Главная > БОЛЬШИЕ СИСТЕМЫ. СВЯЗНОСТЬ, СЛОЖНОСТЬ И КАТАСТРОФЫ (Дж. Касти)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Начальный этап построения математической модели данной системы состоит в идентификации существенных переменных и их взаимосвязей. В зависимости от конкретного типа выбранного математического описания идентификация может включать определение размерности пространства состояний, описание внутренней динамики системы и содержательных связей между множествами объектов, распределение вероятностей для случайных воздействий. Поскольку идентификация зависит от типа математического описания, которое в свою очередь зависит от того, насколько удачно проведена идентификация и т. д. и т. п., то процесс построения модели является итерационным: сначала выбирают математическое описание, которое затем модифицируют в зависимости от результатов идентификации, что приводит к новому описанию, и процесс повторнют.

Наиболее глубоко разработанной проблемой идентификации систем является задача построения внутреннего описания линейного отображения вход-выход с постоянными
жозффициентами. Для простоты изложения предположим, что данная система развивается в дискретном времени с наұальным состоянием $x_{0}=0$, соответствующим начальному моменту времени $t_{0}=0$. Можно показать, что вход $u(t)$ и выход $y(t)$ системы связаны следующим соотношением:
\[
y(t)=\sum_{t>\tau \geqslant 0} A_{t-\tau} u(\tau),
\]

где все матрицы $\left\{A_{i}\right\}$ имеют размер $p \times m$. Тогда описание типа вход-выход системы $\Sigma$ определяется (возможно, бесконечной) последовательностью матриц $\left\{A_{1}, A_{2}, \ldots\right\}$.

Если внутреннее описание системы $\Sigma$, заданное соотношениями
\[
\begin{array}{c}
x(t+1)=F x(t)+G u(t), \\
y(t)=H x(t),
\end{array}
\]

согласуется с приведенным выше внешиим описанием, то связь между матрицами $F, G, H$ и $\left\{A_{j}\right\}$ имеет вид
\[
A_{t}=H F^{t-1} G, \quad t=1,2, \ldots
\]

Задача реализации для линейных динамических систем состоит в отыскании $n \times n, n \times m$ и $p \times n$-матриц $F, G$ и $H$ соответственно, удовлетворяющих соотношению (2.1) и таких, что размерность внутреннего пространства состояний $n$ минимальна. Иными словами, задача состоит в построении по возможности более компактной модели, согласующейся с наблюдаемыми данными.

К счастью, существуют хорошие алгоритмы решения задачи реализации, если справедливо следующее предположение: последовательность $\left\{A_{i}\right\}$ обладает конечномерной реализацией. Если $\left\{A_{i}\right\}$ обладает реализацией размерности $n<\infty$, то первые $2 n$ членов последовательности $\left\{A_{i}\right\}$ единственным өбразом определяют все остальные члены (теорема Гамильтона – Кели). Таким образом; задача состоит в определении $n$ по данным $\left\{A_{i}\right\}$.

Как и следовало ожидать, подобных отработанных алгоритмов для нелинейных отображений вход – выход общего вида пока не существует, несмотря на попытки решения определенных классов задач с некоторой линейной или алгебраической структурой.

В отличие от наиболее общих задач идентификации (типа кот внешнего описания к внутреннему»), так называемые задачи идентификации параметров исследовались более интенсивно. Эти задачи обычно возникают, когда имеется твердая уверенность в правильности определения основной

Основные положения и перспективы разөития теории систем
внутренней структуры системы и невыясненными остаются только численные значения некоторых параметров.

Предположим, что динамика системы описывается дифференциальным (или разностным) уравнением
\[
\begin{aligned}
\dot{x} & =f(x, u, a), \\
y(t) & =h(x, a),
\end{aligned}
\]

где $a$-вектор неизвестных параметров, которые следует определить, основываясь на значении наблюдаемого выхода системы $y(t)$. В некоторых случаях входная функция $u(t)$ выбирается таким образом, чтобы усилить влияние неизвестных параметров. Подчеркнем, что в данной ситуации существенным является предположение, что функции $f$ и $h$, описывающие структуру системы, известны, хотя относительно их линейности никаких предположений не делается.

В качестве иллюстрации задач этого класса рассмотрим задачу о динамике численности некоторой биологической популяции, описание которой может быть получено с помощью следующих логистических уравнений:
\[
\frac{d x}{d t}=r x\left(1-\frac{x}{K}\right)-E x, \quad x(0)=x_{0} .
\]

Здесь $x(t)$ – численность популяции в момент времени $t, r$ удельная скорость ее роста в отсутствие лимитирования, $K$ – константа, характеризующая предельные трофические возможности среды обитания (уровень насыщения численности), и $E$ – коэффициент интенсивности изъятия особей из популяции. Предположим, что имеется возможность измерения численности популяции в каждый момент времени, т. е.
\[
y(t)=x(t),
\]

но численное значение параметра $K$ неизвестно. В этом случае задача идентификации параметров состоит в определении $K$ на основе измерения численности популяции:
\[
K=\frac{-r x^{2}}{\dot{x}+(E-r) x} \text { для всех } t>0 .
\]

Таким образом, для определения $K$ достаточно знать (наблюдать) $y(t)$ на любом интервале времени. Однако в более реальных ситуациях, когда имеется лишь конечное число значений $y(t)$, приходится использовать различные приближенные методы.

Обобщения этой задачи с учетом неопределенности в измерении $x(t)$, наличия различных видов в биологической популяции и т. д. представляют собой достаточно сложные в
математическом плане задачи. Более подробно эти вопросы өсвещаются в работах, перечисленных в конце главы ${ }^{1}$ ).

Задачи идентификации систем, описываемых с применением более общего аппарата, например потенциальных функций или теоретико-множественных отношений, пока еще слабо изучены. В отличие от внутреннего или внешнего описания на языке дифференциальных уравнений описания данHoro типа в гораздо большей степени зависят от того, как сам исследователь представляет себе существо изучаемого процесса. Поэтому в этом случае постановка и решение задачи идентификации – больше искусство, чем наука, и состоит в основном в выделении таких множеств и отношений («энергетических» функций), которые приводят к содержательным результатам. В связи с этим определенный интерес представляет систематизация процесса разумного выбора таких множеств и отношений (гл. 3).

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru