Исследование классической экосистемы хищник – жертва может служить прекрасной иллюстрацией применения вышеприведенных гомологических рассуждений. Рассмотрим биологическое сообщество, состоящее из 15 различных видов, и
Рис. 3.3. Экосистема хищник – жертва:
1-медведи, 2-птицы, 3-олени, 4-лисы, 5-змеи, 6-насекомые, 7-растения: 8 -кролнки, 9 -еноты, 10 – трызуны, 11 -саламандры; 12 -скунсы, 13 -жабы, 14 – дикие кошки, 15 -волки.

представим его в виде ориентированного графа (рис. 3.3), вершины которого соответствуют видам животных и расте̨ний, а дуга от $i$ к $j$ означает, что вид $j$ служит пищей для вида $i$.

Так как предполагается, что система замкнута, то, естественно, взять множества $X$ и $Y$ одинаковыми и состоящими из всех видов, входящих в сообщество. Будсм использовать
символ $x_{i}\left(=y_{i}\right.$ ) для обозначения $i$-го вида, анумерованного в соответствии со списком видов сообществл на рис. 3.3.

Қаждый вид в сообществе может быть либо хищником, либо служит пищей для какого-нибудь вида (либо то и другое). Таким образом, для того чтобы получить полную карғину взаимосвязей в биологическом сообществе, надо определить два отношения на множестве $X \times X$, а именно $\lambda_{\text {хищник }}$ и $\lambda_{\text {жертва, т. }}$ е. для видов, служащих пищей. Эти отношения определяются естественным образом. Например, $\left(x_{i}, x_{i}\right) \in$ $\in \lambda_{\text {хищник }}$, если $x_{i}$ является хищником для вида $x_{j}, i, j=$ $=1,2, \ldots, 15$. Матрица инциденций для $\lambda_{\text {хищник }}$ легко может быть получена из рис. 3.3 и имеет вид

Выполняя $q$-анализ, получим следующие значения связностей для хищников:
\[
\begin{array}{ll}
q=5, & Q_{5}=1, \quad\left\{x_{4}\right\}, \\
q=4, & Q_{4}=1, \quad\left\{x_{4}\right\}, \\
q=3, & Q_{3}=2, \quad\left\{x_{4}\right\},\left\{x_{15}\right\}, \\
q=2, & Q_{2}=3, \quad\left\{x_{4}\right\},\left\{x_{1}\right\},\left\{x_{15}\right\}, \\
q=1, & Q_{1}=2,\left\{x_{1}, x_{4}, x_{9}, x_{12}, x_{14}, x_{15}\right\},\left\{x_{5}\right\} ; \\
q=0, & Q_{0}=1, \quad\left\{\text { \{oc; ucнпічая } x_{2}, x_{19}\right\}
\end{array}
\]

Структурный вектор комплекса равен

Проведенное исследование показывает, что относительно хищников комплекс связан для больших и малых значений $q$, а для промежуточных значений $q$ он распадается на несколько несвязных компонент.

Существование на уровне $p$ более чем одной компоненты означает, что существуют два $p$-мерных вида, которые не являются $p$-связными. Это наводит на мысль о целесообразности введения понятия геометрическое препятствие. Определим вектор препятствия как $O=Q-U$, где $U$-вектор, все компоненты которого равны 1. Компоненты вектора $O$ являются мерой препятствия «свободному потоку информации» в комплексе на каждом уровне размерности. В вышеприведенном примере препятствие на уровне $q=3$ означает, что симплексы $x_{4}$ (лиса) и $x_{15}$ (волк), хотя каждый из них и употребляет в пищу по крайней мере четыре вида животных, не связаны (прямо или косвенно) никакими четырьмя видами и, следовательно, беспрепятственный обмен пищей между лисой и волком на 3 -уровне не возможен. Другими словами, вектор препятствия – это грубый индикатор возможных вариантов выбора пищи для хищников на каждом $q$-уровне.

Выше было отмечено, что интеграция отдельных симплексов в комплекс может быть изучена с помощью вычисления их эксцентриситетов. Следуя определению 3.2 , получим следующие значения эксцентриситетов хищников:

Таким образом, помимо видов 7 (растения) и 10 (грызуны), которые не входят в комплекс хищников, наименее однородным хищником является вид 4 (лиса). Это принципиальный вывод, тақ как лиса имеет достаточно пищи, которую она не делит ни с каким другим «многомерным» хищником.

Полученные результаты показывают, что эксцентриситет является мерой гибкости видов по отношению к их пище, т. е. мерой их способности к выживаемости при изменениях в биологическом сообществе. Подобная интерпретация напоминает нам понятие адаптации, но уже для отдельного вида.

Аналогичные рассуждения и анализ могут быть прове: дены для отюшения $\lambda$ жөртва. Чтобы сэкономить место, представим только конечные результаты $q$-анализа и вычислений оксцентриситета (они могут быть использованы читателями для проверки их собственных вычислений). $q$-анализ дает
и. следовательно, структурный вектор $Q=(\stackrel{5}{1,3}, 3,4,2, \stackrel{0}{1})$. Для эксцентриситетов жертв получены следующие значения:

Как и в случае комплекса хищников, многомерные симплексы $x_{6}$ (насекомые), $x_{7}$ (растения) и $x_{10}$ (грызуны) имеют большие значения эксцентриситета. Это означает, что они относительно стойки к малым изменениям в сообществе, составленном из видов, служащих пищей. Добавление или удадение хищников, по-видимому, почти не отразится на мнопомерных видах, служащих кому-либо пищей, – они будут оставаться жертвами для большинства видов.

Рассмотрим отношение $\lambda_{\text {хищник }}$ с гомологической точки зрения, проверив в нем наличие нетривиальных граничных циклов. Для размерности $q=1$ имеем четыре симплекса $\sigma^{5}$, $\sigma^{9}, \sigma^{12}, \sigma^{14}$. Легко показать, что
\[
\partial\left(\sigma^{9}+\sigma^{12}-\sigma^{14}\right)=0 .
\]

Это означает, что цепь $\sigma^{9}+\sigma^{12}-\sigma^{14}$ является кандидатом в граничные циклы. Теперь необходимо выяснить, существует ли 2 -цикл в $K$ с границей, равной $\sigma^{9}+\sigma^{12}-\sigma^{14}$. Так как единственным 2-симплексом в $K$ является $\sigma_{2}=\left\langle x_{3} x_{7} x_{10}\right\rangle$, а его границей является $\left\langle x_{7} x_{10}\right\rangle-\left\langle x_{3} x_{10}\right\rangle+\left\langle x_{3} x_{7}\right\rangle
eq \sigma^{9}+$ $+\sigma^{12}-\sigma^{14}$, то $\sigma^{9}+\sigma^{12}-\sigma^{14}$ является 1 -циклом, но не является границей. Можно показать, что
\[
Z=\left\{\sigma^{9}+\sigma^{12}-\sigma^{14}\right\},
\]
т. е. $Z_{1}$ порождается циклом $\sigma^{9}+\sigma^{12}-\sigma^{14}$. Аналогично, так как $\sigma_{2}=\left\langle x_{3} x_{7} x_{10}\right\rangle$ – единственный 2-симплекс, то $\left\langle x_{7} x_{10}\right\rangle$ $-\left\langle x_{3} x_{10}\right\rangle+\left\langle x_{3} x_{7}\right\rangle$ – единственная граница и
\[
B_{1}=\left\{\left\langle x_{7} x_{10}\right\rangle-\left\langle x_{3} x_{10}\right\rangle+\left\langle x_{3} x_{7}\right\rangle\right\} .
\]

Поэтому имеем
\[
H_{1}=Z_{1} / B_{1}, \quad H_{0} \approx J,
\]

а так как нет такого целого $n$, что $n\left(\sigma^{9}+\sigma^{12}-\sigma^{14}\right) \in B_{1}$, то комплекс не имеет кручения и, следовательно,
\[
H_{1}=J .
\]

Числа Бетти $\beta_{1}=\beta_{0}=1$, все другие $\beta_{i}=0, i=2, \ldots, 5$.
Вышеприведенный анализ показывает, что комплекс хищников в размерности 1 содержит дыру, ограниченную 1 -симплексами.

Наглядную физическую интерпретацию этой дыры дать трудно, но ее наличие, по-видимому, означает, что на одномерном уровне существует некоторый вид циркуляции жертв между следующими хищниками: енот, скунс, дикая кошка. Аналогичный анализ для комплекса жертв показывает тривиальность гомологии на всех уровнях, так как не существует нетривиальных границ.