Принципиальным этапом в исследовании модели динамического процесса, описываемого дифференциальным уравнением, является решение вопроса о том, могут ли малые возмущения динамики системы привести к качественно иному ее поведению. Мы уже упоминали об этом, как о проблеме структурной устойчивости. В данном разделе будут представлены некоторые элементарные результаты, касающиеся структурно устойчивых систем. Все математические модели, описывающие физические явления, содержат упрощения, погрешности и другие отклонения от действительности. Поэтому трудно переоценить важность роли структурной устойчивости как существенной части основы эффективного моделирования.
Рассмотрим два динамических процесса
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=F_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right), \\
\dot{x}_{2}=F_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right), \\
\dot{x}_{1}=G_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right), \\
\dot{x}_{2}=G_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right), \underline{I}
\end{array}
\]

определенных в круге $D: x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leqslant 1$. Предположим далее, что векторы $\left(F_{1}, F_{2}\right)$ и ( $G_{1}, G_{2}$ ) не совпадают с касательной к границе области $D$ и всегда направлены внутрь $D$. Oпределение структурной устойчивости системы (I) было впервые дано Л. С. Понтрягиным и А. А. Андроновым в следующей форме.

Определение 5.3
Дифференциальное уравнение (I) называется структурно устойчивым, если существует $\delta>0$, такое, что для любого дифференциального уравнения (II), удовлетворяющего условиям
\[
\left|F_{i}-G_{i}\right|<\delta, \quad\left|\frac{\partial\left(F_{i}-G_{i}\right)}{\partial x_{j}}\right|<\delta, \quad i, j=1,2,
\]

во всех точках $D$, существует гомеоморфизм (взаимно однозначное непрерывное отображение) $h: D \rightarrow D$, отображающий траектории системы (I) в траектории системы (II) и сохраняющий ориентацию этих траекторий.

Другими словами, система (I) структурно устойчива, если для достаточно близких систем (I) и (II) траектории (I) можно непрерывным образом деформировать в траектории (II) при сохранении направления потока.

Для получения практических условий проверки структурной устойчивости данного уравнения необходимо ввести несколько новых понятий.

Определение 5.4
Особой точкой дифференциального уравнения (I) является точка $\left(x_{1}^{*}, x_{2}^{*}\right)$, такая, что
\[
F_{1}\left(x_{1}^{*}, x_{2}^{*}\right)=F_{2}\left(x_{1}^{*}, x_{2}^{*}\right)=0 .
\]

Особенность называется гиперболичекой, если собственные значения матрицы
\[
J=\left[\begin{array}{ll}
\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}} \\
\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}}
\end{array}\right]_{\left(x_{1}^{*}, x_{2}^{*}\right)}
\]

имеют ненулевые действительные части. Гиперболическая особенность может быть стоком, седловой точкой или источником в зависимости от того, сколько собственных значений с отрицательными действительными частями имеет матрица $J$ $(2,1$ или 0$)$.

$162 У_{\text {стойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем }}$
В окрестности гиперболической особенности траектории системы могут иметь следующий вид:

Рассмотрим, наконец, замкнутую траекторию $\gamma$ дифференциального уравнения (I). Через точку $p$ на $\gamma$ проведем малую линейную секущую $\sigma$, трансверсальную к траектории вдоль $\gamma$ (рис. (5.4). Следуя по траекториям (I), проходящим через точки $x$ на $\sigma$, получаем отображение Пуанкаре
\[
\pi: \sigma \rightarrow \sigma,
\]

Рис. 5.4. Отображение Пуанкаре.
определенное для всех $x \in \sigma$, достаточно близких к $p$.
Аналогично получаем определение гиперболической замкнутой траектории.

Определение 5.5
Замкнутая траектория $\gamma$ называется гиперболической, если $|d \pi / d x|_{x=p}
eq 1$.

Отметим, что если $|d \pi / d x|_{x=p}<1$, то $\gamma$ – устойчивый предельный цикл и траектории имеют вид спиралей, наматывающихся на $\gamma$. Если $|d \pi / d x|_{x=p}>1$, то $\gamma$ – неустойчивый предельный цикл, а при $|d \pi / d x|_{x=p}=1$ все траектории вблизи $\gamma$ будут замкнутыми.

Используя приведенные выше определения, можем, наконец, сформулировать основной результат, принадлежащий Андронову и Понтрягину.
Теорема о структурной устойчивости (в круге)
Дифференциальное уравнение (I) структурно устойчиво в том и только в том случае, если
1) особенности (I) гиперболические,
2) замкнутые траектории (I) гиперболические,
3) ни одна из траекторий (I) не соединяет седловые точки.

Заметим, что, согласно условию 1 , имеется лишь конечное число особенностей, а из условий 2 и 3 следует, что существует лишь конечное число замкнутых траекторий.

Фазовые портреты двух дифференциальных систем, одна из которых структурно устойчивая, а другая неустойчивая, показаны на рис. 5.5. Следует, однако, подчеркнуть, что только вид фазового портрета системы не может служить основанием для суждения о структурной устойчивости данного дифференциального уравнения. Например, пусть начало
Рис. 5.5. Структурно устойчивая (а) и неустойчивая (б) системы.

координат является одной из особенностей структурно устойчивой системы (I); тогда система (II), которая получается умножением обоих уравнений системы (I) на ( $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ ), будет иметь точно такой же фазовый портрет, но уже не будет структурно устойчивой, поскольку в начале координат особенность системы (II) негиперболическая (оба корня характеристического уравнения нули).

Пример. Классическая система Лотки – Вольтерра
Простейшей моделью детерминированной системы двух видов хищник – жертва с непрерывным ростом популяций является система Лотки – Вольтерра
\[
\begin{array}{l}
\frac{d H}{d t}=H(t)[a-\alpha P(t)], \\
\frac{d P}{d t}=P(t)[-b+\beta H(t)],
\end{array}
\]

где $H(t)$ и $P(t)$ – популяции жертвы и хищника соответственно, а параметры $a$ и $b$ связывают рождаемость $H$ и смертность $P$; параметры $\alpha$ и $\beta$ учитывают взаимодействие между видами. По очевидным и естественным соображениям ограничимся рассмотрением области $H \geqslant 0, P \geqslant 0$ и будем считать все параметры системы воложительными. (Для того чтобы удовлетворить условиям теоремы о структурной устойчивости, выберем масштабы $H$ и $P$ таким образом, чтобы значения $H$ и $P$ лежали в той части единичного круга, которая принадлежит первому квадранту.)

Точка. равновесия системы, представляющая интерес в практическом отношении, определяется как
\[
H^{*}=b / \beta, \quad P^{*}=a / \alpha .
\]

Рассмотрев матрицу Якоби
\[
\mathbf{J}=\left[\begin{array}{cc}
a-\alpha P & -\alpha H \\
\beta P & -b+\beta H
\end{array}\right]
\]

в точке $\left(H^{*}, P^{*}\right)$, получим, что собственные значения матрицы $J$ в особой точке будут чисто мнимыми числами
\[
\lambda= \pm i(a b)^{1 / 2} .
\]

Таким образом, особенность не является гиперболической. Следовательно, классическая модель Лотки – Вольтерра не будет структурно устойчивой, поскольку нарушено условие 1 теоремы.

При обсуждении вопросов структурной устойчивости на интуитивном уровне обращает на себя внимание утверждение, что «система структурно устойчива, если все близкие к ней системы имеют качественно такое же поведение». Предыдущий пример показывает, что, как только мы уточняем понятия «близкие», «те же», «качественно» и «поведение», общее представление уже выглядит несколько иначе, поскольку все траектории системы являются замкнутыми, причем точка равновесия $\left(H^{*}, P^{*}\right)$ – центр. Более того, любая система, близкая к данной и получающаяся при изменении ее параметров $a, b, \alpha, \beta$, будет вести себя аналогичным образом.

Итак, интуитивные рассуждения могут привести к заключению о структурной устойчивости рассматриваемой системы. Однако из геометрических соображений очевидно, что траектории близких систем нельзя непрерывно отобразить друг в друга. Следовательно, согласно определению 5.3, данная система не будет структурно устойчивой, и этот вывод, разумеется, вытекает из того факта, что не все особенности системы являются гиперболическими. Таким образом, интуитивные представления и точные определения не всегда приводят к одному результату, поэтому, применяя математический аппарат, мы должны придерживаться данных определений. Указанный выше случай говорит о возможности другого определения структурной устойчивости.

Одно время предполагалось, что свойством структурной устойчивости должны обладать почти все дифференциальные системы (другими словами, ожидали, что структурно устойчивые системы образуют открытое плотное множество в множестве всех систем). И это действительно справедливо в случае одного или двух измерений, однако, как показали Смейл и Вильямс, для более высокого числа измерений справедливо обратное утверждение, т. е., вообще говоря, нет уверенности в том, что неустойчивые системы могут быть произвольно близко аппроксимированы структурно устойчивыми системами, если размерность фазового пространства $n \geqslant 3$. К счастью, оказывается, что в действительности существует широкий класс $n$-мерных систем, для которых можно установить свойство структурной устойчивости. Наиболее простыми и лучше всего изученными являются дифференциальные системы Морса – Смейла, которые содержат лишь конечное число особенностей и замкнутых траекторий. Системы другого типа, например, системы Аносова, имеют очень сложную геометрическую структуру, связанную с тем, что они содержат бесконечно много замкнутых траекторий. Такие системы будут затронуты в одном из следующих разделов.