Для анализа устойчивости лучше всего рассмотреть внешнее описание системы с обратной связью
\[
\begin{array}{l}
e_{1}=u_{1}-H e_{2}, \\
e_{2}=u_{2}+G e_{1},
\end{array}
\]

где величины $e_{1}, e_{2}, u_{1}$ и $u_{2}$ принадлежат некоторому расширенному функциональному пространству $\tilde{X}$, а операторы $H$ и $G$ отображают $\varnothing$ в себя.

Систему (5.1), (5.2) можно представить как систему с обратной связью,

в которой оператор $G$ является подсистемой в прямом направлении, $H$-подсистемой обратной связи, а величины $u_{1}, u_{2}$ и $e_{1}, e_{2}$ – соответственно значения на входе и отклонения. Можно считать, что значения на выходе системы представлены величинами $G e_{1}$ и $H e_{2}$.

Исследование уравнений (5.1) и (5.2) в случае заданных $u_{1}, u_{2}$ и некоторого множества $U \subseteq \mathscr{X}$ дает нам ответы на два основных вопроса:

Имеет ли система (5.1), (5.2) единственное решение в $\mathscr{X}$ для $e_{1}$ и $e_{2}$ из $\widetilde{X}$ ?

Если система (5.1), (5.2) имеет какие-либо решения в $\mathscr{X}$ для $e_{1}$ и $e_{2}$ из $\tilde{X}$, то будут ли они действительно принадлежать пространству $U$ ?

Первый вопрос по существу относится к проблеме существования и единственности, а второй – устойчивости. Вообще говоря, для изучения этих вопросов применяются различные аналитические методы, но в основном методы функционального анализа.

В качестве примера проблемы устойчивости рассмотрим случай, когда $\tilde{X}=U=L_{\infty}[0, \infty]$, т. е. случай существенно ограниченных функций на полупрямой. Это так называемая проблема устойчивости системы типа «черный ящик» с ограниченным входом и ограниченным выходом, представляющая очевидный интерес для практики. В дальнейшем выразим результаты исследования этой проблемы в виде зависимости от свойств операторов $G$ и $H$ (последние могут быть нелинейными).