Главная особенность классичесқих понятий устойчивости состоит в том, что они относятся к конкретной системе и поведению ее траекторий в окрестности точки равновесия (притяжения или отталкивания). Совершенно другого подхода требует анализ поведения свмейства траекторий, возникающих при рассмотрении всех систем, «близких» к стандартной системе (5.3). Будем называть систему (5.3) структурно устойчивой, если топологический характер траекторий всех близких к ней систем такой же, как у системы (5.3). Простой пример структурной устойчивости — гармонический осциллятор с затуханием — был рассмотрен в гл. 2.

Определенные математические трудности связаны с уточнением понятия «близкая система», а также с конкретизацией смысла, который подразумевается, когда говорят о том, что траектория эквивалентна или топологически подобна другой траектории.

К концепции структурной устойчивости близка теория бифуркаций, а также ее современная популярная разновидность — теория катастроф. При анализе бифуркаций обычно предполагается, что динамика системы зависит от нескольких параметров, т. е. $f=f(x,t,a)$, где $a$-вектор параметров, и исследуется характер положений равновесия при изменении параметров. Например, система
$$\begin{array}{l}\dot{r}=r(a-r^2),\\ \dot{\theta }=1,\end{array}$$

где $x_1^2+x_2^2=r^2,\theta =\mathrm{arctg}{x}_2/x_1$, имеет одно положение равновесия $r=0$ при $a<0$. Оно соответствует устойчивому фокусу (рис. 5.2). Однако при $a>0$ положение равновесия становится неустойчивым фокусом и возникает новое положение равновесия $r=\sqrt{a}$. Последнее представляет собой устойчивый предельный цикл, радиус которого растет как $\sqrt{a}$. Точка $a=0$ является тақ называемой точкой бифуркации Xопфа. (Отметим рождение центра из устойчивого фокуса, когда параметр а проходит через критическое значение $a=0$.)

${У}_{\text{стойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем }}$
Теория катастроф рассматривает вопрос об условиях, при которых изменение параметров системы вызывает перемещение данной точки в фазовом пространстве из области притяжения к заданному положению равновесия в область притяжения к другому положению равновесия. Простейшим является случай, когда все лоложения равновесия системы представляют собой фиксированные точки, которые можно
Рис. 5.2. Точка биффуркации Хопфа.

получить при помощи потенциальной функции. Это так называемая элементарная теория. Более сложные положения равновесия типа периодических замкнутых траекторий или аттракторов Лоренца требуют проведения исследований, выходящих за рамки данной книги. «Катастрофы» возникают при таких значениях параметра, которые приводят к сдвигу системы из области одного аттрактора в область другого аттрактора. Подробнее рассмотрим эти вопросы в одном из следующих разделов, где уточним также характер связи между теорией катастроф, анализом бифуркаций и структурной устойчивостью.