Из соображений геометрической наглядности начнем изучение связности структуры системы с рассмотрения комплексов. Согласно определению, данному в гл. 1, симплициальный комплекс – это естественное математическое обобщение понятия планарного графа, отражающее многомерную природу рассматриваемого бинарного отношения. Поскольку симплициальный комплекс, по существу, не что иное, как семейство симплексов, соединенных посредством общих граней, то естественной харктеристикой связности могла бы служить размерность грани, общей двум симплексам. Однако нас интересует комплекс в целом, поэтому более целесообразно использовать понятие цепь связи, отражающее тот факт, что два симплекса могут не иметь общей грани, но могут быть связаны при помощи последовательности промежуточных симплексов. С учетом соображения размерности понятие $q$-связности может быть сформулировано следующим образом.

Определение 3.1
Данные два симплекса $\sigma_{i}$ и $\sigma_{j}$ комплекса $K$ соединены цепью $q$-связи, если существует последовательность симплексов $\left\{\sigma_{\alpha_{i}}\right\}_{i=1}^{n}$ в $K$, такая, что
$\sigma_{a_{1}}-$ грань $\sigma_{i}$,
$\sigma_{a_{n}}-$ грань $\sigma_{j}$
$\sigma_{a_{i}}$ и $\sigma_{a_{i+1}}$ обладают общей гранью размерности $\beta$ для $i=1,2, \ldots, n-1$,
\[
q=\min \left\{i, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}, j\right\}
\]
(нижний индекс симплекса соответствует его геометрической размерности, например $\operatorname{dim} \sigma_{s}=s$ ). Можно показать, что $q$-связность порождает отношение эквивалентности на симплексах $K$.

Таким образом, задача изучения глобальной структуры связности комплекса $K$ сводится к рассмотрению классов q-эквивалентности. Для каждого значения размерности $q=0,1, \ldots, \operatorname{dim} K$ можно определить число различных классов эквивалентности $Q_{q}$. Назовем эту операцию $q$-анализом комплекса $K$, а вектор $Q=\left(Q_{\operatorname{dim} K}, \ldots, Q, Q_{0}\right)$ – первым структурным вектором комплекса.

Информация, содержащаяся в $Q$, до некоторой степени отражает глобальную структуру комплекса $K$. Для того чтобы два симплекса $A$ и $B$ принадлежали одной $q$-связной компоненте комплекса $K$, необходимо наличие связывающей $A$ и $B$ цепи промежуточных симплексов, такой, чтобы «слабейшее» в смысле размерности звено имело размерность, больную или равную $q$.

Из определения 3.1 следует, что если два симплекса $q$-связаны, то они также $q-1, q-2, \ldots, 0$-связаны в комплексе $K$. Следовательно, комплекс $K$ можно рассматривать как\”множество многомерных трубок симплексов, а компоненты вектора $Q$-как число трубок каждой размерности в $K$.

Иначе $q$-связность можно представить так. Предположим, что мы обозреваем комплекс через очки, которые дают возможность видеть его только в размерности $q$ и выше. Тогда мы увидим комплекс $K$ разбитым на $Q_{q}$ дизъюнктных (несвязных) кусков. Отметим, что число $Q_{0}$ идентично применяемому в топологии нульмерному числу Бетти, другие $Q_{q}, q \geqslant 1^{-}$не совпадают с $q$-мерными числами Бетти. Если $K$ обозревается на всех уровнях размерности, то $Q_{0}$ дает число несвязных компонент $K$.

Чтобы пояснить понятие комплекс, рассмотрим приведенНый в гл. 1 пример системы, описывающей сферу обслужива: Ния условного города. Предположим, что множество
\[
X=\{\text { хлеб, молоко, марки, обувь }\}
\]

представляет интересующие нас товары, а множество
\[
Y=\{\text { гастроном, универмаг, банк, почта }\}
\]
– предприятия сферы обслуживания. При этом возникает естественное отношение $\lambda \subset Y X X$, связывающее эти два множества:
$\left(y_{i}, x_{f}\right) \in \lambda$ тогда и только тогда, когда товар $x_{j}$ можно получить на предприятии $y_{i}$.
Отсюда следует, что
\[
\lambda=\left\{\left(y_{1}, x_{1}\right),\left(y_{1}, x_{2}\right),\left(y_{2}, x_{4}\right),\left(y_{4}, x_{3}\right)\right\} .
\]

Матрица инциденций $\Lambda$ отношения $\lambda$ имеет вид

Геометрически комплекс может быть представлен следующим образом:

где $X$ – множество вершин, $Y$ – множество симплексов. Заметим, что пустой симплекс $y_{3}$ не принадлежит $K_{Y}(X ; \lambda)$, если только не принять соглашение пополнять комплекс, добавляя к $K$ пустую вершину $\phi$, представляющую $(-1)$-мерный симплекс.
– Вышеприведенный комплекс, как это очевидно из его геометрического изображения, состоит из 1-симплекса $y_{1}$ и. двух 0 -симплексов $y_{2}$ и $y_{4}$. Это означает, что данная система обнаруживает очень низкий уровень связности. При рассмотрении комплекса $K$ можно видеть, что $Q_{1}=1$ (симплекс $y_{1}$ ), в то время как $Q_{0}=3$ (дизъюнктные 0 -компоненты это симплексы $\left.y_{1}, y_{2}, y_{4}\right)$. Следовательно, $Q=\left(\begin{array}{ll}1 & 3\end{array}\right)$ есть первый структурный вектор этого комплекса.