Принципиальным этапом в исследовании модели динамического процесса, описываемого дифференциальным уравнением, является решение вопроса о том, могут ли малые возмущения динамики системы привести к качественно иному ее поведению. Мы уже упоминали об этом, как о проблеме структурной устойчивости. В данном разделе будут представлены некоторые элементарные результаты, касающиеся структурно устойчивых систем. Все математические модели, описывающие физические явления, содержат упрощения, погрешности и другие отклонения от действительности. Поэтому трудно переоценить важность роли структурной устойчивости как существенной части основы эффективного моделирования.
Рассмотрим два динамических процесса
$$\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=F_1(x_1,x_2),\\ {\dot{x}}_2=F_2(x_1,x_2),\\ {\dot{x}}_1=G_1(x_1,x_2),\\ {\dot{x}}_2=G_2(x_1,x_2),\underset{―}{I}\end{array}$$

определенных в круге $D:x_1^2+x_2^2⩽1$. Предположим далее, что векторы $(F_1,F_2)$ и ( $G_1,G_2$ ) не совпадают с касательной к границе области $D$ и всегда направлены внутрь $D$. Oпределение структурной устойчивости системы (I) было впервые дано Л. С. Понтрягиным и А. А. Андроновым в следующей форме.

Определение 5.3
Дифференциальное уравнение (I) называется структурно устойчивым, если существует $\delta >0$, такое, что для любого дифференциального уравнения (II), удовлетворяющего условиям
$$|F_i-G_i|<\delta ,\left|\frac{\partial (F_i-G_i)}{\partial x_j}\right|<\delta ,i,j=1,2,$$

во всех точках $D$, существует гомеоморфизм (взаимно однозначное непрерывное отображение) $h:D\to D$, отображающий траектории системы (I) в траектории системы (II) и сохраняющий ориентацию этих траекторий.

Другими словами, система (I) структурно устойчива, если для достаточно близких систем (I) и (II) траектории (I) можно непрерывным образом деформировать в траектории (II) при сохранении направления потока.

Для получения практических условий проверки структурной устойчивости данного уравнения необходимо ввести несколько новых понятий.

Определение 5.4
Особой точкой дифференциального уравнения (I) является точка $(x_1^{\ast },x_2^{\ast })$, такая, что
$$F_1(x_1^{\ast },x_2^{\ast })=F_2(x_1^{\ast },x_2^{\ast })=0.$$

Особенность называется гиперболичекой, если собственные значения матрицы
$$J={\left[\begin{array}{ll}\frac{\partial F_1}{\partial x_1}& \frac{\partial F_1}{\partial x_2}\\ \frac{\partial F_2}{\partial x_1}& \frac{\partial F_2}{\partial x_2}\end{array}\right]}_{(x_1^{\ast },x_2^{\ast })}$$

имеют ненулевые действительные части. Гиперболическая особенность может быть стоком, седловой точкой или источником в зависимости от того, сколько собственных значений с отрицательными действительными частями имеет матрица $J$ $(2,1$ или 0$)$.

$162{У}_{\text{стойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем }}$
В окрестности гиперболической особенности траектории системы могут иметь следующий вид:

Рассмотрим, наконец, замкнутую траекторию $\gamma$ дифференциального уравнения (I). Через точку $p$ на $\gamma$ проведем малую линейную секущую $\sigma$, трансверсальную к траектории вдоль $\gamma$ (рис. (5.4). Следуя по траекториям (I), проходящим через точки $x$ на $\sigma$, получаем отображение Пуанкаре
$$\pi :\sigma \to \sigma ,$$

Рис. 5.4. Отображение Пуанкаре.
определенное для всех $x\in \sigma$, достаточно близких к $p$.
Аналогично получаем определение гиперболической замкнутой траектории.

Определение 5.5
Замкнутая траектория $\gamma$ называется гиперболической, если $|d\pi /dx{|}_{x=p}eq1$.

Отметим, что если $|d\pi /dx{|}_{x=p}<1$, то $\gamma$ — устойчивый предельный цикл и траектории имеют вид спиралей, наматывающихся на $\gamma$. Если $|d\pi /dx{|}_{x=p}>1$, то $\gamma$ — неустойчивый предельный цикл, а при $|d\pi /dx{|}_{x=p}=1$ все траектории вблизи $\gamma$ будут замкнутыми.

Используя приведенные выше определения, можем, наконец, сформулировать основной результат, принадлежащий Андронову и Понтрягину.
Теорема о структурной устойчивости (в круге)
Дифференциальное уравнение (I) структурно устойчиво в том и только в том случае, если
1) особенности (I) гиперболические,
2) замкнутые траектории (I) гиперболические,
3) ни одна из траекторий (I) не соединяет седловые точки.

Заметим, что, согласно условию 1 , имеется лишь конечное число особенностей, а из условий 2 и 3 следует, что существует лишь конечное число замкнутых траекторий.

Фазовые портреты двух дифференциальных систем, одна из которых структурно устойчивая, а другая неустойчивая, показаны на рис. 5.5. Следует, однако, подчеркнуть, что только вид фазового портрета системы не может служить основанием для суждения о структурной устойчивости данного дифференциального уравнения. Например, пусть начало
Рис. 5.5. Структурно устойчивая (а) и неустойчивая (б) системы.

координат является одной из особенностей структурно устойчивой системы (I); тогда система (II), которая получается умножением обоих уравнений системы (I) на ( $x_1^2+x_2^2$ ), будет иметь точно такой же фазовый портрет, но уже не будет структурно устойчивой, поскольку в начале координат особенность системы (II) негиперболическая (оба корня характеристического уравнения нули).

Пример. Классическая система Лотки — Вольтерра
Простейшей моделью детерминированной системы двух видов хищник — жертва с непрерывным ростом популяций является система Лотки — Вольтерра
$$\begin{array}{l}\frac{dH}{dt}=H(t)[a-\alpha P(t)],\\ \frac{dP}{dt}=P(t)[-b+\beta H(t)],\end{array}$$

где $H(t)$ и $P(t)$ — популяции жертвы и хищника соответственно, а параметры $a$ и $b$ связывают рождаемость $H$ и смертность $P$; параметры $\alpha$ и $\beta$ учитывают взаимодействие между видами. По очевидным и естественным соображениям ограничимся рассмотрением области $H⩾0,P⩾0$ и будем считать все параметры системы воложительными. (Для того чтобы удовлетворить условиям теоремы о структурной устойчивости, выберем масштабы $H$ и $P$ таким образом, чтобы значения $H$ и $P$ лежали в той части единичного круга, которая принадлежит первому квадранту.)

Точка. равновесия системы, представляющая интерес в практическом отношении, определяется как
$$H^{\ast }=b/\beta ,P^{\ast }=a/\alpha .$$

Рассмотрев матрицу Якоби
$$\mathbf{J}=\left[\begin{array}{cc}a-\alpha P& -\alpha H\\ \beta P& -b+\beta H\end{array}\right]$$

в точке $(H^{\ast },P^{\ast })$, получим, что собственные значения матрицы $J$ в особой точке будут чисто мнимыми числами
$$\lambda =\pm i(ab{)}^{1/2}.$$

Таким образом, особенность не является гиперболической. Следовательно, классическая модель Лотки — Вольтерра не будет структурно устойчивой, поскольку нарушено условие 1 теоремы.

При обсуждении вопросов структурной устойчивости на интуитивном уровне обращает на себя внимание утверждение, что «система структурно устойчива, если все близкие к ней системы имеют качественно такое же поведение». Предыдущий пример показывает, что, как только мы уточняем понятия «близкие», «те же», «качественно» и «поведение», общее представление уже выглядит несколько иначе, поскольку все траектории системы являются замкнутыми, причем точка равновесия $(H^{\ast },P^{\ast })$ — центр. Более того, любая система, близкая к данной и получающаяся при изменении ее параметров $a,b,\alpha ,\beta$, будет вести себя аналогичным образом.

Итак, интуитивные рассуждения могут привести к заключению о структурной устойчивости рассматриваемой системы. Однако из геометрических соображений очевидно, что траектории близких систем нельзя непрерывно отобразить друг в друга. Следовательно, согласно определению 5.3, данная система не будет структурно устойчивой, и этот вывод, разумеется, вытекает из того факта, что не все особенности системы являются гиперболическими. Таким образом, интуитивные представления и точные определения не всегда приводят к одному результату, поэтому, применяя математический аппарат, мы должны придерживаться данных определений. Указанный выше случай говорит о возможности другого определения структурной устойчивости.

Одно время предполагалось, что свойством структурной устойчивости должны обладать почти все дифференциальные системы (другими словами, ожидали, что структурно устойчивые системы образуют открытое плотное множество в множестве всех систем). И это действительно справедливо в случае одного или двух измерений, однако, как показали Смейл и Вильямс, для более высокого числа измерений справедливо обратное утверждение, т. е., вообще говоря, нет уверенности в том, что неустойчивые системы могут быть произвольно близко аппроксимированы структурно устойчивыми системами, если размерность фазового пространства $n⩾3$. К счастью, оказывается, что в действительности существует широкий класс $n$-мерных систем, для которых можно установить свойство структурной устойчивости. Наиболее простыми и лучше всего изученными являются дифференциальные системы Морса — Смейла, которые содержат лишь конечное число особенностей и замкнутых траекторий. Системы другого типа, например, системы Аносова, имеют очень сложную геометрическую структуру, связанную с тем, что они содержат бесконечно много замкнутых траекторий. Такие системы будут затронуты в одном из следующих разделов.