Если пространство состояний системы бесконечно, но конечномерно, то можно доказать справедливость теоремы, почти аналогичной теореме Крона – Роудза. Однако в этом случае потребуется более сложный математический аппарат.

Пусть система определена внутренним описанием, задаваемым дифференциальным уравнением
\[
\dot{x}=f(x, u),
\]

где пространство состояний $M$ является аналитическим многообразием, $u \in \Omega \subset R^{m}$, а $f$-действительная аналитическая функция переменной $x$, непрерывная по $u$ и удовлетворяющая условию Липшица по $x$ равномерно относительно $u$. Обозначим через $V(M)$ алгебру Ли всех аналитических векторных полей на $M$. На алгебре $V(M)$ задана скобочная операция Ли $[\cdot, \cdot]$, позволяющая из двух заданных векторных полей $v$, w получить новое векторное поле с помощью формулы $[v, w]=(\partial v / \partial x)(w)-(\partial w / \partial x)(v)$. Для каждого $u \in \Omega$ рассмотрим векторное поле $f(\cdot, u)$ и определим алгебру Ли системы $\Sigma$ как наименьшую подалгебру алгебры $V(M)$, содержащую все такие векторные поля. Сформулируем теперь конечномерный аналог теоремы Крона – Роудза.
1) Напомним, что группа проста, если у нее нет нетривиальных нормальных подгрупп. $N$ – нормальная подгруппа $G$ тогда и только тогда, когда $N g=g N$ для всех $g \in G$.

Если алгебра Ли системы $\Sigma$ конечномерна, то система $\Sigma$ допускает декомпозицию в параллельные каскады систем с простой алгеброй Ли с последующим каскадом одномерных систём.
Сделаем несколько замечаний относительно этой теоремы.
1. Алгебра Ли является простой, если она не абелева и не имеет нетривиальных идеалов. Таким образом, простые алгебры Ли в теореме Кренера являются аналогами простых групп из теоремы Крона – Роудза. Однако такой аналогии не существует между одномерными системами и полугруппами триггеров, так как триггеры входят в негрупповую часть автоматов. Заметим, что с точностью до изоморфизма существуют только две одномерные системы – на окружности и на прямой линии. Таким образом «простых» элементов, получаемых при декомпозиции алгебры Ли, также два.
2. В определенном смысле эта теорема дает наилучшую декомпозицию конечномерных систем. Действительно, конечномерная система неразложима тогда и только тогда, когда алгебра Ли одномерна или проста. Заметим, что эта теорема дает необходимые и достаточные условия для декомпозиции любой конечномерной аналитической системы.

В качестве примера, поясняющего эти результаты, рассмотрим билинейную систему $\Sigma$, определяемую матричными уравнениями:
\[
\dot{X}=\sum_{i=1}^{3} u_{i} B_{i} x, \quad X(0)=I,
\]

где
\[
B_{1}=\left[\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right], \quad B_{2}=\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right], \quad B_{3}=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right] .
\]

Пространство состояний такой системы – это группа действительных $2 \times 2$ матриц с определителем, равным $1, M=$ $=S L(2, R)$, а входы задаются элементами $\Omega=R^{3}$. Проведя алгебраические выкладки, можно найти, что система $\Sigma$ обладает нетривиальной параллельно-каскадной декомпозицией
\[
\begin{array}{c}
\dot{X}_{1}=u_{1} B_{1}, \\
\dot{X}_{2}=\left(X_{1}\right)^{-1}\left(u_{2} B_{2}+u_{3} B_{3}\right) X_{1} X_{2},
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\dot{X}_{1}=u_{1} B_{1}, \\
\dot{X}_{2}=\left(X_{1}\right)^{-1}\left(u_{2} B_{2}+u_{3} B_{3}\right) X_{1} X_{2},
\end{array}
\]
\[
X=X_{1} X_{2} \text {. }
\]

Этот пример показывает также, что пространство состояний нелинейной системы, как правило, не $R^{n}$.