Системный анализ, как и политика, – это прежде всего искусство действовать в пределах «возможного». Рассматривая математическую формулировку той или иной задачи, исследователь (или лицо, принимающее решение) должен полностью представлять себе те внутренние и внешние факторы, которые могут ограничить его выбор стратегий управления. Различные обстоятельства, связанные с объемом имеющихся ресурсов, спросом, который необходимо удовлетворить, имеющейся технологией, наличием и возможностями ЭВМ, людски: ми ресурсами, бюджетом времени и т. д., резко сужают круг возможностей, доступных лицу, принимающему решения.

Выделим два принципиально различных типа ограничений:

внутренние – ограничения, налагаемые структурой самой системы,

внешние – ограничения, налагаемые на поведение системы внешними факторами. Рассмотрим эти ограничения несколько подробнее.

Внутренние ограничения возникают вследствие определенной ограниченности возможностей измерять характеристики состояния системы и управлять течением процесса, т. е. они ограничивают взаимодействие системы с внешним миром. Вообще говоря, ограничения этого типа наиболее четко вид-
1) См. также: Динамическая теория биологических популяций, под ред. Р. А. Полуэктова. – М.: Наука, 1974, в частности гл. 9, где обсуждаются вопросы идентификации параметров в связи с моделированием и управлением численностью биологических ‘популяций. – Прим. перев.

ны тогда, когда для внутреннего описания используют дифференциальные или разностные уравнения. Для иллюстрации понятия внутренние ограничения рассмотрим пример из области биомедицины.

Пример. Фармакокинетика
Предположим, что пациент, страдающий заболеванием сердца, получает диғитоксин, который в результате процесса обмена веществ превращается в дигоксин. Поскольку последний имеет способность накапливаться в организме, что в результате может привести к летальному исходу, то очень важно уметь точно определять его содержание в организме прежде, чем пациент примет очередную порцию дигитоксина.

Многокомпонентная модель, используемая для описания кинетики и превращений дигитоксина, изображена на рис.2.1.
Рис. 2.1. Многокомпонентная структура процесса обмена веществ.

Здесь $X$-содержание дигитоксина в организме, $Y$-содержание дигоксина, $S_{1}$ и $S_{2}$ – мочевые выделения, $S_{3}$ и $S_{4}$ немочевые выделения и $k_{i}$ – коэффициенты диффузии, $i=$ $=1,2, \ldots, 5$.

Обычно принято считать, что если в организм вводится некоторая доза дигитоксина, то примерно $92 \%$ этой дозы немедленно разносится по организму и около $85 \%$ от оставшихся $8 \%$ сразу превращается в дигоксин. Предполагаетея, что динамика концентрации лекарств $X$ и $Y$ может быть описана следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\dot{X}=-\left(k_{1}+k_{2}+\dot{k}_{4}\right) X, \\
\dot{Y}=k_{2} X-\left(k_{3}+k_{5}\right) Y, \\
\dot{S}_{1}=k_{1} X, \\
\dot{S}_{2}=k_{3} Y, \\
\dot{S}_{3}=k_{4} X, \\
\dot{S}_{4}=k_{5} Y .
\end{array}
\]

Начальные условия имеют вид
\[
\begin{array}{c}
X(0)=0,92 D, \quad Y(0)=(0,85)(0,08) D, \\
S_{1}(0)=S_{2}(0)=S_{3}(0)=S_{4}(0)=0,
\end{array}
\]

где $D$ – введенная доза дигитоксина.
Предположим, что можно измерить содержание дигитоксина и дигоксина только в мочевых выделениях. Тогда выход системы имеет вид
\[
\begin{array}{l}
y_{1}(t)=S_{1}(t), \\
y_{2}(t)=S_{2}(t) .
\end{array}
\]

Именно это весьма реалистическое с практической точки зрения ограничение и является тем, что называют внутренним ограничением системы. В силу этого ограничения не все внутренние переменные системы доступны для непосредственного измерения.

Имея в виду основную задачу, стоящую перед врачом, необходимо знать, достаточны ли измерения переменных $y_{1}$ и $y_{2}$ для определения неизвестной начальной дозы лекарства $D$. Эта задача является так называемой задачей наблюдаемости, обсуждение которой можно найти в литературе, приведенной в конце главы.

Внешние ограничения имеют качественно иной характер. Как отмечалось выше, они обусловлены не физическими или структурными ограничениями самого процесса, а «произволом» лица, принимающего решения, которое является «внешним» по отношению к системе. Вообще говоря, эти ограничения связаны с такими обстоятельствами, как ограниченность имеющихся ресурсов и производственных мощностей, наличие заданного спроса и т. д. Существенным моментом здесь является то, что эти ограничения налагаются извне и не имеют никакого отношения к математическим ограничениям, содержащимся в самой модели.

Типичные примеры внешних ограничений содержатся в задачах экономического управления, где требуется определить соответствующее распределение фиксированных финансовых средств для достижения определенных целей. Возьмем, к примеру, сотрудника некоторой компании, ответственного за рекламу еe продукции, причем бюджет, который компания выделила на рекламные цели, составляет $M$ долл. Это значит, что он может истратить $M$ долл. на размещение рекламных объявлений, скажем, в газетах, журналах, на телевидении, радио и рекламных афишах. Предположим, что вложение $x_{i}$ долл. в $i$-й способ рекламы ( $i$-газеты, журналы и т. д.) приводит к сбыту партии объема $f_{i}\left(x_{i}\right)$, причем функции $f_{i}(\cdot)$ считаются известными. Поскольку компания заинтересована в максимизации сбыта, рекламодатель сталкивается с решением задачи максимизации
\[
\sum f_{i}\left(x_{i}\right)
\]

по всем распределениям $\left\{x_{\text {газ }}, x_{\text {журн }}, x_{\text {рад }}, x_{\text {тв }}, x_{\text {аф }}\right\}$
при внешнем ограничении
\[
\sum x_{i} \leqslant M .
\]

Следовательно, внешнее ограничение возникло из-за ограниченности бюджета, а не из образа взаимодействия системы с внешним миром.
Рис. 2.2. Траектории полета самолета.
В качестве другого примера внешнего ограничения рассмотрим задачу о пилоте, которому необходимо прилететь из пункта А в пункт В за минимальное время. В зависимости от характеристик самолета и других предположений, математическое решение этой задачи может привести к оптимальной траектории, показанной на рис. $2.2,6$. Очевидно, что такое решение не учитывает реальных ограничений, имеющихся в этой ситуации, которые должны быть наложены извне с тем, чтобы сделать задачу осмысленной с физической точки зрения. Надлежащее внешнее ограничение $(y>0)$ привело бы тогда к оптимальной траектории, более похожей на изображенную на рис. $2.2, a$.