До сих пор наше изложение касалось изучения меры сложности систем, задаваемых при помощи теории конечных автоматов, при этом неоднократно подчеркивалось, что выбор соответствующего математического аппарата, применяемого в данной ситуации, почти полностью зависит от целей формулирования данной проблемы. Однако мера сложности, предложенная для систем, описываемых с помощью конечного пространства состояний, может и не иметь применения, если используется другое описание процесса. Рассмотрим понятие сложность в случае алгебраическо-топологического описания процесса в виде симплициального комплекса.

Так как базисным алгебраическим объектом полиэдральной динамики являются симплексы, определим меру сложности с помощью размерности симплексов и учета связей между ними. Отметим, что такое определение сложности включает только статическую структурную сложность рассматриваемой системы. Динамические же соображения, вероятно, лучше всего отображать с помощью теории конечных автоматов.

Для определения полиэдральной сложности будем использовать следующую версию аксиом сложности:
А. Система, состоящая из единственного симплекса, имеет сложность равную 1 .
Б. Подсистема (подкомплекс) имеет сложность, не большую, чем весь комплекс.
В. Объединение двух комплексов образует новый комплекс, сложность которого не больше, чем сумма сложностей компонент.

Заметим, что аксиомы А-В неявно предполагают, что рассматриваемая система связана на нулевом уровне, т. е. структурный вектор $Q$ системы имеет $Q_{0}=1$. Если это не так, то можно вычислить сложность каждой из компонент связности комплекса, а затем максимальное из этих чисел принять за сложность всей системы. Такая процедура эквивалентна рассмотрению всей системы как параллельно соединенных ее компонент связности (на 0 -уровне).

В качестве меры, удовлетворяющей принятым аксиомам, возьмем следующую функцию, легко вычисляемую из структурного вектора $Q$ :
\[
\psi(K)=2\left[\sum_{i=0}^{N}(i+1) Q_{i}\right] /(N+1)(N+2),
\]

где $N$-размерность комплекса $K$, а $Q_{i}$ – $i$-я компонента структурного вектора $Q$, получаемого в процессе $q$-анализа. Множитель $2 /(N+1)(N+2)$ введен главным образом для нормализации в соответствии с аксиомой А.

Для иллюстрации использования меры $\psi$, рассмотрим пример системы хищник – жертва (гл. 3). Отношение $\lambda_{\text {хищник }}$ имеет структурный вектор

а отношение $\lambda_{\text {жертва }}-$
\[
Q_{\text {жертва }}=\left(\begin{array}{llllll}
5 & & & & 0 \\
1 & 3 & 3 & 4 & 2 & 1
\end{array}\right) .
\]

Таким образом,
\[
\psi(\text { хищник })=11 / 7, \quad \psi(\text { жертва })=50 / 21,
\]

что указывает, что отношения жертв устроены несколько более «сложно», чем отношения хищников.