В последнее время большое внимание привлекает получившая широкую известность теория «катастроф», затрагивающая один из аспектов проблем, изучаемых общей теорией структурной устойчивости и теорией бифуркаций. В основных чертах теорию катастроф можно представить как метод, позволяющий получить частичный ответ на следующий вопрос: каковы обычно встречаемые типы в $k$-параметрическом семействе функции? Аналогичный математический метод используется также и при изучении вопроса противоположного характера: если дана функция, как будет выглядеть семейство, содержащее близкие к ней функции?

Важность этих вопросов для практического конструирования моделей обусловлена тем, что в основе применения эле: ментарной теории катастроф лежит предположение о направленности исследований при изучении конкретной системы, хотя возможная цель и не является четко обозначенной. Вкратце задача состоит в следующем. Рассматривается система, динамика которой принадлежит к градиентному типу, и делается попытка минимизировать (локально) некоторую функцию цены. В нашем распоряжении имеется $k$ параметров управления $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{k}$, и при этом выходные параметры системы принимают такие значения $x_{1}^{*}, x_{2}^{*}, \ldots, x_{n}^{*}$

в состоянии равновесия, что достигается локальная мннимизация некоторой функции
\[
f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} ; \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{k}\right) .
\]

По аналогии с классической механикой функция $f$ называется потенциальной (или энергетической) функцией системы. В общем случае значения $x_{i}^{*}$, соответствующие состоянию равновесия, зависят от выбора параметров $\alpha$, поэтому
\[
x_{i}^{*}=x_{i}^{*}(\alpha), \quad i=1,2, \ldots, n .
\]

Рассматривая скачкообразные изменения значений $x_{i}^{*}$, происходящие в результате плавного изменения параметров $\alpha$, мы приходим к понятию «катастрофа».

Очевидно, существует бесконечно много систем указанного выше типа (каждой функции $f$ соответствует своя система). Между тем многие из этих систем окажутся идентичными, если ввести преобразование координат в пространстве входных и выходных переменных $\alpha$ и $x$. Наиболее простой метод отсеять несущественные изменения системы состоит в том, чтобы выделить и рассмотреть лишь такие свойства функции $f$, которые имеют чисто топологический характер (в самом деле, допускаются лишь гладкие, т. е. бесконечное число раз дифференцируемые функции $f$ и гладкие изменения координат). При этом основной результат теории катастроф, теорема Тома, дает возможность топологически классифицировать все гладкие потенциальные функции. Как мы увидим далее, наиболее замечательная особенность этой теоремы заключается в том, что такая классификация зависит только от числа $k$ параметров управления (предполагаемого конечным).

Важность теоремы Тома для приложений обусловлена тем обстоятельством, что в общем случае функция $f$ нам неизвестна: предполагается лишь, что она является потенциалом, описывающим динамику данной системы. При этом теорема позволяет оправдать выбор небольшого конечного числа «канонических» потенциалов в качестве моделей рассматриваемого процесса, поскөльку дает возможность полагать, что «истинная» функшия $f$, какой бы она вид ни принимала, будет отличаться от канонической модели только результатом преобразования координат. Кроме того, теорема гарантирует структурную устойчивость канонической модели. Отсюда следует, что истинная модель должна проявлять те же свойства топологического характера, что и каноническая модель. Прежде чем дать формулировку результата Тома и приступить к его обсуждению, проанализируем простой частный случай.

Рассмотрим семейство функций в $R^{2}$, зависящее от единственного параметра $\alpha \in R$ и определяемое уравнением
\[
f\left(x_{1}, x_{2} ; \alpha\right)=x_{1}^{3}-\alpha x_{1}-x_{2}^{2} .
\]

Критические точки функции $f$ соответствуют $x_{1}^{*}(\alpha), x_{2}^{*}(\alpha)$ и определяются уравнениями
\[
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}=3 x_{1}^{2}-\alpha=0, \quad \frac{\partial \hat{f}_{2}}{\partial x_{2}}=-2 x_{2}=0 .
\]

Таким образом, многообразие критических точек $M_{f}$ располагается на плоскости $x_{2}=0$ вдоль кривой $3 x_{1}^{2}-\alpha=0$, лежащей на плоскости $(x, \alpha)$ в $R^{3}$. Исследуем критические точки функции $x_{1}^{3}-\alpha x_{1}$ при разных значениях $\alpha$.
Рис. 5.6. Поведение функции $x^{3}-\alpha x$ при разных значениях $\alpha$.
Как показано на рис. 5.6, имеются две критические точки $x_{1}^{3}-\alpha x_{1}$ при $\alpha>0$ : максимум параболического типа, где величина $x_{1}$ отрицательна, и минимум также параболического типа в некоторой точке $\bar{x}>0$. При уменьшении $\alpha$ эти две критические точки сливаются в единственную точку перегиба, характерную для кубической кривой в вырожденном случае, когда $\alpha=0$; при $\alpha<0$ критические точки отсутствуют.
Проекция $M_{f}$ в пространство $\alpha$
\[
\begin{array}{c}
\psi: M_{f} \rightarrow R^{k} \\
\left(x^{*}(\alpha), \alpha\right) \rightarrow \alpha
\end{array}
\]

называется отображением катастроф семейства $f(x ; \alpha)$. Для большинства значений $\alpha$ многообразие $M_{f}$ обеспечивает локальное покрытие пространства управления $R^{k}$, быть может, многолистное. В то же время, когда $\psi$ сингулярно, число листов может внезапно меняться. Таким образом, при некотором значении $\alpha=\hat{\alpha}$ происходит слияние или бифуркация критических точек функции $f(x ; \alpha)$. Такая особая точка называется точкой катастрофы семейства $f(x ; \alpha)$.

Для приведенного выше примера $f\left(x_{1}, x_{2} ; \alpha\right)=$ $=x_{1}^{3}-\alpha x_{1}-x_{2}^{2}$ имеет точку катастрофы при $\hat{\alpha}=0$. Важно отметить, что любое малое возмущение дает новое семейство
Рис. 5.7. Катастрофа типа складки.

функции $\tilde{f}\left(x_{1}, x_{2} ; \alpha\right)$, которое должно обязательно иметь точку катастрофы где-то вблизи $\hat{\alpha}=0$, причем вблизи катастрофы $M_{f}$ имеет сходный с $M_{f}$ вблизи $\hat{\alpha}=0$ характер покрытия оси $\alpha$. Подобная ситуация, отвечающая катастрофе типа «складки», показана на рис. 5.7.

Теперь можно перейти к обсуждению основной теоремы теории катастроф, которая впервые была сформулирована Томом, а затем дополнена Зиманом.
Теорема Тома-зимана
Для каждого $k \leqslant 5$ и $n \geqslant 1$ существует открытое плотное множество $C^{\infty}$-потенциальных функций $\mathscr{F}$, таких, что
1) $M_{f}$-дифференцируемое $k$-многообразие, гладко вложенное в $R^{n+k}$.
2) Каждая особенность отображения катастроф $\psi: M_{f} \rightarrow$ $\rightarrow R^{k}$ локально эквивалентна одному из конечного числа стандартных типов, называемых элементарными катастрофами. Число таких типов следующим образом зависит от $k$ :

3) Отображение ч структурно устойчиво в каждой точке $M_{f}$ по отношению к мальм возмущениям і из $\mathscr{F}$. Кроме того, существует каноническая форма $f(x ; \alpha)$ вблизи каждой точки $\left(x^{*}, \alpha\right) \Subset M_{f}$ (табл. 5.1).
Таблица 5.1
Замечания, 1. $C^{\infty}$-эквивалентность двух отображений означает, что если $\psi: M \rightarrow N, \psi^{\prime}: M^{\prime} \rightarrow N^{\prime}$, то отображения $\psi$ и $\psi^{\prime}$ эквивалентны при условии, что существуют диффеоморфизмы (взаимно однозначные отображения, $C^{\infty}$ ) $h$ и $k$, такие, что
\[
k^{-1} \psi^{\prime} h=\psi \text {. }
\]
2. Грубо говоря, структурная устойчивость $\psi$ в каждой точке $M_{f}$ означает, что для заданной точки $M_{f}$ существует некоторая окрестность $f$ в $\mathscr{F}$, такая, что любая функция в этой окрестности имеет отображение катастроф, эквивалентное $\psi_{f}$.
3. При $k \geqslant 6$ бесконечное число отображений катастроф можно исключить при помощи более слабого определения эквивалентности. Однако на практике наиболее важное значение имеет конечная $C^{\infty}$-классификация при малых $k$, и именно она является наиболее приемлемой для математической постановки задачи.