Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Их профессия кажется нам таинственной только потому, что мы не владеем ее языком. В настоящее время понятие система широко используется почти во всех областях науки и техники. Однако до сих пор оно все еще не имеет достаточно четкого определения. Почти каждый, кто пытается уточнить, что же следует понимать под системой, прежде всего стремится создать некий умозрительный образ. Некоторым удается дать словесное описание такого образа в виде множества элементов, сложное взаимодействие которых приводит к достижению некой неосознанной цели. В ряде случаев такие индивидуальные умозрительные образы имеют так много общего, что оказывается возможным полное взаимопонимание, без которого немыслимы плодотворные дискуссии, не говоря уже о сотрудничестве. Чаще, однако, в силу тех или иных причин такое взаимопонимание не достигается, несмотря на самое неподдельное стремление к общению. Именно этим обстоятельством объясняется тот факт, что одной из главных проблем, которым посвящена данная книга, является создание основы для содержательного обсуждения системно-теоретических вопросов. С этой целью на различных примерах системных задач демонстрируется возможность описания и анализа любой из них с помощью довольно ограниченного набора математических абстракций. Естественно, что при этом возникает необходимость в использовании определенного математического аппарата. Это и неудивительно, поскольку уровень знаний в области биологии, социологии, психологии, экономики (не говоря уже о таких науках, как физика и химия) настолько высок, что накопленные сведения невозможно осмыслить, не обращаясь к абстракции. К счастью, однако, для понимания большинства фундаментальных понятий системного анализа Основные понятия и методы системного анализа Пожалуй, лучше всего начать изложение материала с рассмотрения некоторых модельных ситуаций, или так называемых типичных системных задач. Анализ этих задач позволит выявить некоторые общие системные проблемы, для изучения которых, как будет показано, может быть использовано несколько математических конструкций. При этом неоднократно подчеркивается, что не существует единственной модели данной системы: существует множество моделей, каждая из которых обладает характерными математическими свойствами и каждая из которых пригодна для изучения определенного класса вопросов, связанных со структурой и функционированием системы. Поэтому особенно важно, чтобы исследователь имел в своем распоряжении как можно больше математических методов для анализа принципов построения и работы созданной им модели. Пример. Макроэкономика Пусть $a_{i j}$ представляет собой часть продукции, выпускаемой $i$-м сектором, которая необходима для производства единицы продукции $j$-го сектора ( $i, j=1,2, \ldots, n$ ). Внешнее потребление продукции, выпускаемой $i$-м сектором, обозначим через $y_{i}$. Тогда можно записать следующее уравнение материального баланса: Данная элементарная модель может быть использована для определения объема продукции, необходимой для удовлетворения заданного спроса при существующей технологии, которая описывается с помощью коэффициентов $a_{i j}$. Возможные обобщения и детализация этой модели образуют основу для так называемой модели затраты-выпуск. Матрицу технологических коэффициентов $A=\left[a_{i j}\right]$ часто называют леонтьевской матрицей. Пример. Динамика водохранилищ резервуара (с учетом просачивания) – через $x_{4}(t)$, а попуски воды из водохранилищ – через $u_{1}$ и $u_{2}$. Учет связи между поверхностным стоком и грунтовыми водами осуществляется с помощью выражения $l_{3}\left(x_{4}-x_{3}\right)$; коэффициент $k$ характеризует поверхностный сток, а коэффициенты $l_{1}$ и $l_{2}$-грунтовый. Уравнения неразрывности немедленно приводят к следующим динамическим соотношениям: Измеряемые выходы системы имеют вид Приведенное выше описание системы может оказаться полезным при изучении ряда важных вопросов, связанных с управлением паводками, оптимальной стратегией попусков (водосбросов), точным определением уровня грунтовых вод и т. д. Пример. Система хицник – жертва Рассмотрим для простоты экосистему с одним трофическим уровнем, в которой хищники и жертвы разделяются на два непересекающихся множества. Пусть множество хищников состоит из следующих элементов: а множество жертв – Определим отношение $\lambda$ между множествами $X$ и $Y$ следующим образом: Отношение $\lambda$ существует между хищником у и жертвой $x$ тогда и только тогда, когда хищник у поедает жертву $x$. Отношение $\lambda$ удобно описывать с помощью матрицы инциденций $\Lambda$ : причем, если хищник $y$ поедает жертву $x$, то $\lambda=1$, в противном случас $\lambda=0$. Анализируя матрицу инциденций $\Lambda$, можно выявить некоторые совершенно неочевидные струкұрные свойства системы хищник – жертва. Таким образом, даже в отсутствие очевидных динамических уравнений оказывается возможным построить содержательное (и плодотворное) математическое описание изучаемой системы. Пример. Двоичный выбор При анализе многих системных задач, представляющих практический интерес, разумно предполагать, что система стремится минимизировать некоторую (быть может, неизвестную) потенциальную функцию. Это означает, что в отсутствие внешних возмущений система стремится к состоянию равновесия, которому соответствует минимум энергии некоторого силового поля, причем природа этого поля может быть различной. Для иллюстрации этого положения рассмотрим случай, когда возможны два варианта выбора в зависимости от значений некоторой функции полезности $U(x, a, b)$, где $x$ – переменная, описывающая выбор; $a$ и $b$ – параметры, от которых этот выбор зависит. Тогда можно определить функцию бесполезности как $E(x, a, b)=-U$ и построить модель, в которой эта функция минимизируется. Діоустим, что между двумя пунктами возможны маршруты $A$ и $B$, стоимость которых $C_{A}$ и $C_{B}$ соответственно. Внешние параметры $a$ и $b$ являются функциями разности стоимостей $C=C_{B}-C_{A}$. Предположим, что $x<0$ соответствует маршруту $A$, а $x>0$ – маршруту $B$. Тогда можно построить функции $a(C)$ и $b(C)$, такие, что найдется такое число $\lambda$, что: Если $C>0$ и велико по модулю, то возможен выбор только маршеута $A$ и, следовательно, $x<0$; Если $C<0$ и велико по модулю, то возможен выбор только маршрута $B$ и, следовательно, $x>0$; Если $0<C<\lambda$, то наиболее вероятным является выбор маршрута $A$, хотя возможен выбор и маршрута $B$; Если $-\lambda<C<0$, то наиболее вероятным является выбор маршрута $B$, хотя возможен выбор и маршрута $A$; Если $C=0$, то вероятности выбора каждого маршрута одинаковы. Для построения модели процесса выбора нам потребовалась всего лишь функция бесполезности. Другими словами, мы не испытывали необходимости в более подробном описании внутренней динамики процесса (которого для большинства социально-экономических систем просто нет). Более тoro, ‘нам не нужно даже знать точного вида функции $E(x, a, b)$. Единственно, что требуется, – это наша готовность признать сам факт существования такой функции, а все остальное следует из абстрактных математических рассуждений и имеющихся численных данных (включая и точный вид кривой, представленной на рис. 1.2, поскольку это необходимо для количественного моделирования данной системы). Как будет показано, для моделирования подобных ситуаций используется теория катастроф Тома.
|
1 |
Оглавление
|