Наши системно-теоретические построения «покоятся» на трех китах: связность, сложность и устойчивость. Важность первых двух для понимания структуры системы была продемонстрирована нами достаточно наглядно. Что же касается устойчивости (или динамического поведения системы), то она практически еще не рассматривалась. Этот пробел можно восполнить, используя разнообразные понятия теории устойчивости.

К сожалению, термин устойчивость в высшей степени многозначен в литературе по системному анализу, будучи в постоянном употреблении для обозначения чего угодно, начиная с классической устойчивости по Ляпунову и кончая организационной жесткостью. Для всех возможных употреблений этого термина единственным общим моментом является интуитивное понимание того, что слово устойчивый обозначает, что нечто (может быть, система) способно реагировать на изменения в окружающей среде (например, возмушения, случайные помехи) и по-прежнему сохранять приблизительно то же самое поведение на протяжении определенного (возможно, бесконечного) периода времени. Совершенно ясно, что со столь нечетким и туманным «определением» устойчивости всякие попытки математического анализа устойчивости заведомо безнадежны. Тем не менее такое «определение» создает некоторую интуитивную основу для более точных определений.

Для большей ясности изложения удобно ввести две категории понятия устойчивости. Первую из них назовем классической и будем использовать ее для обозначения задач исследования результатов внешних воздействий на фиксиро. ванные системы, т. е. таких задач, когда изменяется только окружающая среда, но не сама система. В качестве простого примера подобной ситуации рассмотрим классический маятник (рис. 2.11).

Задача формулируется следующим образом: если сместить маятник из положения равновесия ( $\theta=0$ ) на некоторый угол, то может ли маятник вновь вернуться в положение
$\theta=0$ за достаточно долгое, возможно бесконечное, время? Қак из физических, так и из математических соображений очевидно, что так оно и будет для всех возмущений $\theta
eq 180^{\circ}$. Таким образом, $\theta=0$ является положением устойчивого равновесия (по Ляпунову). Положение $\theta=180^{\circ}$ есть положение неустойчивого равновесия, поскольку сколь угодно малое отклонение от него в конце концов приведет систему в положение устойчивого равновесия $\theta=0$. Важно отметить, что величина начального смещения не влияет на динамику системы. Таким образом, налицо классическая ситуация, когда изменяется не структура системы, а лишь внешняя среда.

Классическая теория устойчивости в основном изучает равновесные состояния систем и динамику их поведения в малой окрестности этих состояний. Для исследования таких задач были разработаны весьма совершенные методы (гл. 5).

Подобные классические представления об устойчивости оказываются весьма пло-
Рис. 2.11. Математический маятник дотворными в физических и технических приложения. Что касается их применения к анализу систем, изучаемых биологией, экономикой и общественными науками, то оно должно быть тщательно продумано и обосновано. Дело в том, что обычный режим функционирования подобных систем, как правило, далек от равновесного и, кроме того, внешние воздействия постоянно изменяют само равновесное состояние. Короче говоря, постоянные времени таких систем настолько велики, что во многих случаях ценность классического анализа устойчивости практически незаметна.

В отличие от классического равновесного подхода, центральным элементом современных взглядов на вопросы устойчивости является понятие структурной устойчивости. Здесь основной задачей является выявление качественных изменений в траектории движения при изменениях структуры самой системы. Таким образом, здесь изучается поведение данной системы по отношению к поведению всех «близких» к ней аналогичных систем. Если рассматриваемая система ведет себя «почти так же», как и «соседние», то говорят, что она структурно устойчива; в противном случае структурно неустойчива. Для уточнения этого понятия необходимо четко определить, что такое «близкая» система, каков класс допустимых возмущений и что значит схожесть поведения. Тем не менее основная идея остается прозрачной, цостаточно малые изменения структурно устойчивой системы должны приводить к соответственно малым изменениям в динамике ее поведения.

Пример. Простой гармонический осциллятор без трения
Динамика такой структурно-неустойчивой системы описывается уравнениями
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}+c_{1} \dot{x}+c_{2} x=0, \\
x(0)=a, \quad \dot{x}(0)=0 .
\end{array}
\]

Нас будет интересовать влияние параметров $c_{1}$ и $c_{2}$ на траекторию системы, причем из физических соображений ограничимся только случаями $c_{1} \geqslant 0, c_{2}>0$.
Рис. 2.12. Траектории осциллятора без трения.
Рассматривая траекторию осциллятора на фазовой плоскости $(x, \dot{x})$, легко видеть, что если $c_{1}=0$, то все траектории являются концентрическими окружностями с радиусами $a \sqrt{c_{2}}$ и центром в начале координат (рис. 2.12). Если «ввести» в систему трение, то математически это означает, что $c_{1}>0$. Если $c_{1}^{2}>4 c_{2}$, то точка равновесия $x=\dot{x}=0$ на плоскости ( $x, \dot{x}$ ) есть $y з е л$ (рис. $2.13, a$ ), в противном случае это фокус (рис. 2.13, б).

В обоих случаях начало координат является положением устойчивого равновесия по отношению к возмущениям в $c_{1}$ или $c_{2}$. Эта ситуация резко контрастирует со случаем системы без трения ( $\left.c_{1}=0\right)$, когда начало координат есть центр и качествениая картина поведения изменяется при сколь угодно малых изменениях $c_{1}$. Таким образом, при $c_{1} eq 0$ система структурно устойчива в том смысле, что качественный характер положения равновесия (узел, фокус) сохраняется при малых изменениях структуры системы.
Рис. 2.13. Фазовый портрет траекторий системы на плоскости.
Поскольку идеи структурной устойчивости тесно связаны поведением траекторий системы по мере приближения к ее состоянию равновесия, представляет интерес рассмотреть те
Рис. 2.14. Область притяжения фиксированной точки в $R^{2}$.

области пространства состояний, которые соответствуют областям притяжения и отталкивания для данного состояния равновесия.

Иными словами; пусть задано равновесное состояние $x^{*}$, для простоты считающееся фиксированным. Из каких начальных состояний система в конце концов (при $t \rightarrow \infty$ ) придет в состояние $x^{*}$ ? (Графически подобная ситуация изображена на рис. 2.14). Если допустить, что равновесные состояния могут быть предельными циклами или периодическими траекториями, то даже в двумерном случае картина может быть довольно сложной. В случае более высокой размерности картина еще более запутана. Тем не менее вопрос об описании областей устойчивости и родственные вопросы, связанные со структурной устойчивостью, изучены достаточно глубоко.

Пример более сложной структурно неустойчивой системы. Антисимметричная система хщщник – жертва

Предположим, что $m$ видов взаимодействуют с популяцией $i$-го вида, численность которой $N_{i}(t)$. Пусть $a_{i}$ – коэффициент рождаемости $i$-го вида, а $\alpha_{i j}$ – коэффициент, характеризующий скорость уничтожения $i$-го вида $j$-м видом. Тогда динамика системы описывается уравнением Лотка – Вольтерра:
\[
\frac{d N_{i}(t)}{d t}=N_{i}(t)\left[a_{i}-\sum_{j=1}^{m} \alpha_{i j} N_{j}(t)\right] .
\]

Нетривиальные равновесные популяции должны удовлетворять линейной системе алгебраических уравнений
\[
\sum_{j=1}^{m} \alpha_{i j} N_{j}^{*}=a_{i} .
\]

При неочевидном предположении, что матрица $A=\left[\alpha_{i j}\right]$ является антисимметрической, т. е. $\alpha_{i j}=-\alpha_{i i}$, можно показать, что при смещении системы из любого равновесного состояния ее поведение будет чисто колебательным, поскольку собственные значения любой кососимметрической матрицы чисто мнимые. (Следует отметить, что данное предположение означает, что коэффициент биохимического преобразования одного грамма жертвы $j$-го вида одинаков для всех хищников $i$-го вида, т. е. этот коэффициент не зависит от вида поедаемых особей.) Можно показать, что величина
\[
Q=\sum_{i=1}^{m}\left[N_{i}(t)-N_{i}^{*} \log N_{i}(t)\right]
\]

постоянна вдоль любой траектории системы.
Этот закон сохранения есть следствие колебательного характера поведения системы и является аналогом закона сохранения механической энергии простого гармонического осциллятора, рассмотренного выше. Однако, как только кососимметричность матрицы $A$ нарушается, состояния равновесия системы становятся узлами или фокусами (устойчивыми
или неустойчивыми). В этом случае введение в систему сколь угодно малых изменений нарушает качественный характер траекторий, поэтому данная система структурно неустойчива. Более того, антисимметрические модели приме нимы только к системам с четным числом видов, поскольку из антисимметричности следует, что собственные значения матрицы $A$ есть комплексно сопряженные числа. Если $m$ нечетно, то действительное собственное значение матрицы $A$ должно быть равным нулю, что приводит к вырожденности матрицы взаимодействий. Таким образом, данная система является структурно неустойчивой и в смысле вариации ее размерности.