Самым общим средством математического описания динамического процесса является дифференциальное уравнение вида
\[
\dot{x}=f(x, t), \quad x(0)=c,
\]

так называемое внутреннее описание. На таком описании основаны все классические результаты Ляпунова, Пуанкаре и других исследователей, причем динамика системы $f(\cdot, \cdot)$ задавалась в разных формах.

Исторически первое систематическое исследование свойств устойчивости уравнения (5.3) принадлежит Ляпунову, который рассмотрел следующую задачу: если начало координат является точкой равновесия системы (5.3), т. е. $f(0, t)=0$ для всех $t$, и если система выведена «малым» возмущением из равновесия $(c
eq 0)$, останутся ли траектории процесса «близкими» к началу координат для всех последующих моментов времени. В геометрической форме эта ситуация показана на рис. 5.1. Основная идея состоит в том, что если решение начинается в пределах небольших расстояний от начала координат, оно должно оставаться внутри несколько более широкого «канала», показанного на рис. 5.1 пунктиром.

Несколько более сильное определение устойчивости отвечало бы требованию $x(t) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$, т. е. чтобы система в конечном счете возвращалась к точке равновесия. Такое определение отвечает понятию асимптотическая устойчивость (согласно Ляпунову). Важно отметить, что понятия устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости являются независимыми. Легко построить примеры, для которых один из видов устойчивости имеет место, а другой нет, и наоборот. Так, система . $\dot{r}=[\dot{g}(\theta, t) / g(\theta, t)] r, \dot{\theta}=0$, где $g(\theta, t)=\sin ^{2} \theta /\left[\sin ^{4} \theta+\left(1-t \sin ^{2} \theta\right)^{2}\right]+1 /\left(1+t^{2}\right)$, асимптотически устойчива, но ее решения становятся неограниченными, когда начальное состояние $\theta_{0}=\theta(0) \rightarrow \pm \pi$ (возникает вопрос: в чем причина такого явления?).
Рис. 5.1. Устойчивость по Ляпунову.
Заметим, кстати, что приведенные выше стандартные определения устойчивости подразумевают, что заранее известная точка равновесия вместе с ее ближайшей окрестностью представляет собой особенность типа центр. Қак будет показано, требованию устойчивости соответствуют условия, налагаемые на свойства функции $f$ в этой ближайшей окрестности, которые дают центр. Таким образом, с точки зрения практики, прежде чем применять какие-либо классические результаты, необходимо рассчитать все точки равновесия для $f$. Такой предварительный расчет может представить самостоятельную проблему в зависимости от структуры функции $f$. Здесь неявно предполагается, что положения равновесия $f$ достигаются только в фиксированных точках. В общем случае они могут отвечать гораздо более сложным объектам – предельным циклам, странным аттракторам и т. п.

С каждой устойчивой точкой равновесия связана окружающая ее открытая область, называемая областью притяжения: устойчивая точка равновесия действует как некоторый «магнит», втягивающий любое начальное состояние внутри своей области притяжения (см. рис. 2.14).

Существенная часть современной теории устойчивости опирается на сведения о том, каким образом изменения границ областей устойчивости и точек притяжения связаны с изменениями различных динамических параметров системы. Кроме того, в практическом отношении весьма важно иметь возможность математического описания границ данного равновесного состояния. Некоторые сведения по этим вопросам будут приведены ниже.