет угол, образуемый указанным выше перпендикуляром с осью $y$, и $\gamma^{\prime}$ – угол между тем же перпендикуляром и осью $z$. Поэтому, каковы бы ни были вариации $\delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}$, мы на основании пункта 7 отдела II, заменив знак $d$ знаком $\delta$, получим
\[
\delta p^{\prime}=\cos \alpha^{\prime} \delta x^{\prime}+\cos \beta^{\prime} \delta y^{\prime}+\cos \gamma^{\prime} \delta z^{\prime},
\]

и уравнение пункта 30 , относящееся к поверхности жидкости, может быть шриведено к следующему виду:
\[
\mathbf{S} \lambda^{\prime} \delta p^{\prime} d s^{2}=0 .
\]

Легко видеть; что каждий элемент $\lambda^{\prime} d s^{2} \delta p^{\prime}$ этого интеграла выражает момент силы $\lambda^{\prime} d s^{2}$, приложенной к элементу $d s^{2}$ поверхности и направленной по перпендикуляру $p^{\prime}$ к этой поверхңости; таким образом интеграл $\mathbf{S} \lambda^{\gamma} \delta p^{\prime} d s^{2}$ представляет собою сумму моментов всех сил $\lambda^{\prime}$, приложенных к каждой точке поверхности и действующих по направлению, перпендикулдярному к этой поверхности.

Эта сила, равная $\lambda^{\prime}$, очевидно, представляет собою давление, которое жидкость производит на поверхность ядра и которое уничтожается сопротивлением этого ядра. Но вообще всө. члены уравнения для границ, относящиеся к поверхности жидкости, могут быть представлены в виде $\mathbf{S} \lambda \delta p d s^{2}$, независимо от того, свободна ли эта поверхность или нет, причем ясно, что во всех тех точках, где пөверхность свободна, давление $\lambda$ должно равняться нулю. Последний вывод мы уже раньше получили иным путем (п. 18).

33. Если бы ядро, покрытое жидкостью, обладало поцвижностью, то вариации $\delta x, \delta y, \delta z$ следовало бы увеличить на те вариации, которые связаны с изменением положения ядра.

Для того чтобы отличить одни вариации от других, мы будем обозначать через $\delta x, \delta y, \delta z$ вариации, происходящие только вследствие смещения частиц жидкости по отношению к ядру, которое мы принимаем неподвижным, а через $\delta \xi, \delta \eta, \delta \zeta-в а-$ риации, связанные со смещением ядра. Последние выражаются с помощью следующих формул, данных нами в пункте 60 отдела V,
\[
\begin{array}{l}
\delta \xi=\delta l+z \delta M-y \delta N, \\
\delta \eta=\delta m-z \delta L+x \delta N, \\
\delta \zeta=\delta n+y \delta L-x \delta M .
\end{array}
\]

Тагим образом в общем уравнении пункта 17 следует вместо $\delta x, \delta y, \delta z$ подставить $\delta \mathrm{x}+\delta \xi, \delta \mathrm{y}+\delta \eta, \delta \mathrm{z}+\delta \zeta$, а затем приравнять нулю все члены, в состав которых войдут вариации $\delta x, \delta y, \delta z$, а также и те члены, в состав которых войдут новые вариации $\delta l, \delta m, \delta n$, $\delta L, \delta M, \delta N ;$ эти последние вариации можно вывести из под знака $\mathbf{S}$, так как они одинаковы для всех частиц жидкости.

Мы видим прежде всего, что введение вариаций $\delta \xi, \delta \eta, \delta \zeta$ не вызывает никакого изменения в уравнениях, которые должны иметь место для всех точек жидкости и которые получаются из членов, стоящих под знаком тройного интеграла; в самом деле, если приравнять нулю входящие в состав этих членов коэффициенты вариаций $\delta x, \delta y, \delta z$, то одновременно исчезнут и вариации $\delta \xi, \delta \eta, \delta \zeta$. Отсюда следует, что общие законы равновесия, содержащиеся в формулах пункта 19 , не зависят как от состояния, так и от формы ядра.
34. Остается еще рассмотреть уравнение на грапицах, которое в пункте 30 мы привели к следую-

щему виду:
\[
\mathbf{S} \lambda^{\prime}\left(\cos \alpha \delta x^{\prime}+\cos \beta \delta y^{\prime}+\cos \gamma \delta z^{\prime}\right) d s^{2}=0 .
\]

Если в последнее вместо $\delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}$ подставить значения $\delta \mathrm{x}^{\prime}+\delta \xi^{\prime}, \delta \mathrm{y}^{\prime}+\delta \eta^{\prime}, \delta \mathrm{z}^{\prime}+\delta \zeta^{\prime}, \quad$ снабжкенные одним штрихом для того, ітобы указать, что они относятся к поверхности жидкости, соприкасающейся с ядром, то оно примет следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S} \lambda^{\prime}\left(\cos \alpha \delta \mathrm{x}^{\prime}+\cos \beta \delta \mathrm{y}^{\prime}+\cos \gamma \delta \mathrm{z}^{\prime}\right) d s^{2}+ \\
\quad+\mathbf{S} \lambda^{\prime}\left(\cos \alpha \delta \xi^{\prime}+\cos \beta \delta \eta^{\prime}+\cos \gamma \delta \zeta^{\prime}\right) d s^{2}=0 .
\end{array}
\]

Та часть этого уравнения, которая содержит вариации $\delta \mathrm{x}^{\prime}, \delta \mathrm{y}^{\prime}, \delta \mathrm{z}^{\prime}$, сама по себе равна нулю, как это было показано в пункте 31. Следовательно, и другая часть левой стороны уравнения тоже должна равняться нулю. Подставим в нее значения $\delta \xi^{\prime}, \delta \eta^{\prime}, \delta \zeta^{\prime}$ н затем приравняем нулю отдельно величины, умножающиеся на $\delta l, \delta m, \delta n, \delta L, \delta M, \delta N$; тогда мы получим следующие шесть уравнений:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S} \lambda^{\prime} \cos \alpha d s^{2}=0, \mathbf{S} \lambda^{\prime} \cos \beta d s^{2}=0, \mathbf{S} \lambda^{\prime} \cos \gamma d s^{2}=0, \\
\mathbf{S}_{\lambda^{\prime}}\left(y^{\prime} \cos \gamma-z^{\prime} \cos \beta\right) d s^{2}=0, \\
\mathbf{S}_{\lambda^{\prime}}\left(z^{\prime} \cos \alpha-x^{\prime} \cos \gamma\right) d s^{2}=0, \\
\mathbf{S}_{\lambda^{\prime}}\left(x^{\prime} \cos \beta-y^{\prime} \cos \alpha\right) d s^{2}=0 \text {. } \\
\end{array}
\]

Таковы уравнения, необходимые для полного равновесия жидкости и твердого тела.

Эти уравнения соответствуют уравнениям пунғта 62 отдела $\mathrm{V}$, если в последних вместо $d m$ подставить $d s^{2}$ и вместо $X, Y, Z$ подставить $\lambda^{\prime} \cos \alpha, \quad \lambda^{\prime} \cos \beta$, $\lambda^{\prime} \cos \gamma$. Действительно, если $\lambda^{\prime}$ представляет собою силу давления, действующую на поверхность ядра перпендикулярно к последнему, то $\lambda^{\prime} \cos \alpha, \lambda^{\prime} \cos \beta$, $\lambda^{\prime} \cos \gamma$ представляют собою силы, вызываемые силой $\lambda^{\prime}$ по направлениям координат $x, y, z$; следовательно, для равновесия твердого тела требуется, чтобы на каждую тоџу его поверхности действовали как раз әти силы.

35. Однако в том случае, когда жидкость поддерживается каким-либо твердым телом заданной формы и оба они находятся под действием любых сил, решение данной задачи получается проще, если обратиться непосредственно к основному уравнению пункта 16 и прямо в него подставить вместо $\delta x, \delta y$, $\delta z$ их полные значения
\[
\delta \mathrm{x}+\delta \xi, \delta \mathrm{y}+\delta \eta, \delta \mathrm{z}+\delta \zeta \text { (п. 33). }
\]

Вариации $\delta x, \delta y, \delta z$, будучи независимыми от других вариаций $\delta l, \delta m, \ldots$, приведут к уравнению, аналогичному уравнению пункта 17 , и для равновесия жидкости дадут те же результаты, какие были получены для случая, когда твердое тело было принято неподвижным.

Что касается других вариаций $\delta \xi, \delta \eta, \delta \zeta$; то прежде всего легко показать, что они нисколько не повлияют на значения частных производных $\frac{d \delta x}{d x}$, $\frac{d \delta y}{d y}, \frac{d \hat{\delta} z}{d z}$, так как вариации $\delta l, \delta m, \delta n, \delta L, \delta M, \delta N$ мы представляем себе независимыми от $x, y, z$.
Таким образом достаточно в формулу
\[
\mathbf{S}(X \delta x+Y \delta y+Z \delta z) \Gamma d x d y d z
\]

подставить $\delta \xi, \delta \eta, \delta \zeta$ вместо $\delta x, \delta y, \delta z$ и приравнять нулю отдельно величины, умножаюшиеся на каждую из шести вариаций $\delta l, \delta m, \delta n, \delta L, \delta M, \delta N$, выведя их предварительно из-под знака $\mathbf{S}$. Јегко видеть, что таким путем мы получим те же самые уравнения, какие нами были найдены в отделе V (глава IV) для равновесия твердого тела, каждая частица которого $d m$ – здесь она выражена через $\Gamma d x d y d z$– находится под действием каких-либо сил $X, Y, Z$; таким образом для равновесия жидкости, находящейся над подвижным твердым ядром, мы получаем такие же уравнения, какие мы имели бы, если бы жидкосты, превратилась в твердое тело.

36. Из приведенных выше двух методов рассмотрения вариаций следует, что давление жидкости на поверхность ядра эквивалентно действию всех сил, приложенных к каждой частице жидкости, если предположить, что жидкость рассматривается как твердое тело и что ядро увеличилось на всю массу отвердевшей жидкости.

Ввиду важности этой теоремы статики мы считаем необходимым показать более прямой путь, каким она может быть выведена из наших формул.

Вся задача сводится к тому, чтобы доказать, что уравнение
\[
\mathbf{S}(X \delta \xi+Y \delta \eta+Z \delta \zeta) \Gamma d x d y d z=0
\]

дает те же результаты, что и уравнение для границ
\[
\mathbf{S} \lambda^{\prime}\left(\delta \xi^{\prime} d y d z+\delta \eta^{\prime} d x d z+\delta \zeta^{\prime} d x d y\right)=0 .
\]

Согласно условиям равновесия жидкости мы имеем
\[
\Gamma X=\frac{\partial \lambda}{\partial x}, \Gamma Y=\frac{\partial \lambda}{\partial y}, \Gamma Z=\frac{\partial \lambda}{\partial z} ;
\]

а так как значения $\delta \xi, \delta \eta$, $\delta \zeta$ (п. 33) независимы соответственно от $x, y, z$, то мы имеем также
\[
\Gamma X \delta \xi=\frac{\partial \lambda}{\partial x} \delta \xi, \Gamma Y \delta \eta=\frac{\partial \lambda}{\partial y} \delta \eta, \Gamma Z \delta \zeta=\frac{\partial \lambda}{\partial z} \delta \zeta .
\]

Следовательно, первое уравнение превратится в
\[
\mathbf{S}\left(\frac{\partial \lambda}{\partial x} \delta \xi+\frac{\partial \lambda}{\partial y} \delta \eta+\frac{\partial \lambda}{\partial z} \delta \zeta\right) d x d y d z=0 .
\]

Первый член под знаком интеграла может быть нроинтегрирован по $x$, второй по $y$ и третий по $z$; следовательно, если вынолнить эти частные интегрирования, то аналогично пункту 17 мы отсюда получим уравнение для границ
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S} \lambda^{\prime \prime}\left(\delta \xi^{\prime \prime} d y d z+\delta \eta^{\prime \prime} d x d z+\delta \xi^{\prime \prime} d x d y\right)- \\
\quad-\mathbf{S} \lambda^{\prime}\left(\delta \xi^{\prime} d y d z+\delta \eta^{\prime} d x d z+\delta \zeta^{\prime} d x d y\right)=0 .
\end{array}
\]

Но мы имеем (п. 23) $\lambda^{\prime \prime}=0$, так как согласно допущению внешняя поверхность жидкости свободна; таким образом остается только уравнение
\[
\mathbf{S} \lambda^{\prime}\left(\delta \xi^{\prime} d y d z+\delta \eta^{\prime} d x d z+\delta \zeta^{\prime} d x d y\right)=0 .
\]

Итак, оба указанных выше уравнения приводят к одному и тому же результату.
37. По отношению к вариациям, зависящим от перемещения ядра, жидкость, покрывающую это ядро, можно рассматривать таким образом, как если бы она составляла единую твердую массу с ядром; поэтому в том случае, когда все точки ядра тоже находятся под действием каких-либо сил, остается только учесть эти силы подобно силам, действующим на частицы жидкости, и применить к равновесию массы, составленной из жидкости и твердого тела, как если бы она образовала единое сплошное твердое тело, те решения, которые были даны в главе IV отдела V.