В теории конечных групп существует структурная теорема – так называемая теорема Жордана – Гёльдера, согласно которой любая конечная группа может быть построена из фиксированного множества простых групп (факторов Жордана – Гёльдера) и это множество групп определено однозначно (с точностью до изоморфизма). В теории конечных полугрупп аналогом такой теоремы является теорема Крона – Роудза: любое конечное пространство состояний может быть представлено так, что множество явлений, наблюдаемых на нем, триангулировано. Кроме того, координатные действия должны быть либо (а) простыми группами перестановок, тесно связанными с $\left(Q, \mathscr{F}^{*}\right)$, либо (b) одной из трех возможных полугрупп преобразований, наибольшая из которых имеет порядок три.

Следствием этой теоремы является тот факт, что любая система с конечным пространством состояний может быть удобно координизирована так, что координатные действия распадаются на отдельные простые виды: группы перестановок, отмеченные в $(a)$, должны быть таковы, что они делят первоначальную полугруппу $\left(Q, \mathscr{F}^{*}\right)$, в то время как полугруппы (b) должны быть полугруппами элементарных триггеров. Таким образом, независимо от сложности поведения системы, можно анализировать систему, изучая лишь сравнительно простые объекты, которые соединяются с помощью конструкции узлового произведения. Для того чтобы дать точную формулировку теоремы Крона – Роудза, необходимо ввести понятие делимости для полугрупп.

Определение 3.4
Будем говорить, что полугруппа преобразований $(X, S)$ делит $(Y, T):(X, S) \mid(Y, T)$ тогда и только тогда, когда:
– существуют подмножество $Y^{\prime}$ множества $Y$ и подполугруппа $T^{\prime}$ полугруппы $T$, такие, что $Y^{\prime}$ инвариантно относительно действия $T^{\prime}$.
— существуют отображение $\theta: Y^{\prime} \rightarrow X \xrightarrow{\rightarrow}$ обозначает отображение «на») и эпиморфизм $\phi: T^{\prime} \rightarrow S$, такие, что $\theta(y t)=\theta(y) \phi(t)$ для всех $y \in Y^{\prime}$ и $t \in T^{\prime}$.

Реализация данной системы (автомата) при помощи подсистем (автоматов) осуществляется в соответствии с делением полугрупп. Теперь можем сформулировать основную задачу, имеющую непосредственное отношение к теореме Крона – Роудза.
Задача
Если $X$-пространство состояний, на котором действует конечная полугруппа преобразований $\mathscr{F}^{*}$, то можно ли найти декомпозицию $\left(X, \mathscr{F}^{*}\right)$ в подполугруппы преобразований $\left(X_{k}, G_{k}^{*}\right), k=1, \ldots, n$, такие, что будет получено минимальное решение $\left(X, \mathscr{F}^{*}\right) \mid\left(X_{n}, G_{n}^{*}\right) w \ldots w\left(X_{1}, G_{1}^{*}\right)$, и если можно, то каковы структура компонент ( $X_{i}, G_{i}^{*}$ ) и максимальное значение $n$ ?

На языке теории автоматов соответствующая задача является факторизацией конечного автомата в наибольшее возможное число автоматов, и ее решение дается так называемой простой декомпозицией первоначального автомата.

Прежде чем перейти к формулировке теоремы Крона Роудза, введем такие понятия, как полугрупna триггера и примарная группа.

Определение 3.5
Пусть $a
eq b$. Рассмотрим полугруппу ( $\{a, b\},\left\{C_{a}, C_{b}\right.$, Id\}), где $x C_{a}=a, x C_{b}=b, x I d=x$ для $x=a$ или $x=b$, которую будем записывать также в виде $\left(\{a, b\}, U_{3}\right)$. Полугруппа ( $\{a, b\}, U_{3}$ ) называется полугруппой триггера порядка три.

Определение 3.6
Конечная группа $G$ примарна, если она простая $\left.{ }^{1}\right), G
eq$ $=\{I d\}$. Если $S$ – полугруппа, тогда $\operatorname{Primes}(S)=\{G: G$ примарна и $G \mid S\}$.

Теорема примарной декомпозиции для конечных полугрупп, или теорема Крона – Роудза

Пусть $\left(X, \mathscr{F}^{*}\right)$ заданная конечная полугруппа. Тогда существует декомпозиция её в узловое произведение ( $X_{1}, G_{1}^{*}$ ), … $\ldots,\left(X_{n}, G_{n}^{*}\right)$, такая, что
\[
(X, \mathscr{F})^{*} \mid\left(X_{n}, G_{n}^{*}\right) w \ldots w\left(X_{1}, G_{1}^{*}\right),
\]

и для каждого фактора ( $\left.X_{j}, G_{j}^{*}\right)$ либо $G_{j}^{*} \in \operatorname{Primes}\left(\mathscr{F}^{*}\right)$, $\left(X_{j}, G_{j}^{*}\right)$ – транзитивная группа перестановок, либо
\[
\left(X_{j}, G_{j}^{*}\right)=\left(\{a, b\}, U_{3}\right) .
\]

Сравнивая эту теорему с теоремой Жордана – Гёльдера, можно заметить, что теория полугрупп эквивалентна теории конечных групп, дополненной «триггерной» операцией.