Рассмотрим некоторые аспекты сложности, которые проявляются в динамическом поведении системы.

Случайность в сравнении с детерминизмом
и сложностью
Қак уже отмечалось, одним из основных интуитивных показателей сложности системы является ее динамическое поведение, а именно: степень трудности наглядного объяснения и предсказания траекторий движущейся системы. В общем случае можем ожидать, что структурная сложность системы
Рис. 4.1. Динамически сложный процесс.

оказывает влияние на динамическое поведение системы, а следовательно, и на ее динамическую сложность. Однако обратное не верно. Система может быть структурно простой, т. е. иметь малую структурную сложность, но ее динамическое поведение может быть чрезвычайно сложным.

Покажем, что процесс, изображенный на рис. 4.1, является структурно простым, будучи в то же время динамически сложным. Правило порождения последовательности точек $a, b, c, \ldots$ следующее: стороны вписанного треугольника и диагональ единичного квадрата используются как «отражающие барьеры». Процесс начинается с произвольной точки, расположенной в основании треугольника. Типичная последовательность абсцисс последовательности точек приведена на рис. 4.1.

Можно показать, что, приписывая каждой точке слева от середины основания треугольника число 0 , а каждой точке справа – 1 , получим последовательность чисел 0 и 1 , порожденную этой детерминированной процедурой и математически неотличимую от последовательности, получаемой в распределении по закону Бернулли с параметром $p=1 / 2$ (другие значения $p$ могут быть получены использованием прямых, отличных от диагонали квадрата).

Этот результат имеет определенное методологическое и теоретико-системное значение. Действительно, если считать последовательность 0 и 1 выходом некоторого процесса, то не существует математического метода, позволяющего определить, является ли внутренний механизм, преобразующий вход и выход (последовательность 0 и 1), детерминированным или стохастическим. Иными словами, если не заглядывать внутрь «черного ящика», то никакие математические операции не могут помочь определить, является ли базисный механизм стохастическим или нет.

Рассмотренный пример подвергает серьезному сомнению слишком категорические утверждения о том, что глубинная природа физических процессов принципиально стохастична. Конечно, можно утверждать, что теория вероятности и статистика являются удобными инструментами для описания ситуаций, для которых характерна большая степень неопределенности. Однако нет априорных математических оснований полагать, что механизм, порождающий неопределенность, по своей природе непременно стохастичен; это может быть и некоторый детерминированный процесс, подобный вышеприведенному.

Очевидно, что если интерпретировать динамическую сложность как способность предсказывать поведение системы, то процесс, изображенный на рис. 4.1, очень сложен, так как наблюдаемый выход полностью случаен.

Для заданной последовательности выходов лучшей математической моделью для предсказания следующего выхода будет бросание монеты.

Шкалы времени
Другим важным аспектом динамической сложности является вопрос о различных шкалах времени для различных частей процесса. Часто возможны такие ситуации, когда
скорости изменения компонент одного и того же процесса различны: одни компоненты изменяются быстрее, а другиемедленнее. Типичным примером такого процесса является регулирование уровня воды в системе водохранилищ. Для управления на уровне индивидуального распределения воды требуется принимать решения ежедневно (или даже ежечасно), хотя решение об общем потоке воды через вход-выход принимается раз в месяц или раз в квартал. Очевидно, что флуктуации на локальном уровне значительно больше, чем на уровне всей системы водохранилищ.

Проблема различных шкал времени напоминает проблемы, с которыми мы сталкиваемся в численном анализе при интегрировании «жесткой» системы дифференциальных уравнений или когда имеем дело с некорректной проблемой. Простой пример некорректности представляет линейная система
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}-25 x=0, \\
x(0)=1, \quad \dot{x}(0)=-5 .
\end{array}
\]

Теоретически эта задача имеет решение
\[
x(t)=e^{-5 t} .
\]

Однако при решении этой задачи численными методами в вычисления войдет дополнительный член
\[
\bar{x}(t)=e^{5 t}
\]

с малым множителем $\varepsilon$. Таким образом, в действительности мы вычислим
\[
x^{*}(t)=e^{-5 t}+\varepsilon e^{5 t} .
\]

Если $t$ (или $\varepsilon$ ) достаточно мало, то все в порядке; однако когда ошибка округления слишком велика (большое $\varepsilon$ ) или когда желательно найти решение на большем интервале (большое $t$ ), то истинное решение полностью доминируется дополнительным членом $\bar{x}(t)$.

В ряде случаев трудности могут быть связаны не с вычислительными процедурами, а с самим решением системы. Для примера «жесткая» система
\[
\begin{array}{ll}
\dot{x}_{1}=x_{1}+2 x_{2}, & x_{1}(0)=0, \\
\dot{x}_{2}=-10 x_{2}, & x_{2}(0)=1
\end{array}
\]

имеет решение
\[
\begin{array}{l}
x_{1}(t)=-2 / 11\left[e^{-10 t}-e^{t}\right], \\
x_{2}(t)=e^{-10 t} .
\end{array}
\]

Таким образом, первая компонента процесса изменяется на порядок быстрее, чем вторая, и любая попытка рассчитать траекторию системы численно требует использования такого малого шага интегрирования, который позволяет аккуратно отследить «быструю» компоненту.

Это явление «жесткости» в системах (терминология инженеров-механиков), очевидно, оказывает влияние на динамическую сложность, так как точное предсказание поведения системы требует дополнительных затрат на вычисление.

Выводы

Только что приведенные примеры еще раз подтверждают, что большая размерность системы (пространства состояний или числа компонент) не обязательно означает большую сложность системы и наоборот. Сложность это слишком тонкое понятие, чтобы описывать его исключительно в понятиях размерности.