Одна из наиболее злободневных проблем анализа систем, рассматриваемых в социально-экономических задачах, – это проблема выбора критерия, т. е. вопрос о том, каким образом следует сравнивать между собой различные реализации поведения системы. К счастью, динамические процессы, наблюдаемые в физических и биологических системах, часто протекают по вполне определенным законам, которые, как правило, являются следствием различных принципов минимума или законами сохранения. Однако перенос этих законов на объекты социальной природы в лучшем случае носит йскуственный характер и, более того, часто просто невозможен.

Поскольку цель этой книги состоит в изучении структуры систем независимо от вопросов оптимизации, можно позволить себе роскошь оставить в стороне проблему выбора критерия. Тем не менее, для того чтобы продемонстрировать значимость этой проблемы, рассмотрим простой пример, иллюстрирующий ситуацию, когда выбор различных критериев приводит к качественно различным стратегиям управления.

Предположим, что динамика системы описывается одномерным линейным дифференциальным уравнением
\[
\frac{d x}{d t}=u(t), \quad x(0)=c,
\]

где $u$-вход, или функция управления. Предположим, далее, что доступные резервы управления ограничены следующим образом:
\[
|u(t)| \leqslant 1 \text { для всех } t \geqslant 0 .
\]
(Подобная ситуация возникает, например, при управлении автомобилем, и тогда функция $u(t)$ есть скорость движения.)

Одним из критериев для данного процесса может быть перевод системы из начального состояния $c$ в некоторое заданное состояние, например $x=0$ за минимальное время. Хорошо известно, что решение такой задачи имеет вид
\[
u^{*}(t)=\left\{\begin{array}{ll}
+1, & c<0 . \\
-1, & c>0,
\end{array}\right.
\]
т. е. релейное управление является оптимальным.

Предположим теперь, что мы стремимся минимизировать квадратичный функционал вида
\[
J=\int_{0}^{T}\left(x^{2}+u^{2}\right) d t .
\]

Можно показать, что в этом случае оптимальный закон управления имеет вид
\[
u^{*}(t)=\operatorname{th}(T-t) x(t),
\]

и он может быть реализован в виде обратной связи или синтеза.

Полученные результаты показывают, что изменение критерия качественно меняет характер решения. В первом случае мы имеем экстремальные управления, переключающиеся с одной границы на другую в зависимости от начального состояния. Во втором случае оптимальный закон управления строится по ходу развития самого процесса и не имеет никаких точек разрыва. Важно отметить, что, хотя динамика системы остается неизменной, выбор иного критерия приводит к качественному изменению оптимального управления.