Теория связной устойчивости дает критерии, которым должны удовлетворять параметры системы с тем, чтобы положение равновесия в начале координат было асимптотически устойчиво при всех взаимосвязях между подсистемами. Однако при изменении одного из параметров до критического значения теорема перестает быть справедливой и возникает естественный вопрос о характере преобразования исходного положения равновесия, соответствующего данному изменению параметра. В общем случае нас интересуют критические значения параметров системы, при которых точка равновесия качественно меняет свой характер (например, аттрактор переходит в центр, притяжение сменяется отталкиванием).

В случае этой простейшей разновидности проблемы «бифуркации» можно предположить, что изменяется только один параметр системы. Выше уже приводился пример проблемы такого типа, в котором кратко рассматривался принцип структурной устойчивости. Основной результат для целого класса таких задач был получен Хопфом.

Рассмотрим двумерный случай, когда динамика системы описывается уравнениями
\[
\begin{array}{ll}
\dot{x}_{1}=f_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), & x_{1}(0)=x_{1}^{0}, \\
\dot{x}_{2}=f_{2}\left(x_{1}, x_{2}, \mu\right), & x_{2}(0)=x_{2}^{0} .
\end{array}
\]

Несколько более сложным будет $n$-мерный случай, но основные результаты по существу остаются неизменными.

Основной результат, характеризующий изменения поведения устойчивости системы при изменении $\mu$, заключен в бифуркационной теореме Хопфа.
Бифуркационная теорема Хопфа (в $R^{2}$ )
Пусть функции $f_{1}$ и $f_{2}$ по крайней мере четыре раза дифференцируемы по каждому аргументу и $f(0,0, \mu)=$

$=f_{2}(0,0, \mu)=0$ при всех действительных $\mu$. Допустим далее, что матрица
\[
J(f)=\left[\begin{array}{ll}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} \\
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}
\end{array}\right]\left(x_{1}, x_{2}\right)=(0,0)
\]

имеет два различных комплексно-сопряженных собственных значения $\lambda(\mu)$ и $\lambda(\mu)$, таких, что $\operatorname{Re} \lambda(\mu)>0$ при $\mu>0$. Предположим также, что
\[
\left.\frac{d}{d \mu}[\operatorname{Re} \lambda(\mu)]\right|_{\mu=0}>0 .
\]

Тогда
1. Существует дважды дифференцируемая функция $\mu$ : $(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow R$, такая, что начальная точка $\left(x_{1}^{0}, 0, \mu\left(x_{1}^{0}\right)\right)$ лежит на замкнутой траектории периода $2 \pi /|\lambda(\mu)|$, радиус которой растет как $\sqrt{\mu}$ при $x_{1}^{0}
eq 0, \mu(0)=0$.
2. Существует окрестность $U$ точки $(0,0,0)$ в $R^{3}$, такая, что любая замкнутая траектория, лежащая в $U$, -это одна из замкнутых траекторий указанного выше семейства.
3 Кроме того, если точка 0 -аттрактор при $\mu=0$, то $\mu\left(x_{1}^{0}\right)>0$ для.всех $x_{1}^{0}
eq 0$ и замкнутые траектории являются притягивающими.

Замечание. Замкнутой траекторией в $R^{2}$ является любая точка $x^{*}$, такая, что $x(t)=x(t+T)=x^{*}$ для некоторого $T>0$. В частности, точки равновесия – замкнутые траектории.

Согласно теореме Хопфа, траектории системы могут менять свое поведение при удалении $\mu$ от нуля, и характер этого изменения зависит от величины действительной части собственного значения матрицы Якоби $J(f)$ для данной системы в начале координат. Утверждение 1 в сущности означает, что равновесие в начале координат «дает бифуркацию» в замкнутую траекторию определенного радиуса, пропорционального $\sqrt{\mu}$. Если начало было притягивающей фиксированной точкой при $\mu=0$, то, согласно утверждению 2 , в достаточно малой окрестности начала (в пространстве $x_{1}, x_{2}, \mu$ ) замкнутые траектории, возникающие из фиксированной точки, сами будут притягивающими.

Итак, бифуркационная теорема Хопфа касается рождения замкнутых траекторий из фиксированных точек равновесия, a также последующего динамического поведения системы,
когда параметр $\mu$ проходит через критическое значение $\mu=0$. Для рассмотренных здесь двумерных систем только замкнутые траектории могут представлять периодические решения. Для систем с большим числом измерений ситуация оказы вается намного сложнее.

Пример. Уравнение Льенара
Уравнение Льенара представляет собой хорошо известную нелинейную систему дифференциальных уравнений, к которой часто приводят простые модели колебательных явлений, например в динамике популяций или при описании электрических контуров:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=x_{2}, \\
\dot{x}_{2}=-x_{1}+\mu x_{2}-x_{2}^{3} .
\end{array}
\]

Исследуя поведение этой системы при изменении параметра $\mu$ от отрицательных до положительных значений, можно показать, что начало координат $x_{1}=x_{2}=0$ является точкой равновесия системы при всех $\mu$. Кроме того,
\[
J(f)=\left[\begin{array}{lc}
0 & 1 \\
1 & \mu-3 x_{2}^{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rc}
0 & 1 \\
-1 & \mu
\end{array}\right]
\]

при $x_{1}=x_{2}=0$. Собственные значения матрицы $J$ таковы:
\[
\frac{1}{2}\left[\mu \pm \sqrt{\mu^{2}-4}\right] .
\]

Рассмотрим значения $\mu$, такие, что $|\mu|<2$. В этом случае $\lambda(\mu)
eq 0$. Kроме того, $\operatorname{Re} \lambda(\mu)<0$ при $-2<\mu<2, \operatorname{Re} \lambda(\mu)=$ $=0$ при $\mu=0$ и $\operatorname{Re} \lambda(\mu)>0$ при $0<\mu<2$. Имеем также
\[
\left.\frac{d}{d \mu} \operatorname{Re} \lambda(\mu)\right|_{\mu=0}=\frac{1}{2}>0 \text {. }
\]

Bce условия бифуркационной теоремы Хопфа выполнены, следовательно, существует однопараметрическое семейство замкнутых траекторий в окрестности начала координат.

Для того чтобы выяснить, будут ли эти замкнутые траекгории устойчивыми и возникнут ли они при $\mu>0$, необходимо использовать методы, выходящие за рамки этой книги, поскольку начало координат не является притягивающей фиксированной точкой; следовательно, мы не можем использовать вывод (3) теоремы. Оказывается, однако, что для этого уравнения периодические замкнутые траектории $У_{\text {стойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем }}$
действительно являются притягивающими и бифуркация имеет место при $\mu>0$.

Заметим, что небольшое обобщение указанного примера позволяет рассмотреть общее уравнение Ван дер Поля
\[
\ddot{u}+f(u, \mu,) \dot{u}+g(u)=0
\]

путем замены переменных $x_{1}=u, x_{2}=\dot{u}+f(u, \mu)$. Тем самым мы приводим уравнение Ван дер Поля к общему уравнению Льенара
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=x_{2}-f(x, \mu), \\
\dot{x}_{2}=-g\left(x_{1}\right),
\end{array}
\]

которое также может быть изучено при помощи теоремы Хопфа. Отсюда следует вывод, что уравнение Ван дер Поля также приводит к устойчивым колебаниям при $\mu>0$, возникающим в результате бифуркации от неподвижной точки в начале координат.