В качестве простого примера линейной системы рассмо. трим динамическую систему, внутреннее описание которой может быть задано с помощью дифференциального уравнения
\[
\frac{d x}{d t}=F x(t)+G u(t),
\]

и ее выход задан равенством
\[
y(t)=H x(t),
\]

где $x, u$ и $y$ представляют собой $n_{-}, m-, p$-мерные векторные функции соответственно, а $F, G, H$-матрицы соответствую: щих порядков.

Вероятно наиболее удобный способ проиллюстрировать алгебраические аспекты линейной системы – это рассмотреть матрицу передаточной функции системы. Обозначим через $\vec{x}, \vec{u}, \vec{y}$ преобразования Лапласа вектор:функций $x, u, y$ соот: ветственно. Можно показать, что отношения между преобра: зованными входом и выходом системы задается формулой
\[
\ddot{y}(z)=H(z I-F)^{-1} G \bar{u}(z)=W(z) \bar{u}(z),
\]

где $z$-преобразование переменной. Матрица $W$; называемая передаточной матрицей, задает внешнее описание динӓмики системы. Предположим далее, что элементы матрицы $W(z)$ – правильные рациональные дроби от $z$. Можно показать, что в этом случае изучение внутренней схемы взаимосвязи входных и выходных каналов системы $\Sigma$ эквивалентно изучению циклической структуры матрицы $W(z)$,

Каждая матрица передаточной функции W (z) правильных рациональных дробей может быть реализована в виде прямой суммы систем
\[
\Sigma_{i}=\left(F_{i}, G_{i}, H_{i}\right)
\]

где $G_{i}, H_{i}$ вычисляются по формулам, приведенным ниже, а $F_{i}$ – циклическая матрица с характеристическим полиномом $\psi_{i}, i$-м инвариантом матрицы $W(z)$.

Из теоремы следует, что основные строительные блоки системы $\Sigma$ получаются при вычислении инвариантов матрицы $W(z)$. Если $\psi$ – наименьший общий знаменатель элементов матрицы $W(z)$, то $\psi W$ является полиномиальной матрицей. Применяя алгоритм вычисления инвариантов, получим представление
\[
\psi W=P L Q \bmod \psi,
\]

где $\operatorname{det} P$ и $\operatorname{det} Q$ являются единицами кольца $K[z] / K[z] \psi$, а матрица $L$ – диагональной матрицей, единственной с точностью до единиц того же кольца (здесь $K$-произвольное числовое поле). При этом оказывается, что элементы $ф$ связаны с элементами матрицы $L$ следующим образом:
\[
\psi_{i}=i_{n-i+1}, \quad i=1,2, \ldots, q,
\]
me $n$ – степень наименьшего общего знаменателя.
Для получения элементов системы $\Sigma_{i}$ необходимо проделать следующие операции:
1. Для каждого инварианта $\psi_{i}$ матрицы $W$ найти циклическую матрицу $F_{i}$, такую, что ее характеристический полином $\chi_{F_{i}}=\psi_{i}, i=1,2, \ldots, q$. (В качестве $F_{i}$ можно взять сопровождающую матрицу $\psi_{i}$ ).
2. Пусть $L=\left(l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{n}\right), p_{i}-i$-й столбец $P, \quad q_{i}^{\prime}-i$-я строка $Q$ в вышеприведенном представлении $\psi W$. Возьмем такие полиномиальные векторы $v_{i}$ и $w_{i}$, что
\[
\chi_{F_{i}}=\left(z I-F_{i}\right)^{-1}=v_{i}(z) w_{i}^{\prime}(z) \bmod \chi_{F_{i}} .
\]
(Эти векторы определяются однозначно с точностью до единиц $K[z] / K[z] \chi_{F_{i}}$.)
3. Уравнения
\[
\begin{array}{c}
H_{i} v_{l}=\left(l_{i} / \mu_{i}\right) p_{i} \bmod \psi_{i}, \\
\omega_{i}^{\prime} G_{i}=q_{i}^{\prime} \bmod \psi_{i}
\end{array}
\]

имерт единственное решение $H_{i}, G_{i}$. Здесь $\mu_{i}$ – наибольший общий делитель $l_{i}$ и $\psi$. Находим эти решения и тем са́мым систему $\Sigma_{i}$.

Выводы

Размеры (размерность) блоков (подсистем), входячцих во внешнее описание системы $\Sigma$, равны в точности стетеням инвариантов матрицы $W$.

Қаноническая структура линейной системы (рис. 3.7) характеризуется высокой степенью связности между ее компонентами и заметно отличается от структуры линейной системы, схема которой приводится обычно в элементарных учебниках (рис. 3.8). Простота схемы, приведенной на рис. 3.8 , объясняется произвольностью ее выбора, и, несмотря на графическую привлекательность, эта схема не имеет никажого отношения к реальной системе $\Sigma$ с передаточной функцией $W$.

Рассмотрим числовой пример. Пусть
\[
W(z)=\left[\begin{array}{ccc}
\frac{1}{z+1} & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{z+2} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{z+3}
\end{array}\right]
\]

Имеем $\psi(z)=(z+1)(z+2)(z+3)$, и инвариантами $\boldsymbol{\Psi} \boldsymbol{W}$ -является
\[
\Lambda=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 4
\end{array}\right]
\]

Поэтому
\[
\begin{array}{l}
L=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right], \\
P=\left[\begin{array}{ccc}
(z+2)(z+3) & 1 & 0 \\
2(z+1)(z+3) & 3 & 2 \\
(z+1)(z+2) & 1 & 2
\end{array}\right], \\
Q=\left[\begin{array}{ccc}
1 / 2(z+2)(z+3) & -1 / 2(z+1)(z+3) & 1 / 2(z+1)(z+2) \\
-1 & 1 & -1 \\
0 & -1 / 2 & 1
\end{array}\right]
\end{array}
\]

Рис. 3.7. Общая структура линейной системы.

Рис. 3.8. Обычная схема линейной системы.

В качестве $v(z), w(z)$ возьмем
\[
v(z)=\left[\begin{array}{l}
1 \\
z \\
z^{2}
\end{array}\right], \quad w(z)=\left[\begin{array}{c}
z^{2}+6 z+11 \\
z+6 \\
1
\end{array}\right] .
\]

Можно показать, что передаточная матрица $W(z)$ канонической внешней модели задается следующими матрицами:
\[
\begin{array}{l}
F=\left[\begin{array}{rrr}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
-6 & -11 & -6
\end{array}\right] \text {, } \\
G=\left[\begin{array}{ccc}
1 / 2 & -1 / 2 & 1 / 2 \\
-1 / 2 & 1 & 3 / 2 \\
1 / 2 & -5 / 2 & 9 / 2
\end{array}\right], \quad H=\left[\begin{array}{lll}
6 & 5 & 1 \\
6 & 8 & 2 \\
2 & 3 & 1
\end{array}\right] \\
\end{array}
\]

Все канонические модели эквивалентны с точностью до преобразования координат $x \rightarrow T x$ в пространстве состояний. Этот вывод легко получается из теоремы реализации.