Рассмотрим некоторые возможности $q$-анализа на примерах анализа игры в шахматы и комедии Шекспира «Сон в летнюю ночь». Эти примеры отражают нетрадиционное направление использования системного анализа и свидетельствуют о том, что почти любой аспект человеческой деятельности при искусном применении математического аппарата порождает нетривиальные математические проблемы.

Шахматы
Утверждение, что игра в шахматы – это отношение (определенного типа) между игровыми фигурами и клетками доски, является почти тавтологическим. Поэтому выбор множеств $X$ и $Y$, необходимых для применения $q$-анализа к исследованию связности рассматриваемой структуры, в этом случае совершенно очевиден, а именно:
\[
X=\{\text { игровые фигуры }\}, \quad Y=\{\text { клетки доски }\}
\]

Разобьем множество $X$ на два подмножества: $X_{w}$, состоя- иее из белых фигур, и $X_{B}$, состоящее из черных фигур. На первый взгляд кажется многообещающим следующее отно, tнение между $X$ и $Y:\left(x_{i}, y_{i}\right) \in \lambda$ тогда и только тогда, когда фигура $x_{i}$ занимает клетку доски $y_{j}$. Однако выводы, полуизенные из исследования этого отношения, не дают скольконибудь глубокого понимания структурных аспектов шахматпой позиции.
– Оказывается (гл. 1), что продуктивное отношение между фигурами и клетками доски задается понятием фигура, атакующая клетку. Поскольку множество $X$ было разбито на белые и черные фигуры, то существует два отношения $\lambda_{w}$ и $\lambda_{B}$, порождаемые правилами игры для белых и черных фигур соответственно.

Правила, приведенные в гл. 1, задают отношения $\lambda_{w}$ и $\lambda_{B}$, характеризующие сложившуюся на доске позицию (клетки рассматриваются как вершины комплекса, а фигуры – как его симплексы). По-видимому, для описания позиции, полученной в некоторый момент игры, необходимы также и сопряженные отношения $\lambda_{w}^{*}, \lambda_{B}^{*}$.

Вышеприведенные идеи имеют важное значение для ана\”лиза позиций и автоматизации игры в шахматы. Это направление исследований очень интенсивно развивается в разных странах, и заинтересованный читатель может обратиться к литературе, приведенной в конце главы. Отметим только, что если сравнить максимальную размерность фигур, понимаемых как симплексы, порождаемые отношениями $\lambda_{w}$ и $\lambda_{B}$, с классическими значениями силы фигур, то получим табл. 3.1.
таблица 3.1
Сравнение значений шахматных фигур
Из таблицы видно, что относительные разности между симплициальными значениями достаточно хорошо соответствуют относительной силе фигур, полученной эмпирически. Единственное существенное расхождение дают конь и слон.

Симплициальные значения предполагают, что слон несколько сильнее. Это объясняется тем, что все симплициальные значения вычислялись в «более выгодном для слона» предположении, т. е. когда на доске нет других препятствующих фигур, и, следовательно, мы получили максимально возможные значения. Вообще же каждому шахматисту хорошо известно, что сила шахматной фигуры зависит от конкретной позиции.

Иерархические понятия, введенные выше, соответствуют определенным шахматным понятиям, и такие известные шахматные термины, как сильное поле и слабое поле, захват центра и открытая вертикаль, могут быть интерпретированы на языке множеств, покрытий и размерности.
«Сон в летнюю ночь»
Выбор комедии Шекспира был обусловлен исключительно желанием продемонстрировать возможности применения $q$-анализа в такой сфере человеческой деятельности, для которой нетрадиционно использование методологии системного анализа.

Начнем с идентификации соответствующих множеств и отношений. Для этого довольно произвольно разделим пьесу на три множества:
$A$ – пьеса, акты, сцены, мизансцены.
$B$ – действующие лица.
$C$ – комментарий, пьеса, сюжет, явление, реплики.
Определим элементы этих множеств и их различные иерархические уровни следующим образом:
Множество А
$\quad$Уровень $N+2 \quad$ Пьеса
$\quad$$\quad$$N+1 \quad$ Акты $\left\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\right)$
$\quad$$\quad$$N \quad$ Сцены $\left\{s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{9}\right\}$
$\quad$$\quad$$N-1 \quad$ Мизансцены $\left\{s b_{1}, s b_{2}, \ldots, s b_{26}\right\}$
$\quad$$\quad$$\quad$(элементы и уровни получены исходя из физической
$\quad$$\quad$$\quad$композиции пьесы, т. е. появления и ухода дейст-
$\quad$$\quad$$\quad$вующих лиц)
$\quad$$\quad$Действующие лица $\left\{c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{21}\right\}$ (Тезей, Иппо-
$\quad$$\quad$лита, Эгей и др.)
Множество С
$\quad$Уровень $N+3$ Комментарий (реплика, даваемая Пэком в конце
$\quad$$\quad$пьесы. Она адресована прямо к зрителю и поэтому
$\quad$$\quad$лежит вне непосредственного действия пьесы)
$\quad$$\quad$Пьеса
$\quad$$\quad$Сюжетные линии $\left\{P_{1}, P_{2}, P_{3}\right\}$

\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline & $P_{1}:$ & \begin{tabular}{l}
царство Тезея, занятое подготовкой к бра- \\
косочетанию Тезея и Ипполиты; репетиция \\
и исполнение пьесы Основой и его друзь- \\
ям; разрешение Тезеем эатруднения Гермии \\
и ее двух поклонников
\end{tabular} \\
\hline & $P_{2}:$ & \begin{tabular}{l}
царство фей и эльфов, ссора между Обе- \\
роном и Титанией, трюк Оберона и его \\
последствия для Титании и Основы \\
мир влюбленных, основной конфликт Гер- \\
мании. Деметрия и Лизандра; вмешатель- \\
ство О берона и Пэка и последствия такого \\
вмешательства
\end{tabular} \\
\hline \multirow[t]{8}{*}{ Уровень $N$} & \begin{tabular}{l}
Явлен $^{P S_{1}:}$
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
ния $\left\{P S_{1}, \ldots, P S_{8}\right\}$ \\
роль Тезея в жизни четырех влюбленных
\end{tabular} \\
\hline & $P S_{2}$ & \begin{tabular}{l}
взаимоотношения между Тезеем и Ипполи- \\
той, церемония бракосочетания
\end{tabular} \\
\hline & $P S_{3}$ & \begin{tabular}{l}
репетиция и исполнение пьесы Основой \\
и его друзьями
\end{tabular} \\
\hline & $P S_{4}$ & \begin{tabular}{l}
царство эльфов и фей в целом: их песни \\
и волшебство
\end{tabular} \\
\hline & $P S_{5}:$ & \begin{tabular}{l}
взаимоотношение между Обероном и Тита- \\
нией
\end{tabular} \\
\hline & $P S_{6}:$ & \begin{tabular}{l}
трюк Оберона, примененный к Титании, \\
и его последствия для Основы и Титании
\end{tabular} \\
\hline & $P S_{7}:$ & основной конфликт четырех влюбленных \\
\hline & $P S_{8}$ & \begin{tabular}{l}
вмешательство Оберона и Пэка в жизнь \\
четырех влюбленных и последствия такого \\
вмешательства
\end{tabular} \\
\hline Уровень $N-1$ & & \begin{tabular}{l}
чки $\left\{S P_{1}, \ldots, S P_{104}\right\}$ (в пьесе 104 реплики, \\
lеляемые как слова, обращенные к зрителям \\
м действующим лицом и развивающие сю- \\
еще неизвестный зрителям)
\end{tabular} \\
\hline
\end{tabular}

Бинарные отношения, связывающие эти множества на различных уровнях иерархии, достаточно очевидны из определения самих множеств. Например, если $Y$ – сюжеты, $X$ действующие лица, то естественно определить $\lambda \subset Y \times X$ следуюним образом:
$\left(y_{i}, x_{j}\right) \in \lambda \Leftrightarrow$ Действующее лицо $x_{j}$ участвует в сюжете $y_{i}$.
Общая иерархическая структура приведена на рис. 3.6. Составляя по этим отношениям матрицы инциденций и проводя исследования с помощью $q$-анализа, можно получить некоторые интересные результаты.
– Множество $Y$ – сюжеты уровня $(N+1)$, множество $X$ действующие лица уровня $(N+1)$.

В комплексе $K_{Y}(X)$ все три сюжета становятся отдельными компонентами только на уровне связности $q=8$. Это означает, что сюжетные линии могут быть различимы только зрителями, следящими за девятью действующими лицами. Аналогично, при $q=6$ имеется всего две компоненты $\left\{P_{1}, P_{2}\right\}$, $\left\{P_{3}\right\}$. Следовательно, если зрители могут следовать только

Рис. 3.6. Связность структуры комедии Шекспира «Сон в летнюю ночь»,
за семью персонажами, то они видят пьесу, как бы состоящую из двух сюжетов, где $P_{1}$ и $P_{2}$ (царство Тезея и царство фей) объединены.

В сопряженном комплексе $K_{X}(Y)$ персонажи Гермия, Лизандр, Деметрий и Елена доминируют структуру при $q=2$. Следовательно, зрителям, смотревшим все три сюжета отдельно, пьеса представляется как пьеса о влюбленных.
$Y=$ Сюжеты уровня $(N+1), X=$ Сцены уровня $N$
В комплексе $K_{Y}(X)$ при $q=5$ имеется три компоненты. Следовательно, зрители, видевшие только шесть сцен, воспринимают три сюжета, не связанные друг с другом. Сюжеты $P_{1}$ и $P_{3}$ объединяются при $q=4$, и, следовательно, зрители видят эти два сюжета как один, если следят только за пятью сценами. Все три сюжета сливаются при $q=2$, т. е. когда зрители следят всего за тремя сценами. Этот результат отличается от результата вышепроведенного (для $q=6$ ) анализа сюжетов и персонажей, где объединялись сюжеты $P_{1}$ и $P_{2}$.

В комплексе $K_{x}(Y)$ хитрость Оберона, его примирение с Титанией, разрешение дилеммы влюбленных и сцена кульминации церемонии бракосочетания Тезея и Ипполиты доминируют структуру при $q=2$.
$Y=$ Явления уровня $N, X=$ Реплики уровня $N-1$
В .комплексе $K_{Y}(X)$ явление $P S_{8}$ доминирует структуру при $q=35, P S_{3}-$ при $q=26$ и $P S_{6}-$ при $q=10$. Следовательно, $P S_{8}$ будет, вероятно, полностью понята зрителями, если они прослушали 36 реплик, хотя для понимания $P S_{3}$ необходимо 27 реплик, а для $P S_{6}$ – только 11 реплик. Таким образом, $q$-анализ дает некоторое указание о сложности явления. Критическим значением является $q=5$, откуда следует, что все явления требуют для своего полного понимания зрителями минимум шесть реплик.

На критическом уровне $q=0$ комплекс $K_{X}(Y)$ имеет тривиальную структуру. Это значит, что каждая реплика имеет отношение лишь к одному явлению, что полностью соответствует вышеприведенному ее определению.