Предположим, что пространство состояний изучаемого процесса, обозначаемое $Q$, содержит лишь конечное число элементов. Предположим также, что $\mathscr{F}$-это множество преобразований пространства состояний, т. е.
\[
\mathscr{F}: Q \rightarrow Q .
\]

Пусть произведение двух элементов $f_{1}$ и $f_{2}$ из $\mathscr{F}$ определяется tak
\[
\begin{array}{l}
\left(f_{1} f_{2}\right): Q \rightarrow Q, \\
\left(f_{1} f_{2}\right) q=f_{2}\left[f_{1}(q)\right] .
\end{array}
\]

Это определение соответствует обычной композиции двух преобразований, которая, как известно, ассоциативна, т. е.
\[
\left[f_{1}\left(f_{2} f_{3}\right)\right] q=\left[\left(f_{1} f_{2}\right) f_{3}\right] q \quad \text { для всех } f_{1}, f_{2}, f_{3} \in \mathscr{F}, q \in Q .
\]

Можно образовать полугруппу ${ }^{1}$ ) $\mathscr{F}^{*}$ из групп $\mathscr{F}$, включив в последнюю все произведения ее элементов.

Пара объектов $\left(Q, \mathscr{F}^{*}\right)$ образует так называемую полугруnпу преобразований. Поскольку рассматривается конечное пространство $Q$, то и полугруппа преобразований также конечна ${ }^{2}$ ).

Наша цель – получить связь между произвольными преобразованиями конечного пространства состояний и определенными удобными представлениями действий этих преобразований. Для достижения этой цели введем понятие узловое произведение координат ${ }^{3}$ ). Предположим, что $Q$ представдено при помощи декартова произведения
\[
Q=X_{1} \times X_{2} \times \ldots \times X_{n},
\]
т. е. каждое $q \in Q$ имеет представление $q=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$, $x_{i} \in X_{i}, i=1,2, \ldots, n$. Тогда действие $\mathscr{F}^{*}$ на $Q$ триангулировано, если каждое $f \in \mathscr{F}^{*}$ может быть представлено как $f=\left(f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n}\right) \in F_{1} \times F_{2} \times \ldots, \times F_{n}, \quad$ где $\quad f(q)=f\left(x_{1}\right.$, $\left.x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\left[f_{1}\left(x_{1}\right), \quad f_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right), \ldots, f_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\right]=q^{\prime}$, T. e. $f_{k}: X_{1} \times X_{2} \times \ldots \times X_{k} \rightarrow X_{k}$.

Таким образом, триангуляция означает, что каждая координата $q^{\prime}$ зависит только от координаты $q$ с тем же номером и координат, ей предшествующих.

Еще одним важным понятием является понятие $k$-го координатного действия. А именно, $k$-е координатное действие $\left(Q, \mathscr{F}^{*}\right)=\left(X_{1} \times X_{2} \times \ldots \times X_{n} ; F_{1} \times F_{2} \times \ldots \times F_{n}\right)-$ это полугруппа преобразований ( $\left.X_{k}, G_{k}^{*}\right)$, где $G_{k}^{*}$ – множество всех преобразований $g$ на $X_{k}$, таких, что
\[
g: X_{k} \rightarrow X_{k}, \quad g(z)=f_{k}\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k-1}, z\right),
\]
a $\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k-2}, a_{k-1}\right)$ – произвольный фиксированный элемент $X_{1} \times X_{2} \times \ldots \times X_{k-1}$ и $f_{k} \in F_{k}$. Другими словами, эле-
1) Полугруппой называют множество с заданной на нем ассоциативной бинарной операцией.
2) Порядок ( $\left.Q, \mathscr{F}^{*}\right)$ равен числу различных преобразованнй в $\mathscr{F} *$.
9) В алгебраической теории полугрупп общепринятым является тер. мин сплетение. – Прим. перев.

менты $G_{k}^{*}$ не только отображают $X_{k}$ в себя, но и также должны быть частью триангуляции $\mathscr{F}^{*}$.

Если действие $\mathscr{F}^{*}$ на $Q$ может быть триангулировано введением координат $Q=X_{1} \times X_{2} \times \ldots \times X_{n}$, то пространство состояний $Q$ есть узловое произведение своих координатных действий, т. е.
\[
\left(Q, \mathscr{F}^{*}\right)=\left(X_{i} G_{i}^{*}\right) w\left(X_{2}, G_{2}^{*}\right) w \ldots w\left(X_{n}, G_{n}^{*}\right) .
\]

Следовательно, множество $X_{1} \times X_{2} \times \ldots \times X_{n}$ представляет узловое произведение координат для $Q$, а множество $G_{1} X$ $\times G_{2} \times \ldots \times G_{n}$ – узловое произведение координат для $\mathscr{F}^{*}$.

Пример
Пусть $Q=R^{2}, X_{1}=X_{2}=R^{1}$, а $f: R^{2} \rightarrow R^{2}$ задается верхнетреугольной матрицей
\[
f=\left[\begin{array}{ll}
f_{11} & f_{12} \\
0 & f_{2^{0}}
\end{array}\right] .
\]

В качестве компонентного преобразования $f_{i}$ возьмем композицию оператора, определяемого ведущим $i \times i$ блоком $f$, и оператора проектирования на $i$-ю координату.