При решении практических задач, как правило, трудно с полной определенностью выделить внутренние связи в системе. Это обусловлено тем, что наличие или отсутствие прямых связей одной подсистемы с другой часто не может быть установлено вовсе или может быть установлено лишь с низкой точностью. Одним из возможных подходов к исследованию таких ситуаций служит предположение, что связи являются случайными переменными, описываемыми некоторыми известными функциями распределения. Для ответа на различные вопросы вероятностного характера относительно динамического поведения системы можно затем применить статистические методы. Однако ниже для исследования характеристик устойчивости системы, внутренние связи которой не установлены с большой точностью, мы собираемся использовать другой подход, заранее не опирающийся на статистическую обработку. Как было отмечено в вводном разделе, такой подход соответствует понятию связной устойчивости.

Рассмотрим динамический процесс, внутреннее описание которого
\[
\dot{x}=A(x, t) x, \quad x(0)=x_{0},
\]

где $x$-вектор состояния системы, $A$ – непрерывная матричная функция своих аргументов при всех $t \geqslant 0$ и всех $x \in R^{n}$.

$У_{\text {стойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем }}$
Для изучения вопросов связности в данной задаче запишем элементы матрицы $A$ в виде
\[
a_{i j}(x, t)=-\delta_{i j} \psi_{i}(x, t)+e_{i j} \psi_{i j}(x, t),
\]

где $\delta_{i j}$-символ Кронекера (т. е. $\delta_{i j}=1$, если $i=j$, и $\delta_{i j}=$ $=0$ при $i
eq j$ ), $\psi_{i}$ и $\psi_{i j}$ – непрерывные функции своих аргументов. Элементы $e_{i j}$ представляют собой компоненты матрицы взаимосвязи $E$ системы и удовлетворяют соотношениям
\[
e_{i j}=\left\{\begin{array}{l}
1, \text { если переменная } x_{j} \text { оказывает влияние на } \dot{x}_{i}, \\
0 \text { в противном случае. }
\end{array}\right.
\]

Понятие связной устойчивости дается следующим определением.

Определение 5.2
Состояние равновесия $x=0$ системы (5.9) связно асимnтотически устойчиво в большом тогда и только тогда, когда оно асимптотически устойчиво для всех матриц взаимосвязи $E$.

Для того чтобы получить практический метод определения наличия связной устойчивости, потребуем выполнения дополнительных условий для функций $\psi_{i}$ и $\psi_{i j}$. Предположим, что существуют постоянные $\alpha_{i}>0, \alpha_{i j} \geqslant 0$, такие, что при всех $x \in{ }^{n} R^{n}$ и всех $t \geqslant 0$
1) $\psi_{i}(x, t) \leqslant \alpha_{i}$
2) $\left|\psi_{i j}(x, t) x_{i}\right| \leqslant \alpha_{i j}\left|x_{i}\right| ; i, j=1,2, \ldots, n$.
Введем матрицу $A=\left[a_{i j}\right]$ следующим образом:
\[
\mathbf{a}_{i j}=-\delta_{i j} \alpha_{i}+e_{i j} \alpha_{i j}, \quad i, j=1,2, \ldots, n .
\]

Тогда основной результат может быть сформулирован следующим образом.

Теорема о связной устойчивости
Состояние равновесия системы (5.9) в точке $x=0$ связно асимптотически устойчиво в большом тогда и только тогда когда матрица А удовлетворяет условию
\[
(-1)^{k} \operatorname{det}\left[\begin{array}{cccc}
\bar{a}_{11} & \bar{a}_{12} & \ldots & \bar{a}_{1} \\
\vec{a}_{21} & \bar{a}_{22} & \ldots & \bar{a}_{2} \\
\cdot & & & \\
\cdot & & & \\
\cdot & & & \\
\bar{a}_{k 1} & \bar{a}_{k 2} & \ldots & \bar{a}_{k k}
\end{array}\right]>0, \quad k=1,2, \ldots, n
\]

Замечания. 1. Условие, налагаемое на главные миноры матрицы $A$, в литературе по теории устойчивости принято называть условием Севастьянова – Котелянского. Экономистам матрица $A$ известна как матрица Хикса.
2. Если ограничения на $\psi_{i}$ и $\psi_{i j}$ выполняются не для всех $x \in R^{n}$, а лишь в некоторой области $M \subset R^{n}$, то указанный выше результат имеет место в области $M$.

Для того чтобы исследовать размеры области связной устойчивости, определим множество чисел $\left\{d_{i}\right\}$ следующим образом:
\[
\left|a_{i j}\right|-d_{j}^{-1} \sum_{i
eq j} d_{i}\left|a_{i j}\right| \geqslant \varepsilon>0 .
\]

Пусть числа $\left\{u_{i}\right\}$ таковы, что
\[
M \supset\left\{x \in R^{n}:\left|x_{i}\right|<u_{i}, \quad i==1,2, \ldots, n\right\},
\]
т. е. $u_{i}$ определяют гиперкуб в $R^{n}$, содержащийся в $M$. Иснользуя введенные выше величины, можно показать, что область
\[
\left\{x \in R^{n}: \sum_{i=1}^{n} d_{i}\left|x_{i}\right|<\min _{i} d_{i} u_{i}\right\}
\]

является областью связной асимптотической устойчивости для системы (5.9).

Таким образом видно, что нахождение наиболее широкой области связной устойчивости, грубо говоря, эквивалентно определению чисел $d_{i}$, удовлетворяющих выписанному выше неравенству, причем наименьшее из $d_{i}$ должно быть настолько большим, насколько возможно.

Для того чтобы продемонстрировать применение теоремы связной устойчивости, рассмотрим следующую модель системы хищник-жертва, включающую четыре вида. Уравнения динамики системы таковы:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=a_{1} x_{1}+b_{1} x_{1} x_{2}-D_{1}\left(x_{1}\right)+D_{3}\left(x_{3}\right) \\
\dot{x}_{2}=a_{2} x_{2}+b_{2} x_{2} x_{1}-D_{2}\left(x_{2}\right)+D_{4}\left(x_{4}\right) \\
\dot{x}_{3}=a_{3} x_{3}+b_{3} x_{3} x_{4}-D_{3}\left(x_{3}\right)+D_{1}\left(x_{1}\right), \\
\dot{x}_{4}=a_{4} x_{4}+b_{4} x_{4} x_{3}-D_{4}\left(x_{4}\right)+D_{2}\left(x_{3}\right),
\end{array}
\]

где переменная $x_{i}(t)$ представляет популяцию $i$-го вида, $D_{i}\left(x_{i}\right)$ – скорость расселения популяции $i$-го вида, $a_{k}$ и $b_{k}$ постоянные. Физически вполне оправданно принять функциональные зависимости для $D_{i}(\cdot)$ следующими:
\[
D_{i}\left(x_{i}\right)=x_{i} f_{i}\left(x_{i}\right)
\]

что мы и будем предполагать в дальнейшем. Наша цель состоит в определении условий, налагаемых на постоянные $a_{i}, b_{i}$ и функции $f_{i}\left(x_{i}\right)$, при которых обеспечивается связная устойчивость положения равновесия системы в начале координат.

После введения предположения о структуре $D_{i}\left(x_{i}\right)$ уравнения динамики системы принимают форму (5.9), в которой
\[
\begin{array}{l}
A(x, t)= \\
{\left[\begin{array}{cccc}
a_{1}+b_{1} x_{2}-f_{1}\left(x_{1}\right) & 0 & f_{3}\left(x_{3}\right) & 0 \\
0 & a_{2}+b_{2} x_{1}-f_{2}\left(x_{2}\right) & 0 & f_{4}\left(x_{4}\right) \\
f_{1}\left(x_{1}\right) & 0 & a_{3}+b_{3} x_{4}-f_{3}\left(x_{3}\right) & 0 \\
0 & f_{2}\left(x_{2}\right) & 0 & a_{4}+b_{4} x_{3}-f_{4}\left(x_{4}\right)
\end{array}\right]}
\end{array}
\]

Следовательно, матрица взаимосвязи в данной задаче такова:
\[
E=\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1
\end{array}\right] .
\]

а функции $\psi_{i}$ и $\psi_{i j}$ имеют вид
\[
\begin{array}{ll}
\psi_{1}=-\left(a_{1}+b_{1} x_{2}-f_{1}\left(x_{1}\right)\right), & \psi_{2}=-\left(a_{2}+b_{2} x_{1}-f_{2}\left(x_{2}\right)\right), \\
\psi_{3}=-\left(a_{3}+b_{3} x_{4}-f_{3}\left(x_{3}\right)\right), & \psi_{4}=-\left(a_{4}+b_{4} x_{3}-f_{4}\left(x_{4}\right)\right), \\
\psi_{13}=f_{3}\left(x_{3}\right), & \psi_{24}=f_{4}\left(x_{4}\right), \\
\psi_{31}=f_{1}\left(x_{1}\right), & \psi_{42}=f_{2}\left(x_{2}\right),
\end{array}
\]

все остальные $\psi_{i j}=0$.
Для того чтобы применить теорему, необходимо сначала найти постоянные $\alpha_{i}, \alpha_{i j} \geqslant 0$, такие, что
\[
\begin{array}{c}
a_{1}+b_{1} x_{2}-f_{1}\left(x_{1}\right) \leq-\alpha_{1}<0, \\
a_{2}+b_{2} x_{1}-f_{2}\left(x_{2}\right) \leq-\dot{\alpha}_{2}<0, \\
a_{3}+b_{3} x_{4}-f_{3}\left(x_{3}\right) \leq-\alpha_{3}<0, \\
a_{4}+b_{4} x_{3}-f_{4}\left(x_{4}\right) \leq-\alpha_{4}<0, \\
\left|f_{1}\left(x_{1}\right)\right| \leq \alpha_{31}, \quad\left|f_{2}\left(x_{2}\right)\right| \leq \alpha_{42}, \\
\left|f_{3}\left(x_{3}\right)\right| \leq \alpha_{13}, \quad\left|f_{4}\left(x_{4}\right)\right| \leq \alpha_{24}
\end{array}
\]

Тогда условия Хикса в теореме о структурной устойчивости будут удовлетворены в том и только в том случае, если
1) $\alpha_{1}>0$
2) $\alpha_{1} \alpha_{2}>0$
3) $\alpha_{1} \alpha_{3}>\alpha_{13} \alpha_{31}$,
4) $\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3} \alpha_{4}+\alpha_{13} \alpha_{31} \alpha_{24} \alpha_{42}>\alpha_{1} \alpha_{3} \alpha_{24} \alpha_{42}+\alpha_{2} \alpha_{4} \alpha_{13} \alpha_{31}$.

Таким образом, условия 1-4 определяют область в пространстве состояний ( $\left.x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$, для которой начало координат асимптотически устойчиво при любых возмущающих функциях $f_{i}$ (т. е. при любых скоростях расселения) и любых $a_{i}, b_{i}$.