Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Если пространство состояний системы бесконечно, но конечномерно, то можно доказать справедливость теоремы, почти аналогичной теореме Крона — Роудза. Однако в этом случае потребуется более сложный математический аппарат. Пусть система определена внутренним описанием, задаваемым дифференциальным уравнением где пространство состояний $M$ является аналитическим многообразием, $u \in \Omega \subset R^{m}$, а $f$-действительная аналитическая функция переменной $x$, непрерывная по $u$ и удовлетворяющая условию Липшица по $x$ равномерно относительно $u$. Обозначим через $V(M)$ алгебру Ли всех аналитических векторных полей на $M$. На алгебре $V(M)$ задана скобочная операция Ли $[\cdot, \cdot]$, позволяющая из двух заданных векторных полей $v$, w получить новое векторное поле с помощью формулы $[v, w]=(\partial v / \partial x)(w)-(\partial w / \partial x)(v)$. Для каждого $u \in \Omega$ рассмотрим векторное поле $f(\cdot, u)$ и определим алгебру Ли системы $\Sigma$ как наименьшую подалгебру алгебры $V(M)$, содержащую все такие векторные поля. Сформулируем теперь конечномерный аналог теоремы Крона — Роудза. Если алгебра Ли системы $\Sigma$ конечномерна, то система $\Sigma$ допускает декомпозицию в параллельные каскады систем с простой алгеброй Ли с последующим каскадом одномерных систём. В качестве примера, поясняющего эти результаты, рассмотрим билинейную систему $\Sigma$, определяемую матричными уравнениями: где Пространство состояний такой системы — это группа действительных $2 \times 2$ матриц с определителем, равным $1, M=$ $=S L(2, R)$, а входы задаются элементами $\Omega=R^{3}$. Проведя алгебраические выкладки, можно найти, что система $\Sigma$ обладает нетривиальной параллельно-каскадной декомпозицией где Этот пример показывает также, что пространство состояний нелинейной системы, как правило, не $R^{n}$.
|
1 |
Оглавление
|