В последние годы проблема принятия решений в иерархических системах стала темой большинства работ по математической теории систем. В результате анализа проблем коммуникации и неопределенности в больших системах было установлено, что жесткоцентрализованное управление является недейственным и неэффективным. Следовательно, для того чтобы получить рациональное поведение системы, необходимо осуществить ее декомпозицию в локально управляемые подсистемы, поведение которых координируется органами управления на других уровнях иерархии. Чтобы убедиться в универсальности именно таких структур принятия решений, достаточно взглянуть на организационную структуру любой большой фирмы или учреждения.

Между иерархической организацией системы и способом связи ее подсистем существует очевидная зависимость. Поэтому возникает естественный вопрос, как расширить понятие топологическая связность, чтобы отразить в нем и иерархический аспект. Наш подход к этому вопросу предполагает использование теоретико-множественного понятия покрытия.

Определение 3.3
Семейство (конечное) множеств $A=\left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ называется покрытием (конечного) множества $X$, если
\[
A_{i} \in 2^{X}
\]
a
\[
X=\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}
\]
(2 $2^{x}$ – множество всех подмножеств множества $X$ ). Если, кроме того, известно, что $A_{i} \cap A_{j}=\varnothing(i
eq j)$, то $A$ называется разбиением $X$.
Рис. 3.4. Покрытие множества $X$.
Согласно вышеприведенному определению, элементы $A$ являются подмножествами $X$ (рис. 3.4). Следовательно, можно считать $A_{i}$ как бы расположенным на $N+1$ уровне, предполагая, что элементы $X$ расположены на $N$-м уровне.

Теперь можно определить иерархию $H$ при помощи отноiшения $\mu$, задаваемого условием: $\left(A_{i}, X_{i}\right) \in \mu$ тогда и только тогда, когда $X_{j} \in A_{i}$. Такое отношение $\mu$ может быть также представлено с помощью матрицы инциденций из нулей и единиц точно так.же, как и отношения, задаваемые на
$N$-уровне. Эта идея может быть распространена на дополнительные уровни иерархии и связи между уровнями (рис. 3.5).

Подобный подход к изучению иерархических систем тесно связан с известной теорией типов Бертрана Рассела, согласно которой не следует смешивать элементы множества с «множествами элементов» и «множествами множеств элементов» и т. д.
Введение такого принципиального логического различия сразу же избавляет нас от многих логических парадоксов, например парадокса брадобрея.
В некотором городе парикмахер бреет только тех, кто не бреется сам. Должен ли он брить самого себя? Если $X$ – множество мужчин в городе, то тогда в соответствии

Рис. 3.5. Уровни иерархии множеств и отношений.
иерархии и связи между уровнями
$\qquad$ . же избавляет нас от многих логи ческих парадоксов, например пара- докса брадобрея. В некотором городе парикмахер с теорией типов парикмахера следует рассматривать не как элемент множества $X$, а скорее как элемент множества $2^{X}$, состоящий из мужчин, которые бреются сами. Однако применительно к элементам $2^{x}$ нельзя решать те же вопросы, что и применительно к элементам $X$.