Проблема структурной устойчивости систем, размерность которых меньше или равна двум, уже обсуждалась. Из результатов, представленных в последних разделах, с очевидностью следует, что ряд основополагающих представлений об адаптируемости относится непосредственно к структурно устойчивым системам. Действительно, главным элементом в оценке степени адаптируемости является установление следующего факта: останется ли динамика системы «без существенных изменений» при наличии возмущений. Одной из возможностей получить ответ на этот вопрос является анализ устойчивости векторного поля. Такая возможность обусловлена тем, что исходную систему и систему, получающуюся в результате действия возмущений, можно рассматривать как совпадающие в качественном смысле, если они имеют сходные фазовые портреты. В данном разделе мы уточним представление о структурной устойчивости векторного поля, а также исследуем широкий класс.встречающихся на практике систем, динамика которых является структурно устойчнвой. Это так называемые системы Морса – Смейла. Представленные ниже результаты обеспечивают частичное обобщение теоремы о структурной устойчивости, приведенной в разделе о структурной устойчивости для диска, на случай $n$-мерных систем.

Прежде всего рассмотрим $n$-мерное $C^{\infty}$-многообразие, которое обозначим $M$ ( $M$ представляет собой топологическое пространство, которое в $U$-окрестности каждой точки $m$ У_{\text {стойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем }}$
является аналогом $R^{n}$ ). На $M$ можно надлежащим образом ввести операции дифференцирования (рис. 5.17), причем преобразование координат $\alpha: M \rightarrow R^{n}$ будет $C^{\infty}$. Простыми примерами многообразий служат $R^{n}$, сферы, торы и открытые подмножества $R^{n}$.
$C^{\mathrm{I}}$-векторное поле (или поле направлений -для дифференциального уравнения) на $M$ является результатом процедуры,
Рис. 5.17. Многообразие $M$ и локальная окрестность точки $m$.

согласно которой каждой точке $x \in M$ приписывается вектор $v(x)$ так, чтобы вектор-функции $v(x)$ были гладкими (в смысле $C^{1}$ ).

Понятие подобные фазовые портреты для двух векторных полей $v$ и w вводится следующим определением.

Определение 5.6
Два векторных поля называются топологически совместимыми, если существует взаимно-однозначное непрерывное отображение $h$, переводящее соответствующие полю $v$ направленные кривые в направленные кривые, соответствующие полю .

Таким образом, если векторные поля $v$ и $w$ топологически совместимы, они будут иметь одинаковое число точек равновесия, одинаковое число периодических замкнутых траекторий и сходное общее качественное поведение.

Теперь можно пояснить смысл близких векторных полей путем введения топологии в пространстве $V(M), C^{1}$-векторных полей на $M$. Будем называть поля $v$ и ш близкими, если они близки поточечно и таким же свойством обладают их первые производные. (Точные определения достаточно громоздки, поэтому за подробностями мы отсылаем читателя кссылкам, приведенным в конце главы.) Представление о близости векторных полей дает нам возможность ввести определение структурной устойчщвости.

Определение 5.7
Векторное поле $v \in V(M)$ является структурно устойчивым, если существует окрестность $N(v)$ в $V(M)$, такая, что каждый вектор $w \in N(v)$ топологически совместим с $v$.

Основная проблема структурной устойчивости модели заключается в том, чтобы установить необходимые и достаточные условия структурной устойчивости некоторого векторного поля.

Примеры. Простой гармонический осциллятор
Было показано, что элементарная система, какой является гармонический осциллятор, описывается уравнением
\[
\ddot{x}=-x
\]

и имеет фазовый портрет, состоящий из концентрических окружностей в фазовой плоскости $(x, \dot{x})$. Это векторное поле не будет структурно устойчивым, поскольку любое векторное поле, топологически совместимое с $v$, имеет только периодические замкнутые траектории, причем стрелки, показывающие направление $v$ (см. рис. $5.4)$, всегда можно слегка отклонить в сторону начала координат, чтобы получить близкое векторное поле с непериодическими траекториями.

Пример. Уравнение Ван дер Поля
В случае уравнения Ван дер Поля векторное поле $v$ определяется уравнениями $\dot{x}_{1}=x_{2}$,
$\dot{x}_{1}=-\varepsilon\left(x_{1}^{2}-1\right) x_{2}-x_{1}, \varepsilon>0$.
Эта система имеет одну периодическую замкнутую траекторию, причем каждая внешняя по отношению к ней траектория свертывается, приближаясь к замкнутой траектории, а каждая внутренняя развертывается по спирали, также приближаясь к замкнутой траектории (рис. 5.19). Следовательно, это уравнение структурно устойчиво при всех $\varepsilon>0$.

Наиболее важный класс структурно устойчивых векторных полей системы Морса – Смейла характеризуется следующими условиями:

поле $v(x)$ имеет конечное множество точек равновесия, т. е. точек $x$, таких, что $v(x)=0$, и каждая такая точка гиперболическая;

поле $v(x)$ имеет конечное множество замкнутых периодических траекторий и каждая из них является, гиперболической;

устойчивые и неустойчивые многообразия точек равновесия и замкнутых периодических траекторий, пересекаясь, встречаются трансверсально (это означает недопустимость касания между устойчивыми и неустойчивыми многообразиями);
Рис. 5.19. Фазовый портрет уравнения Ван дер Поля.
неподвижными точками системы $\Sigma$ являются точки равновесия вместе с точками периодических замкнутых траекторий. (Точка $x$ считается неподвижной, если в каждой открытой окрестности $U$ точки $x$ при любом $T>0$ существует $t>T$, такое, что $x(t) \in U$, если $x(0) \in U$. Другими словами, если любая кривая, описывающая решение системы $\Sigma$, начинается в $U$, она должна бесконечно часто возвращаться в $U$.)

В разделе о структурной устойчивости были даны необходимые и достаточные условия структурной устойчивости в случае, когда многообразие $M$ представляет собой двумерный диск. В действительности оказывается справедливым следующий, более сильный результат: если $\operatorname{dim} M=2$, то структурно устойчивые системы на $M$ совпадают с системами Mорса – Смейла. Если $\operatorname{dim} M>2$, \”то могут существовать другие структурно устойчивые на $M$ векторные поля, дополнительные к системам Морса – Смейла.

Представление об адаптируемости, рассмотренное в данной книге, очевидным образом связано с только что приведенными представлениями о структурной устойчивости, хотя и имеются следующие заметные расхождения.
1. Структурная устойчивость касается всего фазового портрета системы; адаптируемость обычно характеризуется асимптотическим поведением системы при $t>0$.
2. Возмущения, рассматриваемые при анализе адаптируемости, обычно не содержат вариаций векторного поля $v$ во всей окрестности $V(M)$. Обычно предполагается, что подмногообразие $P$ от $V(M)$ задано таким образом, что $\Sigma \in P$ и допустимые вариации $\Sigma$ будут также принадлежать $P$. Можно считать, что $P$ описывается конечной системой параметров, содержащихся в $\Sigma$, и мы меняем $\Sigma$ путем варьирования этих возмущений.
3. Представление о структурной устойчивости является слишком сильным требованием по отношению к адаптируемости, как это следует из указанных выше пп. 1 и 2. В то же время соответствующее представление об $\Omega$-устойчивости, согласно которому налагается требование тонологической совместимости только на неподвижные точки системы $\Sigma$, является слишком слабым. Последнее связано с тем, что $\Omega$-устойчивость ничего не говорит о структурных изменения границы области притяжения неподвижных точек.

Обсуждения, приведенные выше, дают возможность сформулировать вариант определения адаптируемой системы $\Sigma$.

Определение 5.8
Пусть непрерывная по времени система $\Sigma$ описывается дифференциальным уравнением $\dot{x}=f(x)$ и $P$-подмножество $C^{1}$-векторного поля на $M$, такое, что $f \in P$. Тогда система $\Sigma$ называется адаптируемой, если
1. Существует окрестность $U$ для $f$ в $C^{1}$-топологии, такая, что все системы $\Sigma^{\prime}$, определенные векторными полями $\hat{l}^{\prime} \in$ $\in \Pi \cap P$, имеют одинаковое (конечное) число аттракторов.
2. Для каждого аттрактора $A_{i}$ системы $\Sigma$ и каждой близкой к ней системы $\Sigma^{\prime}$ имеется конечное множество $a_{i}\left(\Sigma^{\prime}\right)$ аттракторов $\Sigma^{\prime}$ и отображения
\[
\Sigma^{\prime} \rightarrow U_{i} a_{i}\left(\Sigma^{\prime}\right)
\]

и
\[
\Sigma^{\prime} \rightarrow U_{i} \bar{B}_{i}\left(\Sigma^{\prime}\right)
\]

непрерывны с $C^{1}$-топологией на $U \cap P$ с хаусдорфовой метрикой на $A_{i}$ и $\bar{B}_{i}$. Здесь $\bar{B}_{i}$ – замыкание области притяжения для $A_{i}$.

Приведенное определение адаптируемости построено таким образом, что аттрактор $\Sigma$ может «расщепиться» на несколько близко расположенных аттракторов $\Sigma^{\prime}$ и не нарушить при этом адаптируемости системы. Такой подход вполне оправдан, поскольку подобное расщепление не должно существенным образом менять асимптотического поведения системы.

Пример. Система
\[
\dot{x}=\mu x-\varepsilon x^{3}, \quad \varepsilon>0,
\]

будет адаптируемой в указанном выше смысле по отношению к изменениям $\mu$ вблизи $\mu=0$, даже если устойчивая фиксированная точка при $\mu<0$ расщепится на одну неустойчивую и две устойчивые точки при $\mu=0$. Важно отметить, что эти две притягивающие точки остаются близкими.

Согласно данному выше определению, адаптируемость является качественным свойством системы: система $\Sigma$ будет либо адаптируемой, либо неадаптируемой по отношению к возмущениям, принадлежащим подмногообразию $P$. В зависимости от конкретной ситуации возникает несколько вариантов введения числовой характеристики, при помощи которой можно попытаться измерить степень адаптируемости $\Sigma$. Рассмотрим некоторые из них.

Минимальная адаптируемость. При таком подходе нас интересует диапазон возмущений, принадлежащих многообразию $P$, которые не вызывают качественных изменений в поведении системы $\Sigma$. По существу мы имеем дело с представлением об адаптируемости, обсуждавшимся в предыдущих разделах.

Одна из возможных математических формулировок ми: нимальной адаптируемости следует из предположения, что задана метрика $d(\cdot, \cdot)$, определенная на «многообразии параметров» $P$, и вводится
$S_{P}=\left\{\Sigma^{\prime} \in P: \Sigma^{\prime}\right.$ не адапітируема в смысле определения (5.8) $\}$.
Тогда минимальная адаптируемость может быть определена следующим образом:
\[
R_{\min }(\Sigma)=d\left(\Sigma, S_{P}\right) .
\]

Итак, $R_{\min }(\Sigma)$ представляет собой расстояніс от системы $\Sigma$ до бл’жайшей (в смысле $d$ ) неадаптируемой системы $\Sigma^{\prime}$ в $P$.

Адаптируемость по скорости. В качестве меры адаптируе. мости, более тесно связанной с анализом чувствительности, можно рассмотреть «скорость» изменения границ областей
притяжения при возмущении системы $\Sigma$ до $\Sigma$ ‘ внутри $P$. Очевидно, что высокая чувствительность границ области притяжения (границ «ямы») не отвечает интуитивному представлению об адаптируемости, даже если система структурно устойчива, т. е. удовлетворяет условию, более сильному, чем адаптируемость.

Мера адаптируемости по скорости вводится следующим образом:
\[
R_{s}(\Sigma)=\left\{\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \sup _{\Sigma^{\prime} \in P_{h}} \sup _{i}\left[d\left(A_{i}, A_{i}^{\prime}\right), d\left(\bar{B}_{i}, \bar{B}_{i}^{\prime}\right)\right]\right\}^{-1},
\]

где $P_{h}$ – шар радиуса $h$ в $P$ с центром в $\Sigma$, а величины $A$ и $B$ определены выше.

Отметим, что мера $R_{s}(\Sigma)$ может быть равна нулю даже в случае адаптируемой системы $\Sigma$, если положение аттракторов, или «ям», описывается недифференцируемой функцией параметров. Например, система (5.10) адаптируема, но для нее $R_{s}(\Sigma)=0$.

Aдаптируемость по объему. Размер области в пространстве состояний, соответствующей желательной области притяжения, также может служить в качестве меры адаптируемости, поскольку значительное уменьшение области притяжения приводит почтн к таким же серьезным последствиям, как и ее полное-исчезновение. Мера адаптируемости по объему вводится следующим образом:
\[
R_{v}(\Sigma)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \sup _{\Sigma^{\prime} \in P_{h}}\left|v(B)-v\left(B^{\prime}\right)\right|,
\]

где $B$-желательная область притяжения, $B^{\prime}$ – соответствующая область притяжения для $\Sigma^{\prime}$ и $v(\cdot)$ – функция, измеряющая объем.

Заметим, что к определению адаптируемости по объему следует подходить с осторожностью, поскольку для моделей высокой размерности ( $h>2$ ) области притяжения («ямы») часто имеют сложную структуру и могут иметь значительный объем, в то время как граница будет по-прежнему близкой к каждой точке области притяжения.

В заключение отметим, что по сравнению с теорией катастроф понятие адаптируемости является более широким, причем это расширение достигается, во-первых, благодаря учету аттракторов, которые имеют гораздо более сложную структуру, чем фиксированные точки, и, во-вторых, вследствие явного рассмотрения свойства областей притяжения. Перейдем теперь к анализу различных методов организации устойчивой или адаптируемой динамики системы, а также повышения степени ее устойчивости или адаптируемости.

Экологический пример адаптируемости
Приведенные выше рассуждения об адаптируемости и динамических процессах вряд ли можно сразу в полной мере оценить, поскольку они достаточно формальны. Қак обычно, наиболее интересными оказываются конкретные задачи. В качестве одной из них рассмотрим важную для практики задачу моделирования экологической системы, включающей популяцию гусениц листовертки. Листовертка является насекомымвредителем, периодически разрушающим леса на больших территориях северовосточной части Северной Америки. Динамика вспышек численности листовертки представляет интерес с точки зрения системного подхода, поскольку наблюдаемые при этом резкие колебания и множественные временные масштабы характерны для моделей теории катастроф. Ниже описывается применение катастрофы типа сборки для характеристики некоторых аспектов адаптируемости популяции листовертки.

Динамика роста и отмирания листовертки может быть представлена следующей системой уравнений третьего порядка:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d B}{d t}=\alpha_{1} B\left(1-\frac{B\left(\alpha_{3}+E^{2}\right)}{\alpha_{2} S E^{2}}\right)+\frac{\alpha_{4} B^{2}}{\alpha_{5} S^{2}+B^{2}} \\
\frac{d S}{d t}=\alpha_{6} S\left(1-\frac{\alpha_{7} S}{\alpha_{8} E}\right) \\
\frac{d E}{d t}=\alpha_{9} E\left(1-\frac{E}{\alpha_{7}}\right)-\alpha_{10} \frac{B E^{2}}{S\left(\alpha_{3}+E^{2}\right)},
\end{array}
\]

где $B(t)$ – плотность популяции листовертки, $S(t)$-количество доступной листвы в лесу и $E(t)$ – переменная, характерпзующая «энергетический резерв» леса, т. е. качественное состояние листьев и веток. Параметры от $\alpha_{1}$ до $\alpha_{2}$ включают различные константы рождаемости и смертности, скорость выедания листовертки хищниками и т. д. Искомая модель должна дать ответ на основной вопрос динамики численности: какая комбинация значений параметров вызывает резкий подъем плотности популяции листовертки с низкого равновесного уровня на высокий, или наоборот, при каких значениях параметров создается возможность снизить высокую плотность листовертки до низкого равновесного уровня.

Для ответа на поставленный вопрос рассмотрим равновесные уровни для $B, S$ и $E$. Обозначим их величины через $\bar{B}$, $\bar{S}$ и $\bar{E}$. После некоторых алгебраических преобразований приведенных выше уравнений получаем, что величина равновесного уровня плотности листовертки $\bar{B}$ удовлетворяет кубическому уравнению
\[
\begin{array}{l}
-\alpha_{1}\left(\alpha_{3}+\bar{E}^{2}\right) \bar{B}^{3}+\gamma \alpha_{1} \alpha_{2} \bar{E}^{3} \bar{B}^{2}- \\
-\left[\gamma^{2} \alpha_{1} \alpha_{5} \bar{E}^{2}\left(\alpha_{3}+\bar{E}^{2}\right)+\gamma \alpha_{2} \alpha_{4} \bar{E}^{3}\right] \bar{B}+\gamma \alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{5} \bar{E}^{5}=0
\end{array}
\]
(полагаем $\gamma=\alpha_{8} / \alpha_{7}$ ). Чтобы привести это уравнение к стандартному кубическому, необходимо исключить квадратный член. Это достигается путем замены зависимой перемеџной
\[
\bar{B} \rightarrow y+\frac{\gamma \alpha_{2} \bar{E}^{3}}{3\left(\alpha_{3}+\bar{E}^{2}\right)} .
\]

Получаем новое кубическое уравнение относительно $y$
\[
y^{3}+a y+b=0,
\]
\[
\begin{array}{l}
\text { ede } \\
a=\frac{\left[\gamma^{2} \alpha_{1} \alpha_{5} \bar{E}^{2}\left(\alpha_{3}+\bar{E}^{2}\right)+\gamma \alpha_{2} \alpha_{4} \bar{E}^{3}-\gamma^{2} \alpha_{1}^{2} \alpha_{2}^{2} \bar{E}^{\mathcal{G}}\right.}{\alpha\left(\alpha_{3}+\bar{E}^{2}\right)} ; \\
b=\frac{\left\{\frac{-\left(\frac{2}{27}\right) \gamma^{3} \alpha_{1} \alpha_{2}^{3} \bar{E}^{9-}}{\left(\alpha_{3}+\bar{E}^{2}\right)^{2}}+\gamma \alpha_{2} \bar{E}^{3} \frac{\left[\gamma^{2} \alpha_{1} \alpha_{5} \bar{E}^{2}\left(\alpha_{3}+\bar{E}^{2}\right)+\gamma \alpha_{2} \alpha_{4} \bar{E}^{3}\right]}{3\left(\alpha_{3}+\bar{E}^{2}\right)}-\gamma^{3} \alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{5} \bar{E}^{5}\right\}}{\alpha_{1}\left(\alpha_{3}+\bar{E}^{2}\right)} \\
\end{array}
\]

Поскольку равновесный уровень плотности листовертки $\bar{B}$ связан с переменной $y$ элементарными преобразованиями (см. выше), очевидно, что каноническая поверхность типа сборки, определяющая поведение $y$ как функции $a$ и $b$, определяет также изменение $\bar{B}$. Это дает нам возможность полностью представить поведение равновесного уровня $\bar{B}$. на одной схеме (рис. 5.20). Поверхность сборки показывает, что никакие разрывы $\bar{B}$ невозможны при $a \geqslant 0$, т. е. при
\[
3\left[\gamma \alpha_{1} \alpha_{5}\left(\alpha_{3} \bar{E}^{2}\right)^{2}+\alpha_{2} \alpha_{4} \bar{E}\left(\alpha_{3}+\bar{E}^{2}\right)\right]-5 \gamma \alpha_{1} \alpha_{2}^{2} \bar{E}^{4} \geqslant 0 .
\]

Например, при низком значении энергетического резерва леса $(\bar{E} \approx 0)$ вспышки численности листовертки не будут иметь места, так как приведенное выше выражение всегда будет неотрицательным. Напротив, при высоких значениях $\bar{E}(\bar{E} \approx 1)$ ни при каких комбинациях реальных значений параметров нельзя избежать возможных вспышек численности листовертки. Это, однако, не означает, что такая вспышка обязательно произойдет, поскольку для возможности пересечения критической ветви кривой сборки играет роль также величина переменной $b$.

Отметим важность приведенного выше примера, так как он позволяет нам убедиться, что при описании разрывов в развитии популяции листовертки решающее значение имеет комбинация параметров системы $a$ и $b$. Представляется маловероятным, чтобы какие-либо дополнительные исследования или интуитивные представления относительно динамики численности листовертки могли подтвердить, что исчерпывающая информация обеспечивается только данной комбинацией параметров. Однако в нашем случае дело обстоит именно так. Заметим также, что, после того как параметры $a$ и $b$

Рис. 5.20. Катастрофа типа сборки для модели развития популяции листовертки.

найдены, хорошо изученные свойства поверхности типа сборки дают возможность установить, что критические ветви в пространстве $a-b$, где могут возникнуть разрывы, удовлетворяют уравнению
\[
4 a^{3}+27 b^{2}=0 \text {. }
\]

Таким образом, получаем конкретное алгебраическое соотношение, содержащее, хотя и в довольно сложной форме, все параметры системы. Оно дает нам полную картину изменения численности популяции листовертки в равновесном состоянии в завнсимости от параметров системы.

Приведенный выше пример позволяет заключить, что параметры, имеющие физический смысл, и переменные, удобные для математического описания, как правило, совершенно различны. Прнчем успех исследования конкретной проблемы часто определяется возможностью нахождения соответствующего перехода от физических параметров к математическим переменным. В рассмотренном примере успех был достигнут благодаря тому, что величина $\bar{B}$ уже удовлетворяла кубическому уравнению, поэтому для получения удобной формы математического описания потребовался лишь тривиальный переход от $\bar{B}$ к $y$. В более общих случаях могут оказаться необходимыми несколько более сложные преобразования. В этом заключается одна из трудностей на пути к успешному применению теории катастроф в системном анализе.