Структурная связность системы является, по-видимому, наиболее существенной ее качественной характеристикой. Кажется очевидным, что с исчезновением структурной связности исчезнет и сама система, поскольку само понятие системы подразумевает наличие «чего-то», находящегося в некотором отношении (или как-то связанного) с «чем-то»:

Анализ задачи построения математического описания связности может быть осуществлен с помощью различных подходов, причем наиболее удачные из них построены на использовании теории графов и алгебраической (комбинаторной) топологии. Это является вполне закономерным, поскольку вопрос o характере связности «простейших элементов» единого целого интересует алгебру в гораздо большей степени, чем любую другую математическую дисциплину.

Сущность исследования связности состоит в том, чтобы осознать и уяснить себе те математические конструкции, ко-
Рис. 2.5. Теоретико-графовое описание.

торые описывают характер связи между отдельными компонентами системы $\Sigma$. Если вообразить некоторую систему, в которой можно выделить $n$ различных компонент (подсистем), то можно попытаться изобразить структуру (связную) $\Sigma$ графом (рис. 2.5): $n$ вершин изображают $n$ подсистем системы $\Sigma$, а дуга, соединяющая подсистемы $i$ и $j$, показывает, что эти две подсистемы находятся в некотором отношении или как-то связаны между собой. Например, $j$-я подсистема может генерировать входы для $i$-й подсистемы, а $i$-я управлять $j$-й и т. д. Эту схему, естественно, можно развить; так, например, можно ввести ориентацию на дугах и образовать ориентированный граф (орграф). Такое представление системы $\Sigma$ позволит изучать ситуации, когда $i$-я подсистема влияет на $j$-ю, но не наоборот. Кроме того, можно учесть силу связности, сопоставив каждой направленной дуге некоторое число и т. д. Все это в конечном счете позволяет определить, какие компоненты системы $\Sigma$ влияют на другие компоненты и в какой степени. По существу, теоретико-графовые модели позволяют несколько лучше понять, как можно было бы осуществить декомпозицию системы $\Sigma$ на меньшие составляющие без потери тех основных свойств, в силу которых она и является системой.

Пример. Трофические структуры и экологические ниши
Рассмотрим экологическую систему, состоящую из пяти видов: птиц, насекомых, трав, антилоп и лис (рис. 2.6). Трофическая структура этого сообщества изображается орграфом, вершины которого соответствуют видам. Дуга, проведенная от $i$-го вида к $j$-му, означает, что $j$-й вид является
Рис. 2.6. Орграф простой системы.

жертвой $i$-го вида. По данному графу можно построить матрицу смежности

аналогичную матрице инциденций в теоретико-множественном описании, а также ряд других показателей, характеризующих важные аспекты системы.

Отметим, что некоторые из компонент (например, травы) кажутся более важными для системы в целом, чем другие (например, птицы), и, по-видимому, это связано с такими экологическими понятиями, как трофический уровень и борьба видов. Важно подчеркнуть, что теоретико-графовое опи, сание позволяет непосредственно увидеть некоторые геометрические свойства матрицы смежности.

Қак бы ни были важны и удобны теоретико-графовые методы для зрительного анализа связности, их использование неизбежно связано с трудностями геометрического и аналитического характера, если учитывается структура самих компонент. Из общих соображений можно ожидать, чть при попытке описать многомерную структуру планарным
графом или, более общо, графом, изображенным на плоскости (это не одно и то же!), многое из геометрической структуры системы будет утеряно или в лучшем случае скрыто. По этой причине обратимся к другому возможному способу анализа связности, основанному на топологических идеях.