Предположим, что пространство состояний изучаемого процесса, обозначаемое $Q$, содержит лишь конечное число элементов. Предположим также, что $\mathcal{F}$-это множество преобразований пространства состояний, т. е.
$$\mathcal{F}:Q\to Q.$$

Пусть произведение двух элементов $f_1$ и $f_2$ из $\mathcal{F}$ определяется tak
$$\begin{array}{l}\left(f_1{f}_2\right):Q\to Q,\\ \left(f_1{f}_2\right)q=f_2[f_1(q)].\end{array}$$

Это определение соответствует обычной композиции двух преобразований, которая, как известно, ассоциативна, т. е.
$$\left[f_1\left(f_2{f}_3\right)\right]q=\left[\left(f_1{f}_2\right)f_3\right]q\text{ для всех }{f}_1,f_2,f_3\in \mathcal{F},q\in Q.$$

Можно образовать полугруппу ${}^1$ ) ${\mathcal{F}}^{\ast }$ из групп $\mathcal{F}$, включив в последнюю все произведения ее элементов.

Пара объектов $(Q,{\mathcal{F}}^{\ast })$ образует так называемую полугруnпу преобразований. Поскольку рассматривается конечное пространство $Q$, то и полугруппа преобразований также конечна ${}^2$ ).

Наша цель — получить связь между произвольными преобразованиями конечного пространства состояний и определенными удобными представлениями действий этих преобразований. Для достижения этой цели введем понятие узловое произведение координат ${}^3$ ). Предположим, что $Q$ представдено при помощи декартова произведения
$$Q=X_1\times X_2\times \dots \times X_n,$$
т. е. каждое $q\in Q$ имеет представление $q=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$, $x_i\in X_i,i=1,2,\dots ,n$. Тогда действие ${\mathcal{F}}^{\ast }$ на $Q$ триангулировано, если каждое $f\in {\mathcal{F}}^{\ast }$ может быть представлено как $f=(f_1,f_2,\dots ,f_n)\in F_1\times F_2\times \dots ,\times F_n,$ где $f(q)=f(x_1$, $x_2,\dots ,x_n)=[f_1\left(x_1\right),f_2(x_1,x_2),\dots ,f_n(x_1,x_2,\dots ,x_n)]=q^{\prime }$, T. e. $f_k:X_1\times X_2\times \dots \times X_k\to X_k$.

Таким образом, триангуляция означает, что каждая координата $q^{\prime }$ зависит только от координаты $q$ с тем же номером и координат, ей предшествующих.

Еще одним важным понятием является понятие $k$-го координатного действия. А именно, $k$-е координатное действие $(Q,{\mathcal{F}}^{\ast })=(X_1\times X_2\times \dots \times X_n;F_1\times F_2\times \dots \times F_n)-$ это полугруппа преобразований ( $X_k,G_k^{\ast })$, где $G_k^{\ast }$ — множество всех преобразований $g$ на $X_k$, таких, что
$$g:X_k\to X_k,g(z)=f_k(a_1,a_2,\dots ,a_{k-1},z),$$
a $(a_1,a_2,\dots ,a_{k-2},a_{k-1})$ — произвольный фиксированный элемент $X_1\times X_2\times \dots \times X_{k-1}$ и $f_k\in F_k$. Другими словами, эле-
1) Полугруппой называют множество с заданной на нем ассоциативной бинарной операцией.
2) Порядок ( $Q,{\mathcal{F}}^{\ast })$ равен числу различных преобразованнй в $\mathcal{F}\ast$.
9) В алгебраической теории полугрупп общепринятым является тер. мин сплетение. — Прим. перев.

менты $G_k^{\ast }$ не только отображают $X_k$ в себя, но и также должны быть частью триангуляции ${\mathcal{F}}^{\ast }$.

Если действие ${\mathcal{F}}^{\ast }$ на $Q$ может быть триангулировано введением координат $Q=X_1\times X_2\times \dots \times X_n$, то пространство состояний $Q$ есть узловое произведение своих координатных действий, т. е.
$$(Q,{\mathcal{F}}^{\ast })=\left(X_i{G}_i^{\ast }\right)w(X_2,G_2^{\ast })w\dots w(X_n,G_n^{\ast }).$$

Следовательно, множество $X_1\times X_2\times \dots \times X_n$ представляет узловое произведение координат для $Q$, а множество $G_{1}X$ $\times G_2\times \dots \times G_n$ — узловое произведение координат для ${\mathcal{F}}^{\ast }$.

Пример
Пусть $Q=R^2,X_1=X_2=R^1$, а $f:R^2\to R^2$ задается верхнетреугольной матрицей
$$f=\left[\begin{array}{ll}{f}_{11}& f_{12}\\ 0& f_{2^0}\end{array}\right].$$

В качестве компонентного преобразования $f_i$ возьмем композицию оператора, определяемого ведущим $i\times i$ блоком $f$, и оператора проектирования на $i$-ю координату.