Нет сомнения, что наиболее употребительным прилага. тельным в литературе по системному анализу является «сложный». Оно же является и наименее четко определяемым. Чисто интуитивно мы ощущаем, что сложная система это такая система, статическая структура или динамическое поведение которой «непредсказуемы», «запутаны», противоречат «здравому смыслу» и т. п. Короче говоря, сложная система – это нечто весьма сложное (одна из тавтологий системного анализа). Тем не менее решение проблем, возникающих в вычислительной технике и теории алгоритмов, требовало разработки способов количественного описания этого понятия, и в результате целый ряд исследователей вынуждены были вплотную заняться вопросами сложности.

В основном сложность связана с двумя важными свойствами системы: (а) математической структурой неприводимых компонент (подсистем) и (б) способом, которым эти компоненты связаны между собой. Отсюда с очевидностью следует, что сложность присуща самой системе, а тот факт, что сложность все же связана с отношением между наблюдателем и наблюдаемым объектом, при такой трактовке затушевывается и отступает на второй план. Однако, поскольку книга носит в целом вводный характер, мы не будем затрагивать подобных релятивистских аспектов.

Первое свойство системы допускает возможность снижения видимой сложности системы путем объединения отдельных переменных в подсистемы, как это, например, имеет место в блок-схеме радиоприемника, где различные элементы системы (сопротивления, транзисторы и т. д.) сгруппированы в функциональные блоки, такие как цепь настройки или блок питания. Естественно, при такой декомпозиции преследуется цель позволить исследователю упростить анализ системы, рассматривая ее как слабо связанную совокупность взаимодействующих подсистем. Следует, однако, отметить, что, хотя и предполагается, что взаимодействия между подсистемами будут слабыми, из этого вовсе не следует, что они действительно окажутся пренебрежимо малыми.

Второе свойство в значительной степени отражает сущность уже обсуждавшегося понятия сложности и включает такие характеристики системы, как размерность, иерархия, длина цепей связи и т. п. Кроме того, очевидно, что вопросы, касающиеся динамического поведения системы, тесно связаны как со структурой отдельных элементов, так и со способом их организации.

Одним из важных аспектов понятия сложности является ее двоякая природа. Следует различать структурную, или статическую, сложность, включающую связность и структуру подсистем, и динамическую сложность, связанную с поведением системы во времени. Тот факт, что эти свойства могут быть сравнительно независимыми, можно проиллюстрировать на простых примерах. Так, например, обычные часы обладают высокой степенью статической сложности, однако их динамическая сложность, по существу, равна нулю, если, конечно, часы работают как надо. Напротив, поведение нелинейного осциллятора, описываемого уравнением Ван дер Поля,
\[
\ddot{x}+\lambda\left(x^{2}-1\right)+x=0
\]

может быть весьма сложным в зависимости от значения параметра $\lambda$, и именно из-за этого «сложного» поведения он представляет теоретический и прикладной интерес. Со структурной же точки зрения осциллятор Ван дер Поля вовсе не является сложной системой.

Для иллюстрации непредсказуемого поведения, по-видимому, характерного для сложных систем, рассмотрим идеализированный линейный процесс, изображенный на рис. 2.10. (Это чисто условный пример, поэтому и его «содержательная» интерпретация также условна.)

Предположим, что гипотетическая экономическая система включает два предприятия: механическую мастерскую и электростанцию, для которых требуются рабочие двух специальностей: механики и электрики. Оба предприятия имеют фиксированное число рабочих мест и стремятся работать с полной занятостью. Смена персонала происходит достаточно быстро, так что полное число занятых рабочих равно ежегодному выпуску училищ. Всего имеется три училища:

два небольших частных училища, одно из которых готовит механиков, а другое – электриков, и одно крупное общественное училище ${ }^{1}$ ), готовящее равное число тех и других. Общественное училище готовит двух рабочих за один доллар. Частные училища готовят одного рабочего на одно вакантное рабочее место, но так как частные училища более требовательны к абитуриентам, производительность труда их выпускников вдвое выше, чем у выпускников общественного

Рис. 2.10. Упрощенная блок-схема экономики развивающейся страны.

училища. Поскольку правительство субсидирует данные предприятия, они принимают на работу всех, оканчивающих общественное училище. Данная ситуация описывается следующими уравнениями:
\[
\begin{aligned}
M & =D_{m}+{ }^{\circ} G, \\
P & =D_{m}+G+D_{e}, \\
E & ={ }^{s} G+D_{e},
\end{aligned}
\]

где $M$ – число механиков, $E$ – число электриков, $P$ – полные производительные силы (в терминах производительности труда выпускников частных училищ), $D_{m}$ – спрос на механиков, $D_{e}$ – спрос на электриков, $G$ – ежегодный выпуск общественного училища.
1) Имеется в виду училище, финансируемое из общественных средств (местного бюджета). – Прим. ред:

Отметим, что масштабирование уравнений несущественно, поскольку явления, которые мы сейчас опишем, не зависят от выбранного масштаба.

Предположим, что существует возможность управлять числом механиков и электриков и производительными силами, при этом управляющими органами являются оба предприятия и правительство. Правительство управляет переменной $P$, изменяя $G$, мастерская управляет $M$ через $D_{m}$, и электростанция контролирует $E$, варьируя $D_{e}$.

В описанной ситуации возможно следующее парадоксальное поведение. Предположим, что на обоих предприятиях была полная занятость. Пусть правительство увеличивает $G$ на единицу. Тогда предприятия в свою очередь уменьшают $D_{e}$ и $D_{m}$ на единицу, чтобы избежать превышения допустимой численности рабочих. Таким образом, изменение $D_{e}$ и $D_{m}$ приводит к уменьшению $P$ на две единицы. Итак, увеличение $G$ на единицу приводит к уменьшению $P$ на единицу. Этот вывод не зависит от деталей реализации стратегий управления и определяется лишь структурой управления и целей.

Парадокс исчезает, если правительство может регулировать $D_{m}$ и $D_{e}$, а не только $G$. Однако основная проблема возникает из-за влияния других управляющих воздействий на взаимосвязь между управляемыми ( $M, P, E$ ) и управляющими ( $D_{m}, G, D_{e}$ ) переменными.

Вывод, который можно сделать из анализа этого примера, состоит в том, что, казалось бы, даже в элементарных системах могут возникать совершенно неожиданные (и неприятные) явления, если сложность взаимосвязей не изучена должным образом. Другой важный вывод состоит в том, что в отличие от обычных представлений такое парадоксальное поведение вызвано вовсе не наличием нелинейности, стохастических эффектов и т. п., а порождается исключительно структурой системы, имеющимися связями и ограничениями, присущими компонентам системы.

Данный пример иллюстрирует еще один важный момент, присущий понятию сложности системы, а именно различие между сложностью неуправляемой системы и сложностью управляемой системы. Грубо говоря, сложность неуправляемой системы определяется совокупностью статической и динамической сложности в отсутствие управления, или, более общо, процессом преобразования, при котором полностью используется потенциал системы. Процесс преобразования, однако, может привести к возникновению неустойчивых конфигураций. Так, например, неустойчивые конфигурации могут возникнуть из-за разрыва между вычислительными потребностями системы в целом и вычислительными возможностями составляющих ее подсистем.

Под сложностью управляемой системы понимается тот уровень сложности, который сопряжен с вычислениями, необходимыми для того, чтобы система была полностью управляемой. В данном случае неустойчивые конфигурации могут появиться, если быстродействие некоторых подсистем недостаточно велико, чтобы вовремя реагировать на изменения входных воздействий.

Связь между этими двумя типами сложности можно назвать эволюционной сложностью, и говорят, что система полностью сбалансирована, когда ее потенциальные возможности используются полностью, т. е. когда сложность неуправляемой и управляемой системы одинакова.

Пример. Генетическая модель Джекоба – Моно
Предположим, что функции клетки можно разделить на две группы: обмен веществ $M$ и генетическое управление $G$. Механизм работы клетки можно попытаться описать следующим образом. $G$ пытается регулировать $M$, воспринимая выходы $M$ и генерируя корректирующие входы для $M$ (обычная обратная связь в теории регулирования). Если $G$ осуществляет свое воздействие сообразно со сложностью неуправляемой системы, то возникают устойчивые конфигурации и оба типа сложности совпадают. В противном же случае, т. е. когда воздействия $G$ слишком слабы или чрезмерно велики, могут возникать различные нарушения.

Другие, более реалистические модели рассматриваются в гл. 4, где анализируются приложения теории сложности к следующим типам динамических систем:
– модели распределения ресурсов в конфликтных ситуациях,
– модели истощения природных ресурсов и загрязнения окружающей среды,
– структурные модели пространственно-временного развития.

В целом можно сказать, что сложность-многозначное понятие, включающее как статические и динамические аспекты, так и элементы, связанные с управлением. Статическая сложность, по существу, связана со сложностью подсистем, составляющих данную систему, а динамическая включает вычислительные машины или микропроцессорные элементы, что объясняется необходимостью выработки сигналов управления при наличии взаимосвязности подсистем. Наконец, сложность управляемых систем, по существу, является мерой вычислительных возможностей, необходимых для реализации заданного поведения. В идеале математическая теория сложности должна достигнуть уровня, аналогичного уровню развития теории вероятностей. В то время как вероятность можно рассматривать как меру неопределенности в данной ситуации, сложность можно трактовать как меру понимания поведения системы.