Калману, благодаря усилиям которого теория систем перестала быть таинством и стала математической дисциплиной

Связность, сложность, катастрофа – эти слова прочно вошли в лексикон современной теории систем. На первый взгляд эти термины удачно охватывают основные особенности процессов, пронизывающих все стороны современной жизни. Часто мы сталкиваемся с выражениями типа «сильно связная система», «большая, сложная система», «катастрофический исход» и т. д.! Однако при более внимательном рассмотрении эти три понятия напоминают скорее улыбку Чеширского кота, чем сколько-нибудь приемлемую характеристику свойств реальных систем: прежде всего необходимо научиться описывать определенные умозрительные представления, используя четко оговоренную терминологию. До тех пор, пока словам не будет придан определенный смысл в рамках некоторой математической модели какой-то конкретной проблемы, они могут означать все, что угодно. Подобное положение совершенно неприемлемо там, где приходится принимать ответственные решения, например, связанные с формированием политики или управлением.

В этой книге мы пытаемся дать в чем-то упрощенный обзор некоторых современных работ, посвященных математическому анализу понятий связности, сложности и катастрофы. В определенном смысле книгу можно рассматривать, как развернутое общее описание, поскольку мы в основном стремились коснуться множества различных подходов к описанию и анализу этих понятий, а не к глубокому изучению отдельных результатов. На наш взгляд, такая цель не лишена смысла, поскольку сейчас полностью отсутствует единое мнение относительно того, как следует подходить к изучению этих фундаментальных вопросов. Однако многие читатели, по-видимому, захотят глубже познакомиться с затрагиваемыми в книге вопросами. Для них мы приводим списки соответствующих публикаций в конце каждой из глав.

Итак, книгу можно рассматривать как взгляд «с высоты птичьего полета» на некоторые «вершины» теории систем, при котором мелким «деталям ландшафта» не уделяется особого внимания. Можно только надеяться, что при таком изложении основные идеи станут доступны более широкому кругу читателей. Для того чтобы наша надежда оправдалась, мы приводим множество примеров из самых различных областей, которые по крайней мере помогут читателю понять, что математические методы, доступные лишь посвященным, действительно оказываются полезными, а может быть, и убедят его, что эту книгу действительно стоило написать. Так или иначе, последнее слово за читателем.

Поскольку теория систем является бурно развивающейся областью науки, то совершенно очевидно, что в книге столь ограниченного объема просто невозможно охватить в равной мере все важнейшие результаты, полученные в области исследования связности, сложности структуры больших систем и катастроф в таких системах. На выборе тем и результатов не могли не сказаться интересы автора. Читатель, безусловно, заметит явный уклон в сторону методов, основанных на алгебраических и топологических идеях, а не на классическом анализе. Это не случайно: автор убежден, что будущее теории больших систем в методологическом плане определяется развитием тех областей алгебры и геометрии, которые изучают глобальные свойства математических объектов. Как только станет ясна общая картина, средства локального анализа уже смогут выявить «тонкие эффекты» изучаемого явления.

В общих чертах структура книги может быть представлена в виде следующей схемы:

Первые две главы посвящены описанию методологических основ моделирования систем. В частности; в гл. 1 подробно обсуждается одно из важнейших положений теории моделирования, а именно: принятое математическое описание системы предопределяет круг вопросов, которые можно исследовать в рамках данного описания. Кроме того, приводятся различные возможные варианты описания и обсуждаются их характерные свойства.

Во второй главе дается краткий обзор некоторых важных понятий теории систем, таких, как идентификация, стохастические подходы, ограничения и оптимизация. Следует заметить, что, хотя эти понятия не являются основными, они представляют собой неотъемлемые элементы анализа. Здесь же даются очень краткие вводные представления о связности, сложности и катастрофах как прелюдия к более подробному изучению этих понятий в последующих главах.

В гл. 3 рассматривается одна из основных тем книги связность. Довольно подробное изложение элементарной теории симплициальной гомологии приводится в качестве основы для описания методологии-анализа Эткина. Эта методика анализа структурной связности далее систематически применяется для исследования ряда различных задач. Вопросы связности обсуждаются также с точки зрения алгебраической теории модулей и конечных автоматов.

Лейтмотивом четвертой главы является сложность. Начиная с обсуждения различных свойств, которыми должно обладать разумное математическое определение сложности, мы приходим к аксиоматическому определению сложности, основанному на теории подгрупп. Это определение поясняется на ряде примеров и сравнивается с возможными определениями, построенными с привлечением теории информации и топологии.

Последняя, пятая глава посвящена подробному обсуждению различных математических аспектов теории устойчивости. После краткого описания таких классических понятий, как устойчивость по Ляпунову, более подробно анализируются идеи, непосредственно связанные с понятием структурной устойчивости. В частности, рассматриваются теория катастроф и ее связь с теорией бифуркаций. Наконец, несколько разделов посвящены кадаптируемости» динамических систем. Это понятие, введенное вначале для описания живучести экологических систем, по существу характеризует способность системы противостоять воздействию неизвестных внешних возмущений. Подробно обсуждаются различные подходы к математическому описанию этого понятия, и изложение иллюстрируется примером из экономики.

Совершенно ясно, что книгу, охватывающую столь широкий круг вопросов, невозможно было бы написать без помощи и поддержки многих лиц. Кроме того, автору еще и повезло в том смысле, что он имел возможность «обкатать» рукопись на ученых разных специальностей, пытаясь найти приемдемый компромисс между доступностью и строгостью изложения. В этой связи автор особенно признателен Э. Касти, С. Холлингу, Р. Деннису, Д. Людвигу, К. Мьюзесу, Дж. Лейтману, М. Шекану, Д. Саалу, Дж. Десу и М. Пешелю.
Нью-Иорк
пктябрь 1978