Начальный этап построения математической модели данной системы состоит в идентификации существенных переменных и их взаимосвязей. В зависимости от конкретного типа выбранного математического описания идентификация может включать определение размерности пространства состояний, описание внутренней динамики системы и содержательных связей между множествами объектов, распределение вероятностей для случайных воздействий. Поскольку идентификация зависит от типа математического описания, которое в свою очередь зависит от того, насколько удачно проведена идентификация и т. д. и т. п., то процесс построения модели является итерационным: сначала выбирают математическое описание, которое затем модифицируют в зависимости от результатов идентификации, что приводит к новому описанию, и процесс повторнют.

Наиболее глубоко разработанной проблемой идентификации систем является задача построения внутреннего описания линейного отображения вход-выход с постоянными
жозффициентами. Для простоты изложения предположим, что данная система развивается в дискретном времени с наұальным состоянием $x_{0}=0$, соответствующим начальному моменту времени $t_{0}=0$. Можно показать, что вход $u(t)$ и выход $y(t)$ системы связаны следующим соотношением:
\[
y(t)=\sum_{t>\tau \geqslant 0} A_{t-\tau} u(\tau),
\]

где все матрицы $\left\{A_{i}\right\}$ имеют размер $p \times m$. Тогда описание типа вход-выход системы $\Sigma$ определяется (возможно, бесконечной) последовательностью матриц $\left\{A_{1}, A_{2}, \ldots\right\}$.

Если внутреннее описание системы $\Sigma$, заданное соотношениями
\[
\begin{array}{c}
x(t+1)=F x(t)+G u(t), \\
y(t)=H x(t),
\end{array}
\]

согласуется с приведенным выше внешиим описанием, то связь между матрицами $F, G, H$ и $\left\{A_{j}\right\}$ имеет вид
\[
A_{t}=H F^{t-1} G, \quad t=1,2, \ldots
\]

Задача реализации для линейных динамических систем состоит в отыскании $n \times n, n \times m$ и $p \times n$-матриц $F, G$ и $H$ соответственно, удовлетворяющих соотношению (2.1) и таких, что размерность внутреннего пространства состояний $n$ минимальна. Иными словами, задача состоит в построении по возможности более компактной модели, согласующейся с наблюдаемыми данными.

К счастью, существуют хорошие алгоритмы решения задачи реализации, если справедливо следующее предположение: последовательность $\left\{A_{i}\right\}$ обладает конечномерной реализацией. Если $\left\{A_{i}\right\}$ обладает реализацией размерности $n<\infty$, то первые $2 n$ членов последовательности $\left\{A_{i}\right\}$ единственным өбразом определяют все остальные члены (теорема Гамильтона — Кели). Таким образом; задача состоит в определении $n$ по данным $\left\{A_{i}\right\}$.

Как и следовало ожидать, подобных отработанных алгоритмов для нелинейных отображений вход — выход общего вида пока не существует, несмотря на попытки решения определенных классов задач с некоторой линейной или алгебраической структурой.

В отличие от наиболее общих задач идентификации (типа кот внешнего описания к внутреннему»), так называемые задачи идентификации параметров исследовались более интенсивно. Эти задачи обычно возникают, когда имеется твердая уверенность в правильности определения основной

Основные положения и перспективы разөития теории систем
внутренней структуры системы и невыясненными остаются только численные значения некоторых параметров.

Предположим, что динамика системы описывается дифференциальным (или разностным) уравнением
\[
\begin{aligned}
\dot{x} & =f(x, u, a), \\
y(t) & =h(x, a),
\end{aligned}
\]

где $a$-вектор неизвестных параметров, которые следует определить, основываясь на значении наблюдаемого выхода системы $y(t)$. В некоторых случаях входная функция $u(t)$ выбирается таким образом, чтобы усилить влияние неизвестных параметров. Подчеркнем, что в данной ситуации существенным является предположение, что функции $f$ и $h$, описывающие структуру системы, известны, хотя относительно их линейности никаких предположений не делается.

В качестве иллюстрации задач этого класса рассмотрим задачу о динамике численности некоторой биологической популяции, описание которой может быть получено с помощью следующих логистических уравнений:
\[
\frac{d x}{d t}=r x\left(1-\frac{x}{K}\right)-E x, \quad x(0)=x_{0} .
\]

Здесь $x(t)$ — численность популяции в момент времени $t, r$ удельная скорость ее роста в отсутствие лимитирования, $K$ — константа, характеризующая предельные трофические возможности среды обитания (уровень насыщения численности), и $E$ — коэффициент интенсивности изъятия особей из популяции. Предположим, что имеется возможность измерения численности популяции в каждый момент времени, т. е.
\[
y(t)=x(t),
\]

но численное значение параметра $K$ неизвестно. В этом случае задача идентификации параметров состоит в определении $K$ на основе измерения численности популяции:
\[
K=\frac{-r x^{2}}{\dot{x}+(E-r) x} \text { для всех } t>0 .
\]

Таким образом, для определения $K$ достаточно знать (наблюдать) $y(t)$ на любом интервале времени. Однако в более реальных ситуациях, когда имеется лишь конечное число значений $y(t)$, приходится использовать различные приближенные методы.

Обобщения этой задачи с учетом неопределенности в измерении $x(t)$, наличия различных видов в биологической популяции и т. д. представляют собой достаточно сложные в
математическом плане задачи. Более подробно эти вопросы өсвещаются в работах, перечисленных в конце главы ${ }^{1}$ ).

Задачи идентификации систем, описываемых с применением более общего аппарата, например потенциальных функций или теоретико-множественных отношений, пока еще слабо изучены. В отличие от внутреннего или внешнего описания на языке дифференциальных уравнений описания данHoro типа в гораздо большей степени зависят от того, как сам исследователь представляет себе существо изучаемого процесса. Поэтому в этом случае постановка и решение задачи идентификации — больше искусство, чем наука, и состоит в основном в выделении таких множеств и отношений («энергетических» функций), которые приводят к содержательным результатам. В связи с этим определенный интерес представляет систематизация процесса разумного выбора таких множеств и отношений (гл. 3).