Қак было показано, многие интересные системы можно успешно моделировать при помощи графов или, в более общем случае, путем использования симплициальных комплексов. Такое представление сложного процесса оказывается особенно удобным в тех случаях, когда мы не располагаем точными числовыми соотношениями между компонентами системы, необходимыми для внутреннего описания. Возникает вопрос, каким образом в эти рамки укладываются соображения об устойчивости.

Для того чтобы получить общее представление по этому вопросу, рассмотрим процесс, описываемый знаковым орграфом $G$. Здесь $\left\{u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{N}\right\}$ – вершины орграфа; предполагается, что каждой дуге $G$ приписан знак плюс или минус, указывающий соответственно на положительную или отрицательную связь между вершинами графа, соединяемыми данной дугой. Знаковый орграф такого типа может быть использован для описания спроса на электроэнергию (рис. 5.3). Например, рост населения приводит к увеличению потребления энергии, поэтому дуге, соединяющей вершины, соответствующие населению и потреблению энергии, приписан знак плюс. Увеличение потребления энергии вызывает ухудшение
Рис. 5.3. Знаковый орграф спроса на электроэнергию.

состояния окружающей среды, что отражено знаком минус у соответствующей дуги, и т. д. Аналогичные графы оказались полезными при исследовании различных проблем, касающихся городского транспорта, людских ресурсов во флоте, медицинского обслуживания, загрязнения атмосферы, средств обслуживания прибрежной зоны отдыха.

Заметим, что циклы знакового орграфа соответствуют контурам обратной связи: циклы, характеризующие усиление тенденции к отклонению от данного состояния, отвечают контурам положительной обратной связи, а циклы, характеризующие подавление этой тенденции, отвечают контурам отрицательной обратной связи. Например, цикл

принадлежит ко второму из указанных типоз, поскольку повышение стоимости энергии снижает ее потребление, что в свою очередь улучшает состояние окружающей среды, приводящее в результате к росту населения, которое потребляет больше энергии, что тем самым приводит к снижению ее стоимости. В общем случае можно сформулировать следующее правило.

Цикл является контуром положительной обратной связи, если он содержит четное число дуг со знаком минус. В противном случае он является контуром отрицательной обратной связи.

Знаковый орграф служит мощным средством исследования многих проблем. Однако он включает ряд упрощений, наиболее важное из которых состоит в пренебрежении тем обстоятельством, что одни переменные оказывают друг на друга более сильное влияние, чем другие. Иными словами, нам необходимо не только приписывать каждой дуге знак плюс или минус, но и каким-то образом указывать интенсивность связи. Таким образом, приходим к понятию взвешенного орграфа как к частному случаю взвешенной связи, введенной при изучении симплициальных комплексов. Дальнейшее обобщение достигается в случае, когда каждой вершине графа приписывается численное значение и вводится интенсивность связи между двумя вершинами $u_{i}$ и $u_{j}$ как функция $f\left(u_{i}, u_{j}\right)$. Если теперь допустить, что численное значение, приписываемое каждой вершине, является переменным во времени, то приходим к понятию процесса распространения возмущения по графу $G$.

Обозначим значение в вершине $u_{i}$ в момент времени $t$ через $v_{i}(t), i=1,2, \ldots, N ; t=0,1, \ldots$. Предположим, что значение $v_{l}(t+1)$ зависит от $v_{i}(t)$ и от вершин, смежных с $u_{i}$. Таким образом, если вершина $u_{i}$ смежна с $u_{i}$ и если $p_{j}(t)$ представляет изменение в $u_{i}$ в момент времени $t$, то следует принять, что влияние этого изменения на $u_{i}$ в момент $t+1$ будет описываться функцией $\pm p_{j}(t)$ в зависимости от знака дуги, соединяющей $u_{i}$ и $u_{j}$. В более общем случае для взвешенного орграфа имеем следующее правило:
\[
v_{l}(t+1)=v_{i}(t)+\sum_{j=1}^{N} f\left(u_{j}, u_{i}\right) p_{i}(t),
\]

где через $f\left(u_{i}, u_{j}\right)$ обозначена весовая функция связи между вершинами $u_{i}$ и $u_{j}$. Процесс распространения возмущения по орграфу $G$ определяется правилом (5.4) наряду с вектором начальных значений в вершинах $v(0)$ и вектором внешних возмущений $p(0)$ в каждой вершине в момент времени $t=0$. Практический интерес представляют так называемые простые процессы распространения возмущений, для которых $p(0)$ имеет лишь один ненулевой вход.

В связи с процессами распространения возмущений возникает много интересных вопросов. Однако в данной главе в основном исследуется устойчивость по значению и по возмущению системы по мере ее эволюции. Точнее, будем говорить, что вершина $u_{i}$ устойчива по значению, если последовательность $\left\{\left|v_{j}(t)\right|: t=0,1, \ldots\right\}$ ограничена. Аналогичным образом, назовем вершину $u_{i}$ устойчивой по возмушению, если ограничена последовательность $\left\{\left|p_{j}(t)\right|: t=0,1, \ldots\right\}$. Взвешенный орграф устойчив по возмущению (по значению), если каждая его вершина обладает этим свойством.

Нетрудно заметить, что имеет место явная аналогия между только что введенными понятиями устойчивости и представлениями об устойчивости типа жограниченный входограниченный выход», которые рассматривались для систем, заданных внешним описанием, несмотря на принципиальное и существенное различие в методах описания системы в каждом из этих случаев. В заключение данного раздела следует

отметить, что на примере простого графа видно, что устойчивость по возмущению не означает наличия устойчивости по значению, хотя обратное справедливо.