Рассмотрим задачу нахождения такого закона управления с обратной связью, что независимо от значений вектора параметров $a$ нелинейная система
\[
\dot{x}=f(x, u, a), \quad x(0)=c
\]

не имеет точек бифуркации; Другими словами, требуется найти закон управления
\[
u(t)=u(x(t)),
\]

такой, что динамика замкнутого контура
\[
\dot{x}=f(x, u(x), a)
\]

не имеет точек бифуркации ни при каком значении $a$.
В общем случае эта проблема не решена, поэтому сосредоточим внимание на достаточных условиях существования таких «свободных от бифуркации» законов управления. Эти условия обычно являются почти тривиальными следствиями следующего варианта общей теоремы о неявной функции. Общая теорема о неявной функции. Пусть
\[
\text { f: } E^{n} \times E^{m} \times E^{k} \rightarrow E^{n}
\]
– непрерывно дифференцируемое отображение. Тогда существует единственное непрерывно дифференцируемое отображение
\[
g: E^{n} \times E^{m} \times E^{k} \rightarrow E^{n},
\]

такое, что $g(y, u, a)=x$ для всех $x, y \in E^{n}, u \in E^{m}, a \in E^{k}$, удовлетворяющих $f(x, u, a)=y$, если выполняются условия:
1) $\operatorname{det}[\partial f / \partial x]
eq 0 \quad \partial л я$ любого $(x, u, a) \in E^{n} \times E^{m} \times E^{k}$,
2) для любых $u \in E^{m}, a \in E^{k}$
\[
\|f(x, u, a)\| \rightarrow \infty \quad n p u \quad\|x\| \rightarrow \infty .
\]

По существу; теорема о неявной функции дает достаточные условия, при выполнении которых уравнение
\[
f(x, u, a)=y
\]

имеет единственное решение для ( $x, u, a, y$ ) во всей области $E^{n} \times E^{m}+E^{k} \times E^{n}$. А именно, если матрица Якоби функции $f$ не вырождена в интересующей нас области и $f$ удовлетворяет условиям роста (2), то f глобально обратима.

Чтобы применить общую теорему о неявной функции к проблеме управления бифуркацией, достаточно заметить, что по предположению $f$ имеет в начале координат точку равновесия. Кроме того, если существует закон управления $u(x)$, такой, что [ $\partial f / \partial x]$ не вырождена во всей области $(x, u, a)$ и $f(x, u(x), a)$ удовлетворяет условиям роста (2) для всех $a$, то это означает, что у функции нет других точек равновесия и, следовательно, нет точек бифуркацни. Иными словами, такой закон управления $u(x)$ гарантирует, что никакие возмущения, a не могут привести к бифуркации точки равновесия в начале координат и дать качественно другой тип поведения. Приведенный анализ, несмотря на свою простоту, может быть положен в основу успешного применения техники линеаризации к управлению проектирования системы.

Более сложная проблема – проектирование таких регуляторов, которые не дают характеристическим корням линеаризованной системы пересекать мнимую ось. Однако для канонических моделей катастроф эта проблема легко разрешима, так как поведение подобных моделей хорошо изучено, например поведение канонической модели сборки
\[
\dot{x}=-\left(x^{3}+\alpha_{1} x+\alpha_{2}\right) .
\]

Закон обратной отрицательной связи для переменной управления $\alpha_{2}$ имеет вид
\[
\alpha_{2}=-\left(K_{1} x+K_{0}\right),
\]

где $K_{1}, K_{2}$ – постоянные. Такой закон обратной связи приводит к замене $\alpha_{1} \rightarrow \alpha_{1}-K_{1}$. Выбирая $K_{1}$ так, чтобы иметь $\alpha_{1}>0$, можно добиться отсутствия резких «скачков» из области одного аттрактора в область другого аттрактора. Однако в случае неканонических моделей, когда используются физические переменные, а не канонические координаты, управляющие параметры часто являются нелинейными функциями физических переменных, и поэтому закон обратной связи для $x$ вызывает изменение более чем одного параметра канонической модели. В таких ситуациях построение свободных от бифуркации законов управления является более сложной задачей, хотя в этом случае может быть использован наш общий метод.