Изложенные выше соображения относительно устойчивости представляют несомненный интерес, однако их рассмотрение отводит исследователю роль пассивного наблюдателя, поскольку не предусматривается возможности изменения нежелательного поведения системы путем выбора внешних условий на входе или управляющих воздействий. В принципе допущение возможности выбора внешних управляющих воздействий на модель системы означает переход исследователя с позиций пассивного наблюдения к активному вмешательству. Как отмечалось в гл. 1, в философском и психологическом отношении такой переход означает более высокую ступень при нашем движении в направлении развития существенно новых подходов к анализу системы. В носледующих разделах будет показано, что обеспечение возможности управления представляет собой качественный скачок в методологическом подходе к анализу системы и естественным образом приводит к одному из основных понятий современной теории систем – понятию обратной связи.

Для того чтобы ввести основное представление о стабилизации при помощи управления с обратной связью, рассмотрим следующее описание системы $\Sigma$ :
\[
\dot{x}(t)=f(x(t), \quad u(t)), \quad x(0)=c .
\]

Здесь, как обычно, $x$ означает вектор-функцию, описывающую состояние системы $\Sigma$, а управление $u(t)$ – вектор-функция, выбором которой можно распорядиться. В общем случае физические ограничения, а также ограничения ресурсов и т. п. приводят к тому, что допустимые функции управления $u(t)$ должны принадлежать некоторому множесту функций $U$, т. е. $u \in U$. Если предположить, что неуправляемая система (при $u(t) \equiv 0$ ) имеет поведение нежелательного характера, возникает вопрос о возможности улучщения (в некотором смысле) траектории $x(t)$ путем применения управляющих воздействий из множества $U$. Очевидно, что математический подход к решению этого вопроса требует более точной его формулировки.

Наиболее традиционный подход к решению поставленной проблемы управления заключается в выяснении возможности стабилизации системы $\Sigma$ при помощи управляющих воздействий из $U$. В общем случае предполагается, что положения равновесия неуправляемой системы не являются асимптотически устойчивыми в смысле Ляпунова, и предпринимается попытка стабилизировать систему путем использования управляющих функций $u(t)$. Простой пример линейной скалярной системы
\[
\dot{x}=f x+u(t), \quad x(0)=c
\]

при $f>0$ показывает, что, вообще говоря, в данном случае стабилизация при помощи управляющих воздействий $u(t)$ невозможна. Действительно, из представления решения в форме
\[
x(t)=c e^{f t}+\int_{0}^{t} e^{f(t-s)} u(s) d s
\]

видно, что нельзя найти такую ограниченную функцию $u(t)$, которая смогла бы скомпенсировать влияние растущего экспоненциального члена $c e^{f t}$ при всех допустимых значениях начального возмущения $c$.

В литературе закон управления в форме $u=u(t)$ называется законом управления типа открытого контура, поскольку управление не зависит от текущего состояния процесса $x(t)$, а является функцией только времени $t$. Одно из основных положений современной (т. е. созданной во второй половине 20 -го века) теории управления состоит в том, что управление должно быть функцией состояния, т. е. структура закона управления должна иметь следующий вид:
\[
u(t)=u(x(t), t) .
\]

Такие законы называются законами управления с обратной связью, поскольку при этом рассматривается состояние системы, информация о котором поступает обратно к исследователю, принимающему соответствуюшее решение на основании данных о поведении системы, характеризуемом состоянием $x(t)$. Эти два принципиально различных подхода иллюстрируются на рис. 5.21.

Для демонстрации глубоких изменений математического характера, которых можно достигнуть при помощи управления с обратной связью, вернемся к только что рассмотренному примеру скалярной линейной системы. Қак было показано, никакая ограниченная функция, соответствующая закону управления типа открытого контура, не обеспечивает

Рис. 5.21. Управление типа открытого (а) и замкнутого (б) контуров.
возможности добиться асимптотической устойчивости положения системы в начале координат, если $f>0$. Рассмотрим теперь простой линейный закон обратной связи
\[
u(x, t)=k x(t),
\]

где $k$ – постоянная, такая, что $k>f$. Используя этот закон, получим динамическое уравнение для замкнутого контура в виде
\[
\dot{x}=(f-k) x(t), \quad x(0)=c,
\]

из которого следует, что положение в начале координат асимптотически устойчиво для всех начальных возмущений $c$. Қак будет показано ниже, этот вывод является частным случаем одного из фундаментальных результатов линейной теории систем – теоремы о смещении полюсов.

Теперь проанализируем различие между законами управления типа открытого и замкнутого контура с физической точки зрения. Отметим, что сопоставление этих двух типов законов управления можно провести следующим образом. Законы типа открытого контура представляют собой попытку при помощи внешних воздействий изменить поведение системы при сохранении соотношения между состояниями неуправляемой системы, т. е. без изменения связей между переменными состояния. Законы типа замкнутого контура, нли обратной связи, меняют поведение системы в результате фактического изменения самой динамики системы $f(\cdot, \cdot)$. Следовательно, законы управления с обратной связью видоизменяют соотношения между переменными состояния и в результате изменяют траекторию $x(t)$ системы путем фактического изменения ее топологии.