30. Найденные нами выражения для переменных $\xi, \eta, \zeta$ сильно упрощаются, когда в дифференциальных уравнениях п. 21 рассматриваемые переменные отделены. Тогда и переменные $X, Y, Z$ оказываются отделенными в уравнениях п. 23, и каждое из этих уравнений с помощью процесса, пзложенного в п. 24, дает особое уравнение $m$-й степени относительно $k$. Если через $k, k_{1}, k_{2}$ обозначить значения $k$, соответствующие величинам $X, Y, Z$, заданным этими тремя уравнениями, и если при этом сохранить обозначения ном случае сводятся к следующим:
\[
\begin{array}{l}
\zeta=\sum\left(Z \frac{\mathbf{S}_{Z \gamma E m}}{\mathbf{S}_{Z^{2} D m}} \cos t \sqrt{k_{2}}\right)+ \\
+\sum\left(\frac{Z}{\sqrt{k_{2}}} \frac{\mathbf{S}_{Z \dot{\gamma} D m}}{\mathbf{S}_{Z^{2} D m}} \sin t \sqrt{k_{2}}\right) . \\
\end{array}
\]
31. Этот случай имеет место прежде всего тогда, когда предполагается, что тела в состоянии равновесия расположены на прямой линии; в самом деле, если мы примем эту линию за ось $x$, то координаты $b$ и $c$ будут равны нулю, точно так же будут равны нулю и их разности $D b, D c$; из условных уравнений п. 20 будет вытекать требование, чтобы $\frac{\partial \Pi}{\partial b}=0, \frac{\partial \Pi}{\partial c}=0$, т. е. чтобы силы, перпендикулярные к оси, были равны нулю. Тоғда мы будем также иметь $\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a \partial b}=0$, $\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a \partial c}=0$, и уравнения п. 21 в силу того, что $a^{\prime}=1$, $b^{\prime}=0, c^{\prime}=0$ и $G=F-F^{\prime}$, примут следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} \xi}{d t^{2}} D m+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a^{2}} \xi D m-D,\left(\mu^{\prime} \frac{D \xi}{D \bar{f}}\right)=0, \\
\frac{d^{2} \eta}{d t^{2}} \quad D m-D,\left(F \frac{D_{\eta}}{D f}\right)=0, \\
\frac{d^{2} \zeta}{d t^{2}} \quad D m-D,\left(F \frac{D \zeta}{D f}\right)=0 . \\
\end{array}
\]

Следовательно, уравнения пункта 23 перейдут в следующие:
\[
\begin{aligned}
\left(k-\frac{\partial^{2} I I}{\partial a^{2}}\right) X D m+D_{1}\left(F^{\prime} \frac{D X}{D f}\right) & =0, \\
k Y D m+D_{1}\left(F \frac{D Y}{D f}\right) & =0, \\
k Z D m+D_{(}\left(F \frac{D Z}{D f}\right) & =0 ;
\end{aligned}
\]

как видим, в этих уравнениях переменные отделены друг от друга, так что каждую из них можно определить особо.

Неопределенная постоянная величина $k$ может быть, следовательно, различной в этих трех уравнениях, и каждое из последних даст уравнение $n$-й степени для определения этой постоянной. Таким путем мы получим формулы предыдущего пункта.
32. Так как в рассматриваемом случае $D b=0$, $D c=0$, то $D f=D a$ (п. 19) и уравнения равновесия (I. 22) дают
\[
F=\mathbf{S} \frac{\partial \Pi}{\partial a} D m+A .
\]

Но для того чтобы получить значение величины $F^{\prime}$ (г. 19), следует знать $F$ как функцию $D f$ или $D a$; тогда путем дифференцирования можно получить значение $F^{\prime}$ в функции $F$.

Так, например, если допустить $\Phi=K(D s)^{m}$, то мы получим $F=K(D f)^{m}$, а отсюда $F^{\prime}=m K(D f)^{m}=m F$.

В том случае, когда мы отвлекаемся от какой бы то ни было посторонней силы, мы имеем $\frac{\partial \Pi}{\partial a}=0$, откуда получается $F=A$, и, следовательно, тогда $F$ является постоянной для всех тел. Но значение $F^{\prime}$ может изменяться от одного тела к другому, по крайней мере, когда расстояние $D a$ между двумя следующими друг за другом телами не является тоже одинаковым для всех тел. В последнем случае величины $F$ и $F^{\prime}$ являются двумя постоянными,
которые могут быть определены а posteriori без знания закона функции Ф.

Последний случай – это случай натянутой нити или струны, оба конца которой закреплены и которая нагружена любым количеством тел, расположенных на равных друг от друга расстояниях; тогда величина $F$ выражает натяжение нити или груз, который может его вызвать; однако величину $F^{\prime}$ нельзя вывести из $F$, не зная закона упругости струны.

Эта проблема, которая известна под названием проблемы колеблющихся струн, заслуживает особого исследования, так как, с одной стороны, она поддается общему решению, а с другой стороны, она тесно связана со знаменитой проблемой колебаний звучащих струн.
33. Допустим, что все тела Dm, которыми нагружена нить, равны между собою и лишены веса и что промежутки $D f$ или $D a$, отделяющие их друг от друга в состоянии равновесия, тоже равны.

Так как $n$ представляет число движущихся тел, то ясно, что если через $M$ обозначить всю массу или же сумму всех масс Dm, включая и последнюю, которую мы принимаем неподвижной, и через $l$-длину струны в состоянии равновесия, то мы будем иметь
\[
D m=\frac{M}{n+1} \quad \text { и } \quad D f=D a=\frac{l}{n+1},
\]

и три уравнения п. 31 относительно $X, Y, Z$ примут следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{l M k}{(n+1)^{2} F^{\prime}} X+D^{2}, X=0, \\
\frac{l M k}{(n+1)^{2} F} Y+D^{2}, Y=0, \\
\frac{l M k}{(n+1)^{2} F} Z+D^{2}, Z=0 .
\end{array}
\]

Так как эти уравнения совершенно аналогичны, достаточно разрешить первое из них; поставив $F$ вместо $F^{*}$, мы затем получим решение и для других двух уравнений.
34. Пусть $r$ будет указателем, или индексом порядка, занимаемого каким-либо членом $X$ в ряду $X$-ов; мы будем вообще обозначать этот член через $X_{t}$, а предыдущий, $X$ будет $X_{\lambda_{-1}}$. Тогда первое уравнение примет следующин вид:
\[
\frac{l M k}{(n+1)^{2} F^{\prime}} X_{r}+D^{2} X_{r-1}=0 .
\]

Для разрешения этого уравнения положим
\[
X_{r}=\boldsymbol{H} \sin (r \varphi+e),
\]

где $H$ и $e$-две произвольные постоянные; с помощью известных фармул умножения углов мы получим
\[
D^{2} X_{r-1}=X_{r+1}-2 X_{r}+X_{r-1}=-4 H \sin (r \varphi+e) \sin ^{2} \frac{\varphi}{2} ;
\]

если эти значения подетавить в предыдущее уравнение, то последнее после разделения на $X_{r}$ примет следующий вид:
\[
\frac{l M k}{(n+1)^{2} F^{\prime}}-4 \sin ^{2} \frac{\varphi}{2}=0,
\]

откуда получается
\[
\sqrt{k}=2(n+1) \sqrt{\frac{F^{\prime}}{l M}} \sin \frac{\varphi}{2} .
\]

Но нам следует (п. 24) выполнить два условия: $X_{0}=0$ и $X_{n+1}=0$. Первое из них дает $e=0$, второе $\sin (n+1) \varphi=0$, откуда получается $(n+1) \varphi=\rho \pi$, где $\pi$ – угол в $180^{\circ}$, а $p-$ любое целое число. Таким өбразом мы имеем $\varphi=\frac{\rho \pi}{n+1}$; следовательно, если подожить $H=1$, что вполне допустимо, то мы получим вообще
\[
X_{r}=\sin \frac{r \rho \pi}{n+1} .
\]

Такое же выражение мы получим для $Y_{r}$ и $Z_{r}$, которые следует подставить вместо $X, Y, Z$ в выражения $\xi, \eta, \zeta$ пункта 30.

Если то же значение $\varphi$ подставить в найденное выше выражение для $\sqrt{k}$, то получается
\[
\sqrt{k}=2(n+1) \sqrt{\frac{F^{\prime}}{l M}} \sin \frac{\rho \pi}{2(n+1)} ;
\]

здесь можно вместо $\rho$ ставить все целые числа от 0 до $n$ включительно, ибо $\rho=n+1$ дает для $X, Y, Z$ значения, равные нулю, а при значениях, превышающих $n+1$, синусы $\frac{p \pi}{2(n+1)}$ получают прежние значения.

Таким образом мы имеем столько значений $k$, сколько имеется движущихся тел; эти значения являются корнями уравнения, определяющего $k$.

Если вместо $F^{t}$ поставить $F$, получается значение корней $k_{1}, k_{2}$ двух других уравнений для $k$.

Произведем эти подстановки в общие формулі II. 30 , причем обратим внимание на то обстоятельство, что знак суммирования $\mathbf{S}$ должен относиться только к ноказателям или индексам порядка $r$ от $r=1$ до $r=n$ и что знак суммирования $\sum$ должен относиться к индексам $\rho$ различных корней, от $p=1$ до $p=n$.

Что касается величины $\mathbf{S} X^{2} D m=D m \mathbf{S} X^{\mathbf{2}}$, то в силу $\varphi=\frac{\rho \pi}{n+1}$, мы будем иметь следующее суммирование:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S} \dot{X}^{2}=\sin ^{2} \varphi+\sin ^{2} 2 \varphi+\sin ^{2} 3 \varphi+\ldots+\sin ^{2} n \varphi= \\
=\frac{1}{2} n-\frac{1}{2}(\cos 2 \varphi+\cos 4 \varphi+\cos 6 \varphi+\ldots+\cos 2 n)= \\
=\frac{1}{2} n-\frac{1}{2}\left[\frac{\cos 2 n \varphi-\cos 2(n+1) \varphi}{2(1-\cos 2 \varphi)}-\frac{1}{2}\right]=\frac{n+1}{2},
\end{array}
\]

Точно так же мы получим $\mathbf{S} Y^{2}=\mathbf{S} Z^{2}=\frac{n+1}{2}$.

35. Так как значения $k$ между собою несоизмеримы, то струна никогда не сможет вернуться к своему первоначальному положению, если только выражения $\xi, \eta, \zeta$ не сводятся к единственному члену (п. 25). В последнем случае, подставив в формулы упомянутой статьи вместо $X, Y, Z$ и $k$ найденные нами только что выражения и положив для краткости
\[
h^{\prime}=\sqrt{\frac{F^{\prime}}{l M}}, \quad h=\sqrt{\frac{F}{l M}},
\]

мы получим следующие выражения, в которых я сохраняю угол $ф$ вместо его значения $\frac{\rho \pi}{n+1}$,
\[
\begin{array}{l}
\xi=E \sin r \varphi \sin \left(h^{\prime} t \sin \frac{\varphi}{2}+\varepsilon\right), \\
\eta=E \sin r \varphi \sin \left(h t \sin \frac{\varphi}{2}+\varepsilon\right), \\
\zeta=E \sin r \varphi \sin \left(h t \sin \frac{\varphi}{2}+\varepsilon\right) ;
\end{array}
\]

но при этом требуется, чтобы первоначальные значения $\alpha, \beta, \gamma, \alpha, \dot{\beta}, \dot{\gamma}$, соответствующие $t=0$, были пропорциональны $\sin r \varphi$. Это- известное решение, при котором допускается, что тела совершают лишь простые и изохронные колебания.
36. Для того чтобы получить общие выражения, применимые к любому начальному состоянию, следует воспользоваться формулами п. 30, подставив в них найденные выше (II. 34) значения. Для большей ясности применим $к$ переменным $\xi, \eta$, Ђ показатель или индекс $r$, поставленный внизу у этих букв, чтобы таким образом отметить порядок тел, к которым они относятся; что же касается величин $\alpha, \beta, \gamma, \alpha, \dot{\beta}, \dot{\gamma}$ и $X, Y, Z$, находящихся под знаком суммы $\mathbf{S}$, то для них мы применим показатель $s$ вместо $r$, так как первый из них относится только к знаку $\mathbf{S}$, который показывает, что следует взять сумму всех членов, соответствующих значениям $s$, от 0 до $n$.

Таким образом мы получим следующую общую формулу:
\[
\xi_{r}=\sum \frac{2 \sin r \varphi}{n+1}\left\{\begin{array}{l}
\mathbf{S} a_{\delta} \sin s \varphi \cos \left[2(n+1) h^{\prime} t \sin \frac{\varphi}{2}\right]+ \\
+\mathbf{S} a_{s} \sin s \varphi \frac{\sin \left[2(n+1) h^{\prime} t \sin \frac{\varphi}{2}\right]}{2(n+1) h^{\prime} \sin \frac{\varphi}{2}}
\end{array}\right\}
\]

а для того, чтобы получить выражения $\eta_{r}$, $\zeta_{r}$, следует лишь вместо $h^{\prime}$ взять $h$, а $\alpha$, $\dot{\alpha}$ заменить величинами $\beta, \dot{\beta}$, и $\gamma, \dot{\gamma}$.

Переменные $\xi_{r}$ выражают продольные смещения тел по прямой линии или оси, проходящей через оба конца струны, а переменные $\eta_{r}$, $\zeta_{r}$ выражают их поперечные или боковые смещения по направлению, перпендикулярному к оси, – единственные смещения, которые до сих пор рассматривали при решении проблемы о колеблющихся струнах.

Что касается знака $\sum$, то следует вспомнить, что он выражает сумму всех величин, стоящих шод атим символом, соответствующих $\rho=1,2,3, \ldots, n$; отсюда видно, что смещения каждого тела как продольные, так и поперечные складываются, вообще говоря, из такого количества частных смещений, аналогичных смещениям различных маятников, длины которых равны
\[
\frac{g}{4(n+1)^{2} h^{2} \sin ^{2} \frac{\varphi}{2}} \text { или } \frac{g}{4(n+1)^{2} h^{2} \sin ^{2} \frac{\varphi}{2}},
\]

где $g$ означает силу тяжести,-сколько имеется движущихся тел.

Для того чтобы значения $h$ и $h^{\prime}$ были вещественными, величины $F$ и $F^{\prime}$ должны быть положительными (п. 35); следовательно, согласно допущению п. 32

показатель $m$ должен быть положительным. В том случае, когда тела друг друга отталкивают, $F$ будет вөличиной отрицательной, и тогда показатель $m$ тоже должен быть отрицательным; сверх того, чтобы поперечные колебания $\eta$ и $\zeta$ были равны нулю, мы должны иметь $\beta=0, \dot{\beta}=0, \gamma=0, \dot{\gamma}=0$.
37. Здесь следует сдетать важное замечание по поводу только что найденного нами общего выражения для. $\xi_{r}$. Хотя мы и предполагали, что число $n$ движущихся тел задано и что струна, длина которой тоже задана, закреплена в обоих своих концах, тем не менее расчет не ограничивается этими допущениями, и рассматриваемое выражение дает значение $\xi_{r}$ для всех тел, расположенных на той же црямой линии, порядок которых выражается любым целым числом $r$, положительным или отрицательным.

В самом деле, так как это число $r$ входит только в $\sin r \varphi$, то ясно, что ему можно дать какие угодно значения, и в то же время мы видим, что, так как $\varphi=\frac{p \pi}{n+1}$, этот синус не изменяет своего значения, если вместо $r$ подставить $2 \lambda(n+1)+r$, и становится только отрицательным, если вместо $r$ подставить $2 \lambda(n+1)-r$, где $\lambda$ – любое целое число, положительное или отрицательное. Отсюда следует, что если соответственно характеру расчета допустить, что струна простирается бесконєчно далөко в обе стороны и что она по всей своей длине нагружена равными телами, расположенными на равных друг от друга расстояниях, то эти төла будут двигаться таким образом, что мы всегда будем иметь
\[
\xi_{2 \lambda(n+1) \pm r}= \pm \xi_{r} .
\]

Но легко видеть, что формула $2 \lambda(n+1) \pm r$ может выразить все целые числа, если допустить, что $r$ заключается между 0 и $n+1$; в самом деле, пусть имеется какое-нибудь целое число; если его разделить на 2. $(n+1)$ так, чтобы остаток, положительный иліи отрицательный, оказался меньше $n+1$, а это всегда возможно, и если $\lambda$ считать частным, $a \pm r$-остатком, то это число выразится через $2 \lambda(n+1) \pm r$. Таким образом значение $\xi$, относящееся к любому телу, помещенному на той же линии на лю: бом расстоянии от начала оси $l$, всегда сведется к значению $\xi$ для одного из тел, расположенных на әтой оси.

Так как найденное нами соотношение между раздичными значениями $\xi$ является общим, каково бы ни было число $r$, то если вместо $r$ поставить $\lambda(n+1)+r$ и взять нижний знак, мы получим
\[
\xi_{\lambda(n+1)-r}=-\xi_{\lambda(n+1)+r} .
\]

Отсюда легко заключить, что если мы представим себе всю неограниченную длину струны, разделенной на части, равные длине $l$ заданной струны, то значения $\xi$ в каждой из әтих частей на равных расстоянвях от точек деления будут между собою равны, но будут иметь различные знаки в двух смежных частях. Следовательно, если значения $\xi$ для всех тел, расположенных на оси $l$, представить с помощью ординат вершин многоугольника, построенного на этой оси, то достаточно будет только перемещать этот многоугольник попеременно и симметрично вверх и вниз вдоль оси, продолженной в обе стороны до бесконечности, так что стороны, прилегающие к точке раздела, будут иметь одни и те же величины, но будут направлены противоположно и будут лежать на одной и той же прямой; таким образом для каждого мгновения мы нолучим значения $\xi$ для всех тел, которые мы предполагаем распределенными на одной и той же прямой линии, продолженной до бесконечности, с помощью ординат вершин этого многоугольника, составленного из бесконечно большого количества частей. В каждой точке раздела эти значения равны нулю, так что тела, расположенные в этих точках, сами по себе остаются неподвижными; таким образом самый расчет удовлетворяет условию, чтобы оба конда заданной струны остались ненодвижными.

To, что было доказано нами для переменных $\xi$, в равной мере действительно и для производных $\frac{d \xi}{d t} ;$ в самом деле, если выражение для $\xi_{r}$ продйфференцировать по $t$, то мы получим выражение для $\frac{d \xi_{r}}{d t}$, к которому можно применить те же самые рассуждения, какие были изложены выше.

Следовательно, и значения для $\alpha$ и $\alpha$, выражающие значения $\xi$ и $\frac{d \xi}{d t}$ в первое мгновение- и являющиеся произвольными для всех тел, расположенных на оси $l$, могут быть выражены с помощью подобного же построения на протяжении струны неограңиченной длины.

Так как выражения для двух других переменных $\eta$ и $\zeta$ отличаюя от выражения для $\xi$ только начальными значениями $\beta, \dot{\beta}$, и $\gamma, \dot{\gamma}$, занимающими места $\alpha$, $\dot{\alpha}$, то те же выводы имеют силу и но отношению к этим переменным.
38. Отсюда можно сделать общий вывод, что если натянутая струна произвотьной длины, нагруженная равными телами, расположенными на равных друг от друга расстонниях, разделена на ряд равных частед, причем каждая из них заключена между двумя телами, и если все тела, за исключением находящихся в точках раздела, одновременно привести в колебание таким образом, чтобы движения тел, находящйхся на равных расстояниях по обе стороны от точек раздела, были равны, но противоположно направлены, то в этом случае тела, расположениые в точках раздела, будут сами собою оставаться неподвижными и каждая часть струны будет двигаться таким образом, как если бы она была изолирована и оба ее конца были закреплены соверпенно неподвижно.

Отсюда следует, что натянутая струна длины $l$, закрепленная в обоих своих концах, нагруженная $n$ телами и разделенная на $v$ частей, ьде $v$ является делителем $n+1$, если начальное еостоявие таково,

что тела, находящиеся в точках раздела, не иснытывают никакого толчка, а тела, лежкщие на равных рас * стояниях по одну и другую сторону от точки раздела, получают одинаковые, но противоцоложно направленные толчки, то струна будет колебаться таким обравом, как если бы точки раздела были неподвижны и струна имела бы только длину $\frac{l}{v}$.
39. Отделение переменных в уравнениях относительно $\xi, \eta, \zeta$ может быть произведено и без допущения, что в состоянии равновесия тела расположены на прямой линии, а на основе допущения, что при движении их взаимные расстояния не изменяются во время движения. В п. 14 мы указали, что этот случай связан с теми же общими формулами, если только рассматривать величину $\Phi$, а следовательно, и величину $F$, как неопределенные величины, а в п. 22 мы видели, что в этом случае мы имеем условное уравнение
\[
\frac{D a}{D f} D \xi+\frac{D b}{D f} D \eta+\frac{D c}{D f} D \zeta=0,
\]

в силу которого в общих уравнениях п. 21 все члены, умноженные на $G$, исчезают.

Если принять во внимание только тяжееть теді и допустить, что оси абедисс $x$ и $a$ расположены вертикально и направлены снизу вверх, то $\frac{\partial \Pi}{\partial a}$ будет равно ускоряющей силе тяжести, которую мы обозначим через $g$, и, далее, $\frac{\partial \Pi}{\partial b}=0, \frac{\partial \Pi}{\partial c}=0$; уравнения упомянутого пункта примут тогда следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} \xi}{d t^{2}} D m-D,\left(F \frac{D \xi}{D f}\right)=0 \\
\frac{d^{2} \eta}{d t^{3}} D m-D_{i}\left(F \frac{D \eta}{D f}\right)=0 \\
\frac{d^{2} \zeta}{D t^{2}} D m-D,\left(F \frac{D \xi}{D f}\right)=0
\end{array}
\]

при котором переменные разделены.

Значение $F$ будет равно (п. 22)
\[
F=\sqrt{(g \mathbf{S} D m+A)^{2}+B^{2}+C^{2}} .
\]

Уравнения относительно $X, Y, Z$ примут тогда следующий вид (п. 23):
\[
\begin{array}{l}
k X D m+D,\left(F \frac{D X}{D f}\right)=0, \\
k Y D m+D,\left(F \frac{D Y}{D f}\right)=0, \\
k Z D m+D,\left(F \frac{D Z}{D f}\right)=0 .
\end{array}
\]

Как видим, последние уравнения совершенно подобны друг другу, так что можно положить $X=Y=Z$, ибо произвольные постоянные, которыми эти величины. могут отличаться друг от друга, определяются одними и теми же условиями и, следовательно, тоже равны между собою. Таким образом значения $\xi, \eta, \zeta$, данные общими формулами п. 30, будут отличаться друг от друга только начальными значениями $\alpha, \beta, \gamma, \alpha, \dot{\beta}, \dot{\gamma}$, которые могут быть проиввольными.

Следовательно, вся трудность сводится к нахождению общего выражения $X$; однако это не может быть осуществлено с помощью известных методов.

Последний случай касается движения нерастяжимой нити, нагруженной множеством грузов и закрепленной неподвижно обоими своими концами.
40. Когда нить закрецлена только одним из своих концов, в качестве которого мы возьмем верхний конец, то, так как нижнее тело должно быть свободно, значение Ф или $F$ на нижнем конце нити согласно п. 17 должно быть равно нулю. Если этот конец принять за начало абсцисс, которые мы будем считать направлендыми снизу вверх, и если, начиная отсюда, образовать сумму $\mathbf{S} D m$, то в этом месте значение $F$ будет равно нулю, еели только $A=0, B=0, C=0$. Таким образом мы будем иметь $F=g \mathbf{S} D$.

Так как в рассматриваемом случае мы имеем
\[
\frac{\partial \Pi}{\partial a}=g, \quad \frac{\partial \Pi}{\partial b}=0, \quad \frac{\partial \Pi}{\partial c}=0,
\]

то уравнения пункта 22 дадут
\[
D a=D f, \quad D b=0, \quad D c=0,
\]
т. е. что координаты $b, c$ постоянны; таким образом в состоянии равновесия нить образует прямую линию, параллельную вертикальной оси абсцисс $a$. Следовательно, можно положить $b=0, c=0$, если за ось $a$ принять вертикальную линию, проходящую через точку подвеса нити.

Этот случай, представляющий собою случай очень малых колебаний нити, подвешенной в неподвижной точке и нагруженной любым количеством грузов, тоже поддается общему решению в том случае, когда грузы между собою равны и расположены на равных друг от друга расстояниях.
41. Если в последнем случае обозначить через $n$ число тел, через $M$ – сумму их масс $D m$ и через $l$-длину нити, то мы будем иметь
\[
D m=\frac{M}{n}, \quad D f=D a=\frac{l}{n} ;
\]

а если сверх того обозначить через $r$ число тел, начиная с нижнего конца и до тела, которому соответствуют переменные $\xi, \eta$, $\zeta$, то мы будем иметь
\[
\mathbf{S} D m=(r-1) D m=\frac{(r-1) M}{n} ;
\]

а отсюда мы получим
\[
F=\frac{g(r-1) M}{n} .
\]

Если уравнение п. 39 относительно $X$ умножить на $\frac{l}{g M}$, поставить $X_{r}$ вместо $X_{\text {и }}$ принять во внимание, что $X$ превращается в $X_{r-1}$, а $X, \rightarrow$ в $X_{r+1}$, то әто уравнение -примет следующий вид:
\[
\frac{l k}{g n} X_{r}+D\left[(r-1) D X_{r-1}\right]=0
\]

следовательно, если пройзвести дифференцирования, указанные символом $D$, то согласно формуле пункта 16 мы будем иметь
\[
\frac{l k}{g n} X_{r}+\left(X_{r+1}-X_{r}\right)+(r-1)\left(X_{r-1}-2 X_{r}+X_{r+1}\right)=0 .
\]

Ввиду наличия переменного коэффициента $r$, настоящее уравнение нельзя трактовать аналогично тем уравнениям, которые дают обыкновенные рекуррентные последовательности, но из него можно одно за другим получить значения $X_{2}, X_{3}, \ldots$

Для этого ему нужно лишь придать следующий вид, где $h=\frac{l k}{g n}$ :
\[
X_{r+1}=\frac{2 r-h-1}{r} X_{r}-\frac{r-1}{r} X_{r-1-1} .
\]

Отсюда, давая $r$ последовательно значения $r=1$, $2,3, \ldots ;$ мы получим
\[
\begin{array}{l}
X_{2}=(1-h) X_{1}, \\
X_{3}=\frac{3-h}{2} X_{2}-\frac{1}{2} X_{1}=\left(1-2 h+\frac{h^{2}}{2}\right) X_{1}, \\
X_{4}=\frac{5-h}{3} X_{3}-\frac{2}{3} X_{2}=\left(1-3 h+\frac{3 h^{2}}{2}-\frac{h^{3}}{2 \cdot 3}\right) X_{1}, \\
X_{5}=\left(1-4 h+\frac{6 h^{2}}{2}-\frac{4 h^{3}}{2 \cdot 3}+\frac{h^{4}}{2 \cdot 3 \cdot 4}\right) X_{1}
\end{array}
\]

и так далее; таким образом бы будем иметь вообще
\[
\left.X_{r+1}=\left[1-r h+\frac{r(r-1)}{4} h^{2}-\frac{r(r-1)(r-2)}{4 \cdot 9} h^{3}+\cdots \cdot\right] X_{1}^{*}\right) \text {. }
\]
*) Общий член этого ряда имеет следующий вид:
\[
(-1)^{p} \frac{r(r-1) \cdots(r-p+1)}{1^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2} \cdots p^{2}} h^{p} X_{1} \cdot \text { (При,н.Бертрана.) }
\]

Допустим, что верхний конец нити, который должен оставаться неподвижным, соответствует телу, порядок которого равен $n+1$; тогда мы должны иметь $X_{n+1}=0$, что дает следующее уравнение, если вместо $h$ поставить его значение $\frac{l k}{g n}$,
\[
1-\frac{l k}{g}+\frac{(n-1) l^{2} k^{2}}{4 n g^{2}}-\frac{(n-1)(n-2) l^{3} k^{3}}{4 \cdot 9 n^{3} g^{3}}+\cdots=0 .
\]

Это уравнение будет $n$-й степени относительно $k$ и, следовательно, даст $n$ значений $k$, которые мы обозначим вообще через $k^{(p)}$.
42. Таким образом в формулах п. 30 следует лишь подставить вместо $X, Y$ и $Z$ приведенное выше выражение $X_{r}$ и вместо $k$ значение $k^{(\rho)}$ и затем выполнить суммирования, обозначенные символами $\mathbf{S}$ и $\sum$. Следует; однако, принять во внимание, что в рассматриваемом случае, когда мы допускаем $D b \doteq 0, D c=0$ (п. 40), условное уравнение п. 39 дает $D \xi=0$ и что, следовательно, $\xi$ имеет одно и то же значение для всех тел, которое, однако, может быть функцией $t$; для начала движения мы имеем $\alpha$ и $\dot{\alpha}$, равные постоянным величинам; но так как первое тело согласно допущению неподвижно, то начальные значений $\alpha$ и $\dot{\alpha}$ для этого тела равны нулю; стало быть, они будут равны нулю и для всех остальных тел. Следовательно, и общее выражение переменной $\xi$ будет равно нулю. К такому выводу мы приходим, если, как мы это сделали выше, пренебречь вторыми и более высокими степенями переменных $\xi, \eta, \zeta$, которые мы считаем очень малыми. В самом деле, в силу соотнотения $D s^{2}=D x^{2}+D y^{2}+D z^{2}$ и $D b=0, D c=0$. уравнение $D s=D f$ пункта 19 дает
\[
D a^{2}=(D a+D \xi)^{2}+D \eta^{2}+D \zeta^{2},
\]

откуда следует
\[
D \xi=-\frac{D \eta^{2}+D \zeta^{2}}{2 D a}
\]

таким образом переменные $\xi$ будут величинами второго норядка по отношению к $\eta$ и $\zeta$.
Обовначим теперь через $\Phi_{r}$ следующую функцию $r$ :
\[
\begin{aligned}
1-(r-1) & \frac{l k^{(\rho)}}{g n}+\frac{(r-1)(r-2)}{4}\left(\frac{l k^{(\rho)}}{g n}\right)^{2}- \\
– & \frac{(r-1)(r-2)(r-3)}{4 \cdot 9}\left(\frac{l k}{g n}\right)^{3}+\cdots
\end{aligned}
\]

и в общем выражении для переменной $\eta$ п. 30 подставим, как мы это сделали в п. $36, \eta_{r}$ вместо $\eta$ п членах, стоящих вне знака $\mathbf{S}$, подставим $\Phi_{r}$ вместо $Y$, а в тех членах, которые стоят под знаком $\mathbf{S}_{r}$, мы поставим $s$ вместо $r$ и $\beta_{s}, \dot{\beta}_{s}$ вместо $\beta$ и $\dot{\beta}$. Таким образом для любого тела, порядок которого при счете снизу вверх равен $r$, мы получим
\[
\begin{array}{l}
\eta_{r}=\sum\left[\frac{\Phi_{r} \mathbf{S}\left(\alpha_{s} \Phi_{s}\right)}{\mathbf{S}\left(\Phi_{s}\right)^{2}} \cos t \sqrt{k^{(\rho)}}\right]+ \\
+\sum\left[\frac{\Phi_{r} \mathbf{S}\left(\alpha_{s} \Phi_{s}\right)}{\mathbf{S}\left(\Phi_{s}\right)^{2} \sqrt{k^{(\rho)}}} \sin t \sqrt{k^{(\rho)}}\right],
\end{array}
\]

где знак $\mathbf{S}$ выражает сумму членов, соответствующи $s=1,2,3, \ldots, n$, а знак $\sum$ представляет сумму членов, соответствующих $\rho=1,2,3, \ldots, n$, если допустить, что $k^{(1)}, k^{(2)}, k^{(3)}, \ldots, k^{(n)}$ являются корнями уравнения $\Phi_{n+1}=0$ относительно $k^{(\circ)}$.

Совершенно такое же выражениө мы получим для переменной $\zeta_{r}$, если величины $\beta_{s}, \dot{\beta}_{s}$ мы просто заменим величинами $\gamma_{s}, \dot{\gamma}_{s}$.

Таким образом проблема бесконечно малых колебаний нити, нагруженной любым количеством равных ғрузов, полностью разрешена; остается только определить корни уравнения относительно $k^{(p)}$, что в общем случае представляется невозможным.
43. Впрочем, хотя мы и не в состоянии определить этих корней, тем не менее можно быть уверенным, что все они должны быть вещественными, положительными и неравными; в противном случае значения $\xi, \eta, \zeta$ содержали бы в себе члены, которыө со временем возрастают, что невозможно, так как в силу самой природы задачи ясно, что колебания нити должны всегда иметь лишь небольшие размеры, если начальные значения $\xi, \eta$, $\zeta$ очень малы.

Обратное имело бы место, если бы мы предположили, что величина $g$, выражающая тяжесть, отрицательна, т. е. что она действует в противоположном направлении; действительно; это был бы случай; когда точка подвеса вертикальной нити помещена в нижнем ее конце; тогда нить, будучи хоть немного выведена из своего вертикального положения, перевернулась бы. В самом деле, если в уравнении относительно $k$ положить $g$ отрицательным, то все члены уравнения становятся положительными, тақ что уравнение может иметь лишь корни мнимы или отрицательные вещественные.

Приведенные результаты можно получить и а priori с помощью принципов, изложенных в п. 8, что может послужить для доказательства правильности этих принципов. В самом деле, если принять во внимание условие нерастяжимости нити, из которого вытекает (см. предыд. пункт; суммирование начинается с нижнего телга)
\[
\xi=\xi_{1}-\mathbf{S} \frac{D \eta^{2}+D \zeta^{2}}{2 D a},
\]

то значение $V$ составит просто $\mathbf{S} I \mathrm{I}$, и тогда мы будем иметь
\[
\Pi=g x=g a+g \xi .
\]

Но так как верхнее тело, соответствующее порядковому числу $n+1$, согласно допущению закреплено неподвижно, то в данном месте значение $\xi$ должно быть равно нулю; следовательно, мы будем иметь
\[
\xi_{1}=\mathbf{S}\left(\frac{D \eta^{2}+D \zeta^{2}}{2 D a}\right)
\]

при этом предполагается, что стоящая в скобках сумма представляет собою полную сумму. Поәтому мы имеем
\[
\xi=\mathbf{S}^{\prime} \frac{D_{\eta}{ }^{2}+D \zeta^{2}}{2 D a},
\]

где знак $\mathbf{S}^{\prime}$ означает суммы, взятые в обратном порядке, начиная с самого верхнего тела, и представляющие собою разности между всей суммой и частными суммами, обозначенными через $\mathbf{S}$, которые должны начинаться с нижнего тела, где находится начало абсцисс.
Таким образом мы получаем
\[
V=g \mathbf{S} a D m+g \mathbf{S} D m \mathbf{S}^{\prime} \frac{D \eta^{2}+D \zeta^{2}}{2 D a},
\]

откуда видно, что часть $V$, содержащая вторые степени переменных $\eta$ и $\zeta$, которые теперь являются независимыми друг от друга, необходимо всегда положительна, и что, следовательно, корни уравнения относительно $k$ все вещественны, положительны и неравны между собою. Обратное получилось бы, если бы мы дали $g$ отрицательное значение.