Прежде чем дать математическое определение сложности системы, необходимо перечислить те основные свойства, которыми должна обладать любая ее мера, если она построена в соответствии с вышеприведенными понятиями о сложности. Қак и обычно, в аксиоматических подходах можно спорить относительно начального набора аксиом, однако, как только аксиомы приняты, далее можно получить вид конкретной меры, дающей определенное понимание проблемы сложности.

Так как основные аспекты системного анализа, которые должны быть отражены в любой мере сложности, – это иерархичность, связность, динамическое поведение, то и аксиомы, которые мы будем конструировать, должны учитывать эти структурные компоненты системы. Обозначив $\theta(\Sigma)$ произвольную вещественную меру сложности, определенную для системы $\Sigma$, введем следующие аксиомы.

Аксиомы сложности
1. Иерархия. Если $\Sigma_{0}$ подсистема $\Sigma$, то
\[
\theta\left(\Sigma_{0}\right) \leqslant \theta(\Sigma)
\]
т. е. подсистема не может быть более сложной, чем система в целом.
2. Параллельное соединение. Если $\Sigma=\Sigma_{1} \oplus \Sigma_{2} \oplus \ldots \oplus \Sigma_{k}$, т. е. $\Sigma$ является параллельным соединением систем $\left\{\Sigma_{i}\right\}$, то
\[
\theta(\Sigma)=\max _{1 \leqslant i \leqslant k} \theta\left(\Sigma_{i}\right) .
\]
3. Последовательное соединение. Если $\Sigma=\Sigma_{1} \otimes \Sigma_{2} \otimes \ldots$ $\ldots \otimes \Sigma_{k}$, т. е. $\Sigma$ является последовательным соединением подсистем $\left\{\Sigma_{i}\right\}$, то
\[
\theta(\Sigma) \leqslant \theta\left(\Sigma_{1}\right)+\theta\left(\Sigma_{2}\right)+\ldots+\theta\left(\Sigma_{k}\right) .
\]
4. Соединение с обратной связью. Если присутствует операция обратной связи из системы $\Sigma_{2}$ в систему $\Sigma_{1}$, то
\[
\theta\left(\Sigma_{1} \oplus \Sigma_{2}\right) \leqslant \theta\left(\Sigma_{1}\right)+\theta\left(\Sigma_{2}\right)+\theta\left(\Sigma_{2} \Theta \Sigma_{1}\right) .
\]
(Заметим, что аксиома 3 является частным случаем аксиомы 4, если отсутствуют обратные связи.)

5. Нормализация. В классе систем, удовлетворяющем этим аксиомам, выделено подмножество систем $\mathscr{P}$, для которых
\[
\theta(\Sigma)=0 \text { для всех } \Sigma \in \mathscr{P} .
\]

Этих аксиом оказывается вполне достаточно для определения меры сложности систем, задаваемых различными способами; в некоторых случаях они однозначно определяют меру сложности.

Заметим, что эти более или менее стандартные декомпозиционные аксиомы учитывают изложенные выше представления о сложности. Поскольку любая система может быть представлена в виде последовательно-параллельно или каскадно (иерархически) соединенных подсистем (возможно, с обратной связью), то аксиомы 2-4 поясняют структуру связности таких декомпозиций. Иерархические аспекты отражены в аксиоме 1 , в то время как динамические аспекты – в аксиоме 5. Таким образом, приведенные аксиомы сложности кажутся довольно разумными по крайней мере потому, что не упущен ни один важный аспект сложности.

При изучении процессов с конечным числом состояний, эти аксиомы являются наименьшим множеством, задающим меру сложности однозначно. Это еще раз подтверждает естественность выбранных аксиом. Наконец, аксиомы очень удобны для различных алгебраических подходов к анализу и вычислению сложности.

Теория сложности для топологических форм также представляет значительный интерес, хотя, к сожалению, до сих пор не ясно, как задавать топологию форм с помощью алгебраического аппарата. Поэтому необходимо либо найти такие процедуры, либо ввести новую меру топологической сложности. В последнем случае, для того чтобы успешно выполнить задачу, необходимо модифицировать вышеприведенные аксиомы.