Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Рассмотрим более подробно вопрос, поставленный выше, и проанализируем внешнее описание системы, обсуждавшееся в разделе о внешних описаниях, используя несколько математических понятий ${ }^{1}$ ). Определим сначала условия, которые необходимо наложить на операторы $G$ и $H$, чтобы гарантировать получение ограниченных выходов системы при ограниченных входах. Следует отметить, что для успешного решения проблем устойчивости нелинейных систем с обратной связью пока существуют только два общих подхода: теоремы о малом коэффициенте усиления и условия инертности. Чтобы пока- зать, каких результатов можно ожидать при использовании этих подходов, приведем следующие теоремы. Теорема о малом коэффициенте усиления устойчива, если существуют константы $k_{1}, k_{2}, m_{1}, m_{2}$, такие, что Преимущество теоремы о малом коэффициенте усиления состоит в том, что ее легко применять на практике, так как оценка коэффициентов усиления $k_{1}$ и $k_{2}$ обычно не вызывает затруднений. Кроме того, если условие $k_{1} k_{2}<1$ не выполнено, то обычно определяется вид «компенсации», необходимой для его выполнения. Заметим далее, что тип устойчивости, гарантируемый теоремой о малых коэффициентах усиления, зависит от конкретного банахова пространства $X$. Так, если $X=L_{2}[0, \infty]$, то удовлетворение условий теоремы гарантирует $L_{2}$-устойчивость. В частности, случай ограниченный вход – ограниченный выход охватывается выбором $X=$ $=L_{\infty}[0, \infty]$. Самый простой пример применения теоремы о малом коэффициенте усиления соответствует случаю, когда $G$ и $H$-линейные инвариантные по времени операторы, т. е. Тогда можно легко показать, что если $X$ – пространство непрерывных функций на $[0, T]$, то условие теоремы будет выполнено, если Заметим, что если $G$-линейный инвариантный по времени оператор, а $H$-оператор, не обладающий памятью, то теорема о малом коэффициенте усиления сводится к критерию Попова. Будем считать теперь $X$ гильбертовым пространством, т. е. банаховым пространством, в котором норма $\|\cdot\|$ определяется скалярным произведением. В этом случае можно получить другой тип теоремы об устойчивости. Теорема инертности В терминах теории электрических цепей физический смысл теоремы инертности таков: пусть $u_{1}$ и $e_{1}$ – функции напряжения, $G$-оператор проводимости, $u_{2}, e_{2}$ – функции токов, а $H$-оператор импеданса, тогда вышеприведенные неравенства означают, что если $G$ имеет проводимость по крайней мере $\delta$, а $H$ имеет проводимость по крайней мере $\varepsilon$, то система устойчива, если суммарный уровень проводимости $G$ и $H$ положителен. Заметим, что как теорема о малом коэффициенте усиления, так и теорема инертности дают только достаточные условия устойчивости нелинейной системы с обратной связью. Много работ посвящено также методам получения критериев неустойчивости. Однако изложение основных результатов этих работ потребовало бы слишком высокого уровня формализации по сравнению с принятым в этой книге, поэтому мы отсылаем заинтересованного читателя к ссылкам в конце главы,
|
1 |
Оглавление
|