Рассмотрим более подробно вопрос, поставленный выше, и проанализируем внешнее описание системы, обсуждавшееся в разделе о внешних описаниях, используя несколько математических понятий ${ }^{1}$ ).

Определим сначала условия, которые необходимо наложить на операторы $G$ и $H$, чтобы гарантировать получение ограниченных выходов системы при ограниченных входах. Следует отметить, что для успешного решения проблем устойчивости нелинейных систем с обратной связью пока существуют только два общих подхода: теоремы о малом коэффициенте усиления и условия инертности. Чтобы пока-
1) Для читателей, не знакомых с понятиями банахова и гильбертова пространства, вполне достаточно представлять себе $X$ как евклидово пространство $R^{n}$.

зать, каких результатов можно ожидать при использовании этих подходов, приведем следующие теоремы.

Теорема о малом коэффициенте усиления
Пусть $G$ и $H$-отображения расширения Х банахова пространства $X$ над $[0, \infty]$ в себя, а $x_{T}(\cdot)$ обозначает сужение функции $x \in \bar{X}$ на $[0, T]$. Тогда система с обратной связью
\[
\begin{array}{l}
e_{1}=u_{1}-H e_{2}, \\
e_{2}=u_{2}+G e_{1}
\end{array}
\]

устойчива, если существуют константы $k_{1}, k_{2}, m_{1}, m_{2}$, такие, что
\[
\begin{array}{l}
\left\|(G x)_{T}\right\| \leqslant k_{1}\left\|x_{T}\right\|+m_{1}, \\
\left\|(H x)_{T}\right\| \leqslant k_{2}\left\|x_{T}\right\|+m_{2},
\end{array}
\]
a $k_{1} k_{2}<1$ (здесь $\|\cdot\|$ обозначает норму в ) ).
Физическая интерпретация этой теоремы очень проста: пусть $G$ и $H$ соответствуют устойчивым подсистемам, тогда если $G$ или $H$ достаточно малы относительно предела устойчивости другой системы, то система с обратной связью (5.5) также устойчива. По существу, теорема дает точные количественные границы вместо качественного предположения «достаточной малости», и система в целом будет устойчива, если произведение коэффициентов усиления подсистем меньше единицы.

Преимущество теоремы о малом коэффициенте усиления состоит в том, что ее легко применять на практике, так как оценка коэффициентов усиления $k_{1}$ и $k_{2}$ обычно не вызывает затруднений. Кроме того, если условие $k_{1} k_{2}<1$ не выполнено, то обычно определяется вид «компенсации», необходимой для его выполнения. Заметим далее, что тип устойчивости, гарантируемый теоремой о малых коэффициентах усиления, зависит от конкретного банахова пространства $X$. Так, если $X=L_{2}[0, \infty]$, то удовлетворение условий теоремы гарантирует $L_{2}$-устойчивость. В частности, случай ограниченный вход — ограниченный выход охватывается выбором $X=$ $=L_{\infty}[0, \infty]$.

Самый простой пример применения теоремы о малом коэффициенте усиления соответствует случаю, когда $G$ и $H$-линейные инвариантные по времени операторы, т. е.
\[
\begin{aligned}
(G x)_{T} & =\int_{0}^{T} g(T-s) x(s) d s, \\
(H x)_{T} & =\int_{0}^{T} h(T-s) x(s) d s,
\end{aligned}
\]

Тогда можно легко показать, что если $X$ — пространство непрерывных функций на $[0, T]$, то условие теоремы будет выполнено, если
\[
\left(\sup _{0 \leqslant r \leqslant T}|g(r)|\right)\left(\sup _{0 \leqslant r \leqslant T}|h(r)|\right)<1 .
\]

Заметим, что если $G$-линейный инвариантный по времени оператор, а $H$-оператор, не обладающий памятью, то теорема о малом коэффициенте усиления сводится к критерию Попова.

Будем считать теперь $X$ гильбертовым пространством, т. е. банаховым пространством, в котором норма $\|\cdot\|$ определяется скалярным произведением. В этом случае можно получить другой тип теоремы об устойчивости.

Теорема инертности
Пусть $X$-вещественное гильбертово пространство на $[0, \infty]$ со скалярным произведением $\langle\cdot, \cdot\rangle$. Тогда система (5.5) устойчива, если существуют такие константы $k, m_{1}, m_{2}$, $m_{3}, \delta, \varepsilon$, что
\[
\begin{aligned}
\left\langle(G x)_{T},(G x)_{T}\right\rangle & \leqslant k\left\langle x_{T}, x_{T}\right\rangle+m_{1} \\
\left\langle x_{T},(G x)_{T}\right\rangle & \geqslant \delta\left\langle x_{T}, x_{T}\right\rangle+m_{2}, \\
\left\langle x_{T},(H x)_{T}\right\rangle & \geqslant \varepsilon\left\langle(H x)_{T},(H x)_{T}\right\rangle+m_{3}, \\
\delta & +\varepsilon>0
\end{aligned}
\]

В терминах теории электрических цепей физический смысл теоремы инертности таков: пусть $u_{1}$ и $e_{1}$ — функции напряжения, $G$-оператор проводимости, $u_{2}, e_{2}$ — функции токов, а $H$-оператор импеданса, тогда вышеприведенные неравенства означают, что если $G$ имеет проводимость по крайней мере $\delta$, а $H$ имеет проводимость по крайней мере $\varepsilon$, то система устойчива, если суммарный уровень проводимости $G$ и $H$ положителен.

Заметим, что как теорема о малом коэффициенте усиления, так и теорема инертности дают только достаточные условия устойчивости нелинейной системы с обратной связью. Много работ посвящено также методам получения критериев неустойчивости. Однако изложение основных результатов этих работ потребовало бы слишком высокого уровня формализации по сравнению с принятым в этой книге, поэтому мы отсылаем заинтересованного читателя к ссылкам в конце главы,