Группе цепей $C$. с коэффициентами из $J$ можно сопоста’вить двойственное понятие, а именно группу отображений из $C$. в $J$. Это позволяет ввести понятия коцепи, двойственное понятию цепи. Любая коцепь представляет собой гомоморфизм из $C$. в $J$ :
\[
c^{p}: C_{p} \rightarrow J .
\]

Точнее потребуем выполнения аддитивности, а именно:
\[
c^{p}\left(c_{p}+c_{p}^{\prime}\right)=c^{p}\left(c_{p}\right)+c^{p}\left(c_{p}^{\prime}\right),
\]

где $c^{p}$ обозначает $p$-коцепь. Благодаря этому можно строить пюбую $p$-коцепь $c^{p}$, исходя из множества отображений p-симплексов в $J$. В связи с этим целесообразно ввести поняthe косимплекса. Косимплексом называют отображение
\[
\sigma^{p}:\left\{\sigma_{p}^{i}\right\} \rightarrow J .
\]

Если в $K$ входит в точности $h_{p} p$-симплексов, можно определить базис косимплексов как множество отображений $\left\{\sigma_{i}^{\text {p }}\right.$ : $\left.: i=1,2, \ldots, h_{p}\right\}$, где
\[
\sigma_{i}^{p}\left(\sigma_{p}^{j}\right)=\left\{\begin{array}{ll}
0, & i
eq j, \\
1, & i=j .
\end{array}\right.
\]

Это позволяет любой косимплекс $\sigma^{p}$ записать в виде суммы косимплексов $\sigma_{i}^{p}$, т. е.
\[
\sigma^{p}=\sum_{i} \sigma_{i}^{p}
\]

а любую $p$-коцепь представить в виде линейной комбинации
\[
c^{p}=\sum_{i} m_{i} \sigma_{i}^{p} .
\]

Нулевая коцепь (для любого $p$ ) – это коцепь, у которой все $m_{i}=0$. Таким образом, множество всех $p$-коцепей образует аддитивную группу коцепей $C^{p}$. Взяв прямую сумму
\[
C^{*}=C^{0} \oplus C^{1} \oplus \ldots \oplus C^{n},
\]

получим градуированную группу коцепей, где $n=\operatorname{dim} K$.
Для завершения двойственных рассмотрений определим кограничный оператор $\delta$, сопряженный граничному оператору $\partial$. Будем обозначать $c^{p}\left(c_{p}\right)$ также с помощью внутреннего произведения ( $c_{p}, c^{p}$ ). Определим $\delta: C^{p} \rightarrow C^{p+1}$ при помощи равенства
\[
\left(\partial c_{p+1}, c^{p}\right)=\left(c_{p+1}, \delta c^{p}\right) .
\]

Ясно, что оператор $\delta$ также будет нильпотентным ( $\delta^{2}=0$ ), так как
\[
\begin{aligned}
0 & =\left(0, c^{p}\right)=\left(\partial^{2} c_{p+2}, c^{p}\right)= \\
& =\left(\partial c_{p+2}, \delta c^{p}\right)= \\
& =\left(c_{p+2}, \delta^{2} c^{p}\right) \quad \text { для любого } c_{p+2},
\end{aligned}
\]

и, следовательно, $\delta^{2} c^{p}$ может быть только тривиальным отображением.

Теперь можно определить когомологическую группу $H^{p}(K ; J)$, задаваемую равенством
\[
H^{p}=Z^{p} / B^{p}=\operatorname{ker} \delta / \mathrm{im} \delta .
\]