Вероятно, первая мысль, которая приходит в голову при рассмотрении вопроса о сущности понятия сложность, – это сџитать систему сложной, если ее компоненты (подсистемы) связаны между собой запутанным, трудным для непосредственного восприятия образом. Такая ситуация представляет собой типичный пример структурной сложности. В этом случае мы имеем дело только со структурой коммуникационных каналов и схемой взаимодействия компонент подсистемы, пренебрегая при этом динамическими или вычислительными аспектами. Однако даже и здесь необходимо принять во внимание еще несколько других аспектов связности структуры, в том числе иерархическую структуру, схему связности, многообразие компонент, силу взаимодействия. Рассмотрим эти вопросы более подробно.

Иерархия
Некоторые специалисты считают, что единственным определяющим фактором при решении вопроса о сложности системы является ее иерархическая организация. Вероятно, подобное утверждение связано с тем, что высокая степень сложности системы требует и высокой скорости обмена информацией между различными лицами, принимающими решения, и наоборот, необходимость иерархической структуры вытекает из требований, предъявляемых к обработке данных и контролю за выполнением решений в таких системах. Если считать эти утверждения верными, то число уровней иерархии в системе может служить приблизительной мерой ее сложности.

В качестве примера, иллюстрирующего этот «принцип иерархии», рассмотрим классическую задачу о часовщиках.

Два часовых дел мастера Хронос и Темпус собирают часы одинаковой конструкции, включающей 1000 деталей. Однако каждый из мастеров предпочитает свой собственный метод сборки. Темпус собирает часы последовательно, при этом, если он не собрал часы полностью и делает перерыв, то собранная конструкция распадается на части и он должен начинать все сначала. Хронос делит всю конструкцию на 10 частей и каждую такую часть еще на 10 частей. Таким образом, 10 маленьких частей при сборке дают одну большую часть, а 10 больших частей после сборки образуют часы. Поэтому, если Хронос вынужден прервать сборку часов, то он теряет только ту часть, над которой работает в данное время.

Предположим, что вероятность прерывания работы любого из них равна $p$. Можно показать, что вероятность того, что Темпус успешно окончит сборку часов, равна $(1-p)^{1000}$. Для выполнения этой работы Хронос должен собрать все 110 частей, и вероятность того, что он прервется при сборке любой из них, равна $(1-p)^{10}$. Прямые вычисления при $p=0,01$ показывают, что в среднем Темпус должен потратить на сборку одних часов в 20000 раз больше времени, чем Хронос.

Этот пример иллюстрирует следующее основное свойство иерархической системы: несмотря на наличие ошибок в локальных пунктах принятия решений, иерархическая система в целом может функционировать нормально. Поскольку для любой большой системы характерны временные задержки, шум, неопределенность, неудивительно, что иерархическая структура возникла в результате необходимости управления большой системой.

Схема связности
Важным аспектом сложности является способ, которым подсистемы объединяются в единое целое. Как было показано в гл. 3, структура связности системы определяет потоки передачи информации в структуре и ограничивает воздействия, которые может оказать одна часть системы на другую. Это и есть те системные свойства, которые должны входить в любое интуитивное понятие сложности.

Используя топологические идеи, изложенные в гл. 3, рассмотрим меру сложности, которая учитывает различные $q$-цепи системы и их взаимодействия. Такая мера будет отражать геометрический, или размерностный, аспект сложности. Вместе с тем можно также исследовать связность и сложность с алгебраической точки зрения, взяв за исходное внешнее описание системы. Например, если имеется система, заданная с помощью линейного дифференциального уравнения
\[
\dot{x}=F x, \quad x(0)=c,
\]

где $F$ является квадратной матрицей размера $n \times n$, то заполненность матрицы $F$ (ее структура связности) в определенной мере отражает сложность процесса. Между прочим, данный пример показывает, что большая размерность и высокая сложность системы могут быть слабо коррелированы. Размерность $n$ системы может быть очень большой, однако если $F$ имеет простую структуру (например, диагональная или разреженная), то уравнение (4.1) представляет систему малой сложности в том смысле, что ее поведение легко предсказать и понять. Сложность системы, описываемой уравнением (4.1), может быть охарактеризована тщательным исследованием схемы взаимодействия подсистем (схемы связности), а не ее размерностью.

Многообразие
Полуфилософский «принцип необходимости многообразия», согласно которому многообразие выходных сигналов системы может быть достигнуто только с помощью достаточного многообразия входных воздействий, также, по-видимому, имеет непосредственное отношение к сложности системы,

Будем отождествлять сложность системы с ее способностью реализовывать многие различные типы поведения оператора входа – выхода. Можно было бы назвать такую способность сложностью управления, так как этот аспект сложности отражает меру способности системы преобразовывать многообразие входных сигналов в многообразие выходных. Чтобы проиллюстрировать этот подход, рассмотрим проблему управления системой $\Sigma$, которая подвергается воздействию внешних помех.

Предположим, что имеются три вида помех $1,2,3$, а лицо, принимающее решение, может осуществлять три вида управления $\alpha, \beta, \gamma$. В зависимости от получаемой комбинации помехи – управление поведение системы разбивается на три категории $a, b, c$. Все эти возможности отражены в следующей матрице:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline & & & 8net & \\
\hline & & $\alpha$ & $\beta$ & $\gamma$ \\
\hline \begin{tabular}{l}
Tür \\
noмехиr
\end{tabular} & 1 & $b$ & $a$ & $c$ \\
\hline & \begin{tabular}{l}
2 \\
3
\end{tabular} & $a$ & \begin{tabular}{l}
$c$ \\
$b$
\end{tabular} & $b$ \\
\hline
\end{tabular}

В этом случае как множество управлений $\{\alpha, \beta, \gamma\}$, так и множество помех $\{1,2,3\}$ состоят из трех различных элементов и, как следует из таблицы, лицо, принимающее решение, может направить систему в любое желаемое состояние выхода независимо от внешних помех. Некоторый общий кибернетический принцип гласит, что
Общее многообразие $\geqslant \frac{\text { Многообразие возмущений }}{\text { Многообразие управлений }}$

Смысл этого довольно расплывчатого утверждения таков: если необходимо, чтобы система реализовала заданный вид поведения вне зависимости от внешних помех, то подавить многообразие в ее поведении можно, только увеличив множества управлений. Или как гласит принцип необходимого многообразия Эшби: многообразие может быть разрушено только многообразием. Такое утверждение является в некотором смысле кибернетическим аналогом второго закона термодинамики, и оно тесно связано с теорией информации по Шенону.
Уровни взаимодействия
Наконец, последний аспект понятия структурной сложности – это относительная сила взаимодействия между различными компонентами системы и уровнями иерархии.

В ряде случаев слабые взаимодействия, вообще говоря, повышают сложность системы. Однако практически этими взаимодействиями часто можно пренебречь и таким образом получить менее сложную модель системы.
Например, системе
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=x_{1}, \quad x_{1}(0)=1, \\
\dot{x}_{2}=\quad x_{2}, \quad x_{2}(0)=1 \text {, } \\
\dot{x}_{3}=\quad x_{3}, \quad x_{3}(0)=1 \\
\end{array}
\]

логично приписать сложность 1 , так как каждый жордановский блок матрицы коэффициентов имеет размер 1. Близкой к ней системе
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=x_{1}, \\
\dot{x}_{2}=x_{2}, \\
\dot{x}_{3}=\varepsilon x_{2}+x_{3},
\end{array}
\]
(здесь $\varepsilon$ – параметр) можно было бы приписать сложность 2 , так как матрица коэффициентов
\[
\boldsymbol{F}=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & \varepsilon & 1
\end{array}\right]
\]

имеет наибольший жордановский блок размера 2 для любого $\varepsilon
eq 0$. Однако решение, полученное для второй системы,
\[
x_{1}=x_{2}=e^{t}, \quad x_{3}=e^{t}+\varepsilon^{t} e^{t},
\]

показывает, что для достаточно малых $\varepsilon$ ее поведение сколь угодно близко к поведению первой, поэтому и ее сложность практически можно считать также равной единице. При этом, конечно, нужно учитывать ограничения на $\varepsilon$, вытекающие из конкретного применения данной системы.

Выводы

Вышеприведенные замечания подтверждают наше мнение, что система не может быть универсально сложной. Она может быть сложной в одних отношениях и несложной в других или может быть сложной, только если используется определенным образом. Короче говоря, структурная сложность является многогранным понятием, которое необходимо изучать с различных позиций в зависимости от целей анализа и целей самой системы.