В предыдущих разделах были даны различные определения адаптируемости динамических процессов. Однако все они требовали от адаптируемой системы способности сохранять свое поведение, независимо от воздействия различного вида возмущений. Поскольку наша основная цель-анализ устойчивости, то будет исследоваться вопрос глобальной асимптотической устойчивости (в смысле Ляпунова) систем, в которых допускается неопределенность в динамике, в параметрах системы и, возможно, в самих управляющих воздействиях. Мы не будем, как обычно, предполагать, что a priori заданы некоторые статистические свойства неопределенностей, а потребуем только, чтобы неопределенности были ограниченны. Наша цель- научиться находить такие законы управления с обратной связью, которые га̀рантировали бы глобальную асимптотическую устойчивость при любых ограниченных возмущениях системы. Очевидно, что если рассматривать асимптотическую устойчивость как свойство поведения системы, которое должно сохраняться вопреки виешним воздействиям, то систему, управляемую законом обратной связи подобного типа, действительно. можно считать адаптируемой! Такой подход к адаптируемости-это другое выражение смысла замечаний, сделанных выше, а именно не обязательно рассчитывать устойчивость системы в начале проектирования, так как желаемые свойства устойчивости обычно можно достигнуть введением подходящих контуров обратной связи. Для успешного разрешения поставленных проблем в общем случае требуются значительные дополнительные сведения, поэтому рассмотрим только линейный случай. Основные результаты верны и для нелинейных систем, но их понимание требует значительной математической подготовки.

Итак, рассмотрим систему, описываемую линейными дифференциальными уравнениями
$$\dot{x}=Ax+Bu+Cv,x(0)=c,$$

где $u$ — $m$-мерный вектор управлений, $v$ — $l$-мерный вектор возмущений, а $A,B$ и $C$ — постоянные матрицы нужных размеров. Кроме того, предположим, что матрица $A$ устойчива, а для элементов $A$ и $B$ как возмущаемых известны только верхние и нижние границы их значений. Наша задача состоит в том, чтобы найти такой закон управления обратной связью $u=u(x)$, чтобы система была глобально асимптотически устойчивой при всех ограниченных возмущениях $v$ и всех допустимых матрицах $A$ и $B$.

Принимая разумные, но технически сложные предположения о неопределенностях в $A$ и $B$ и возмущениях $v$, можно показать, что $i$-я компонента закона стабилизирующей нелинейной обратной связи задается равенством
$$u_i(x)=\{\begin{array}{l}-{\rho }_i(x)\mathrm{sgn}\left[(b_i,Px)\right],xotin{N}_i,\\ \epsilon \{y_i\in R:\left|y_i\right|⩽{\rho }_i(x)\},x\in N_i.\end{array}$$

Здесь $P$ является решением матричного уравнения Ляпунова
$$PA+A^{\prime }P+Q=0,Q>0\text{ произвольно, }$$
$b_i-i$-й столбец матрицы $B,{\rho }_i(x)$ — функция, которая зависит от границ неопределенностей в $A,B$ и возмущениях $v,(\cdot ,\cdot )$ обозначает внутреннее произведение. Множество $N_i$ определяется как
$$N_i=\{x\in R^n:(b_i,P_x)=0\}.$$

Таким образом, используя закон обратной связи $u(x)$, линейную систему можно сделать асимптотически устойчивой при любых ограниченных по величине неопределенностях в матрицах $A,B$ и ограниченных возмущениях $v$. Более детальное рассмотрение этого результата вместе с информацией о методе вычисления функций ${\rho }_i$ можно найти в статьях, ссылки на которые даны в конце главы.