Приближенно симплициальный комплекс состоит из множества вершин $X$ и множества симплексов $Y$, образованных из этих вершин в соответствии с заданным бинарным отношением $\lambda$. Симплициальный комплекс $K_{Y}(X ; \lambda)$ образован множеством симплексов $Y$, связанных через общие грани, т. е. через общие вершины. Например, можно положить
\[
Y=X=\{\text { птицы, лисы, насекомые, травы, антилопы }\} .
\]

При этом отношение $\lambda$ таково: симплекс $y_{i}$ состоит из всех вершин $x_{i}$, таких, что $x_{j}$ является жертвой $y_{i}$. Таким образом, $y_{1}=$,птицы“-1-симплекс, состоящий из вершин ,насекомые“ и „травы“,
$y_{2}=$ лисы“-1-симплекс, состоящий из вершин „птицы“ и „насекомые“

и т. д. Отметим, что $n$-симплекс состоит из $n+1$ вершин и его размер на единицу меньше числа вершин.

Вообще говоря, $p$-симплекс $\sigma_{p}$ представляется выпуклым многогранником с вершинами в эвклидовом пространстве $E^{p}$, а комплекс $K_{Y}(X ; \lambda)$ – совокупностью таких многогранников в эвклидовом пространстве $E^{\alpha}$ соответствующей размерности. Хотя размерность $\alpha$ наверняка не превышает суммы размерностей всех симплексов из $K_{Y}(X ; \lambda)$, однако поскольку многие симплексы имеют общие грани, то размерность $\alpha$ на самом деле окажется меньше. В действительности можно показать, что если $\operatorname{dim} K_{Y}(X ; \lambda)=n$, то $\alpha=2 n+1$. Так, если $\operatorname{dim} K_{Y}(X ; \lambda)=1$, то наибольший порядок $\sigma_{p}$ есть $p=1$, поэтому можно ожидать, что трехмерного пространства $E^{3}$ будет достаточно, чтобы геометрически представить произвольный комплекс размерности 1. Это можно проиллюстрировать следующим образом: на плоскости ( $\left.E^{2}\right)$ надо соединить непересекающимися линиями три дома $\mathrm{H}_{1}, \mathrm{H}_{2}$ и $\mathrm{H}_{3}$ с источником газа, воды и электроэнергии. Неразрешимость поставленной задачи иллюстрирует наше утверждение. Задача графически изображена на рис. 2.7 , а ее решение в $E^{3}$ показано на рис. 2.8.

Основываясь на геометрической интуиции, можно изучать многомерную связную структуру комплекса $K_{Y}(X ; \lambda)$ различными способами с привлечением алгебраических методов. В связи с этим рассмотрим некоторые важные понятия. $q$-связность. Это понятие связано с изучением цепочек связи в $K_{Y}(X ; \lambda)$, таких, что каждый симплекс в цепи имеет
Рис. 2.7. Проблема пересечения в $E^{2}$.

общую вершину с соседними симплексами, $q=0,1,2, \ldots$ $\ldots, \operatorname{dim} K-1$. Геометрически эти цепи содержат достаточно много локальной информации относительно того, каким об-
Рис. 2.8. Решение проблемы пересечения в $E^{3}$.

разом симплексы, составляющие комплекс, связаны друг с другом. Если представить себе, что мы можем «видеть» только в пространстве размерности $\geqslant q$ (скажем, с помощью специальных очков), то, рассматривая комплекс $K_{Y}(X ; \lambda)$, мы увидим, что он распадается на $Q_{q}$ несвязанных элементов. Подобное геометрическое представление порождает алгебраическую теорию $q$-связности, позволяющую гораздо
лучше понять процессы обмена информацией внутри комплекса.

Эксцентриситет. Для того чтобы понять, каким образом отдельные симплексы «вложены» в комплекс, введем понятие эксцентриситета. Это понятие отражает как относительную важность данного симплекса для комплекса в целом (через его размерность), так и его значимость как связующего звена
Рис. 2.9. Гомотопия на торе.
(через максимальное число его вершин, принадлежащих также любому другому симплексу). Другими словами, эксцентриситет позволяет увидеть и оценить, насколько «плотно» каждый симплекс вложен в комплекс.

Образ. Как отмечалось в гл. 1, для описания динамики системы необходимо ввести отображение каждого симплекса из $K_{Y}(X ; \lambda)$ в соответствующее числовое поле:
\[
\begin{aligned}
\llbracket 1: \delta_{i} \rightarrow k, & i=0,1, \ldots, \operatorname{dim} K, \\
r & =1,2, \ldots, \operatorname{card} K .
\end{aligned}
\]

Образ П отражает динамические изменения, происходящие в комплексе со временем. Поскольку каждый симплекс $\sigma_{i}$ обладает характеристической геометрической размерностью, то же справедливо и для связанных с ним численных величин. Следует иметь в виду, что геометрическая структура налагает различные ограничения на изменение образа, т. е. на динамику системы.

Гомотопия. Вопрос о том, насколько «близким» является данный симплекс (цепь) к другому симплексу (цепи), представляет как теоретический, так и прикладной интерес. Если ввести понятие гомотопия, то можно получить ответ не только на этот вопрос, но и на вопрос о том, можно ли непрерывным преобразованием трансформировать одну цепь в другую, не нарушая геометрии системы. Так, например, кривые А и А’ на торе (рис. 2.9) являются гомотопными, а кривые В и B $^{\prime}$ нет, поскольку наличие «дырки» в центре не позволяет непрерывно деформировать В в В’. Аналогичные понятия могут быть введены и для комплекса $K(X ; \lambda)$, и не исключено, что они могут оказаться полезными при анализе его структуры.

Хотя с чисто математической точки зрения изложенные геометрические понятия совершенно элементарны, они все же дают весьма подробную информацию, необходимую для понимания статической геометрии данного бинарного отношения и возможной динамики соответствующей ему связной структуры. (Это довольно смелое утверждение будет подтверждено в следующей главе многочисленными примерами.)