В предыдущих разделах неоднократно упоминалась проблема отклика системы на возмущения ее состояния или характеризующих эту систему параметров. Грубо говоря, «адаптируемость» динамического процесса представляет собой меру возможности системы сохранить неизменность основного хода динамического процесса при воздействии возмущений. Очевидно, что такое «определение» содержит слишком много неясностей, поэтому в дальнейшем мы попытаемся сформулировать понятие адаптируемость на соответствующем математическом языке.

Следует сразу отметить, что практически не существует единого мнения относительно того, как именно должна определяться мера адаптируемости. Несмотря на то что между понятием адаптируемость и понятиями структурная устойчивость, бифуркация, катастрофа, связная устойчивость и другими существует много общего, ни одно из них, по-видимому, не может дать исчерпывающего представления об адаптируемости, по крайней мере в том объеме, в котором оно используется исследователями в области экологии, где и возникло это представление, во всяком случае на терминологическом уровне. Поэтому мы вынуждены проводить наш анализ, используя собственные представления об адаптируемости, сформулированные на математическом языке, которые, однако, могут оказаться пригодными для объективного системного исследования.

Подобно понятию устойчивости, конкретная математическая формулировка понятия адаптируемости зависит от принятого математического описания системы. Bсе проведенные
до настоящего времени исследования в области адаптируемости основаны на описании системы с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы также будем придерживаться такого способа описания, поскольку другие способы описания систем (при помощи графов, соотношений на входе и выходе и т. п.) пока еще изучены недостаточно. В самом деле, как будет показано, исследования, связанные с представлением об адаптируемости, все еще находятся на уровне исходных определений даже в рамках моделей, характеризуемых дифференциальными уравнениями, и до сих пор нет реальных математических результатов. Можно только надеяться, что надлежащим образом сформулированные определения приведут к полезным для практики теоремам.

Начнем с анализа системы $\Sigma$, описываемой дифференциальными уравнениями
\[
\dot{x}=f(x, a)+g(t), \quad x(0)=x_{0},
\]

и предположим, что в отсутствие действия внешних возмущений началом координат является точка равновесия, т. е. $f(0, a) \equiv 0$ для всех $a$ при $g(t) \equiv 0$. Здесь $a$ – вектор параметров системы. В свете вышеизложенного центральное место в представлении об адаптируемости занимают следующие вопросы:
a) при каких условиях функция $g(t)$, характеризующая возмущения, может привести к тому, чтобы система, положение которой описывается функцией $x(t)$, покинула область притяжения $D$ начала координат;
б) какие изменения параметров $a$ приведут к такому искажению границы $\partial D$ области $D$, чтобы положение системы оказалось сдвинутым в область аттрактора, отличного от аттрактора в начале координат.

Казалось бы, можно попытаться ответить на первый вопрос путем введения степени адаптируемости системы как меры наибольшего приближения $x(t)$ к $\partial D$ в течение временной эволюции процесса (в предположении, что $g(t)) \equiv 0$, $a=a^{*}$ при всех $t \geqslant 0$ ). Однако такое решение встречает возражения, которые носят скорее практический, нежели математический характер и заключаются в том, что минимальное расстояние $x(t)$ от $\partial D$ является довольно слабым показателем того, насколько интенсивными могут быть возмущения, поглощаемые системой $\Sigma$, прежде чем она будет выведена из области $D$. Последнее связано с тем, что возмущение, необходимое для выведения системы $\Sigma$ из области $D$, зависит не только от величины возмущения, но и от его направленности. Геометрически такая ситуация представлена на рис. 5.12. Здесь область $D$ может быть интерпретирована как потенциальная «яма» (подобно тому, как это делается при формулировке основных представлений теории Ляпунова). На рис. 5.12 , а область $D$ представляет собой «мелкую яму». В соответствии с этим даже в тех случаях когда $x(t)$ всегда остается вдали от $\partial D$, оказывается сравнительно легко сместить систему за границу $\partial D$. Вместе с тем если область $D$ имеет форму типа показанной на рис. $5.12,6$, то даже в тех случаях, когда $x(t)$ всегда лежит вблизи $\partial D$, необходимо существенное по величине возмущение, чтобы система $\Sigma$ «перевалила через край ямы» в область притяжения другого положения равновесия.
Рис. 5.12. Потенциальная яма для системы $\Sigma$.
Сказанное выше свидетельствует о том, что адаптируемость не является внутренним свойством системы $\Sigma$, а определяется характеристиками системы $\Sigma$ и классом допустимых возмущений. В качестве простейшей иллюстрации этого факта отметим, что если минимальное расстояние $x(t)$ до $\partial D$ равно $\alpha$ и $\|g(t)\|<\alpha$ при всех $t$, то система $\Sigma$ будет «поглощать» все возможные возмущения, т. е. $\Sigma$ будет обладать бесконечной адаптируемостью по отношению к возмущениям такого класса. Напротив, если максимальное расстояние $x(t)$ до $\partial D$ равно $\beta$ и $\|g(t)\|>\beta$ при всех $t$, то та же система $\Sigma$ не сможет поглотить любое возмущение, т. е. $\Sigma$ будет полностью неадаптируемой по отношению к данному классу возмущений. Таким образом, в отсутствие по крайней мере явного соглашения относительно класса допустимых возмущений понятие адаптируемости остается бессодержательным.

Мы уже убедились в том, что при определении меры адаптируемости необходимо принимать во внимание и величину, и направление возмущающей силы $g(t)$. Рассмотрим следующий подход к решению задачи. В каждый момент времени $t$ построим вектор, направленный от $x(t)$ к точке на $\partial D$, ближайшей к $x(t)$ (рис. 5.13). Вектор $v(t)$ строится по известному вектору $x(t)$, определяемому, быть может, путем численного интегрирования, и вектору $d(t)$, который известен, поскольку по предположению граница $\partial D$ уже рассчитана. Таким образом, $v(t)=d(t)-x(t)$. Предположим, что функция $g(t)$ соответствует возмущению в виде «импульса» в момент $t=s$, т. е. $g(t)=\mu \delta(t-s)$, где $\mu$ – вектор, указывающий величину и направление импульса. Тогда можно попытаться путем сравнения векторов $\mu$ и $v(t)$ определить, будет ли система выведена за пределы $\partial D$. Как отмечалось,
Рис. 5.13. Поведение системы $\Sigma$.

ответ на этот вопрос зависит от того, имеет ли вектор $\mu$ достаточную величину и надлежащее направление стем, чтобы вывести $x(t)$ за границу $\partial D$. Отметим, что в данном случае можно не учитывать функцию $f(x)$, поскольку мы предположили, что $g(t)$ с точностью до множителя представляет собой $\delta$-функцию.

Введем функцию $m$, характеризующую результат сравнения векторов $\mu$ и $v(t)$ по величине
\[
m(t)=\|\mu\|-\|v(t)\|,
\]

и функцию $\theta$, характеризующую результат сравнения этих векторов по направлению,
\[
\cos \theta(t)=\frac{(\mu, v(t))}{\|\mu\| v(t) \|},
\]

где (,) означает скалярное произведение векторов, $\|\cdot\|$ евклидову норму. При этом оказывается, что адаптируемость системы $\Sigma$ в момент времени $t$ можно характеризовать следующим полуколичественным соотношением:
низкая адаптируемость при $m(t) \geqslant 0$ и $\cos \theta(t) \approx 1$,
высокая адаптируемость при $m(t)<0$ и $\cos \theta(t)<0$.
Другими словами, система $\Sigma$ адаптируема по отношению к импульсному возмущению $\mu$ в момент времени $t$, если величина $\mu$ очень мала или если возмущение $\mu$ стремится увести $x(t)$ от границы $\partial D$. Если же вектор $\mu$ по величине больше $v(t)$ и стремится подвести $x(t)$ к границе $\partial D$, то можно говорить о низкой адаптируемости системы $\Sigma$.

Приведенный выше анализ дает возможность заложить основу систематического математического изучения вопроса об адаптируемости системы, связанной с внешними возмущениями состояния $x(t)$. В рамках такого подхода нетрудно рассмотреть и случаи непрерывно действующих возмущений или комбинаций импульсов. Для этого достаточно применить стандартную математическую процедуру, аналогичную применяемой в теории вероятностей при переходе от дискретных к непрерывным или смешанным функциям распределения. Разумеется, при анализе таких случаев для установления степени адаптируемости системы $\Sigma$ по отношению к данному классу возмущений необходимо принимать во внимание также и свободную динамику системы $f(x)$.