Положение равновесных состояний и соответствующих областей притяжения зависит от динамики изучаемой системы, поэтому важно знать, как они изменяются при небольшом изменении самой системы. Вопрос относительно того, приведет ли такое изменение к смещению данного состояния системы в другую область притяжения, представляет большой практический интерес, поскольку это привело бы к резким качественным изменениям в дальнейшем поведении системы. В качестве одного из инструментов исследования таких вопросов может быть использована теория катастроф.

Обычно в теории катастроф предполагается, что поведением изучаемого процесса управляет некоторая потенциальная функция, локальные минимумы которой соответствуют равновесным состояниям. Очень важно иметь в виду, что при таком подходе вовсе не обязательно точно знать, что это за функция – достаточно признать лишь сам факт ее существования. Предположим, далее, что можно измерять значения некоторых выходных переменных, генерируемых системой в ответ на входные воздействия. В «элементарной» теории катастроф предполагается, что все равновесные выходы фиксированы, т. е. фиксируют значения входных параметров, ждут (может быть, бесконечно долго!), пока не наступит равновесное состояние, затем изменяют значения входных переменных и снова ждут и т. д. Поступая таким образом, получают поверхность равновесных состояний в пространстве выходов, которую можно изобразить как функцию (многозначную) входов. В первом приближении можно сказать, что «катастрофа» происходит тогда, когда возникает скачкообразное изменение выходных параметров при непрерывном изменении входов.

Проиллюстрируем эту ситуацию на примере системы с двумя входами и одним выходом (катастрофа типа сборки с точкой возврата).

Пример. Теория «центрального места»
В экономико-географическом анализе одной из мер неравномерности распределения товаров и услуг в данном регионе является их уровень в «центральном месте». Разумеется, на этот уровень влияет множество факторов, однако наиболее существенными из них являются численность населения и расходуемый доход на душу населения. Предположим, что нас интересуют изменения равновесных уровней в
Рис. 2.15. Поверхность катастрофы в теории «центрального места».
«центральном месте» в зависимости от изменения численности населения и расходуемого дохода в данном регионе. В том случае, когда истинный механизм функционирования данной экономической системы неизвестен, разумно предположить существование неизвестной нам потенциальной функции, локальным минимумам которой соответствуют равновесные уровни «центрального места» (при фиксированных входах).

Если входами являются численность населения и расходуемый доход на душу населения, а выходом уровень «центрального места» (безразмерная величина), то данную ситуацию, согласно данным из гл. 5, можно изобразить как показано на рис. 2.15. Многообразие $M$ изображает различные равновесные уровни «центрального места», как функцию двух переменных (входов). Наиболее интересным свойством поверхности $M$ является наличие двух линий складок I и II, начинающихся в точке возврата $O$. На этом же рисунке изображена проекция данной картины на плоскость входов.

Рассматривая поверхность катастрофы $M$, легко установить, каким образом небольшие непрерывные изменения входных переменных могут привести к резким изменениям уровня «центрального места». Один из таких циклов $\mathrm{ABCD}$ изображен на рисунке. Уменьшение численности населения (при фиксированных доходах на душу населения) приводит к точке В, и при дальнейшем его уменьшении происходит скачкообразное уменьшение уровня (точка С). Если теперь численность населения будет увеличиваться, система непрерывно перейдет в состояние $\mathrm{D}$, и далее произойдет скачок уровня к состоянию А. Следует подчеркнуть, что цикл $\mathrm{ABCD}$ не является динамическим движением системы! Это лишь последовательность равновесных состояний, полученных параметризацией входных параметров. Можно проследить описанные изменения, используя проекцию цикла $A B C D$ на плоскость входных параметров. Отметим, что когда входы впервые попадают в заштрихованную область, никаких необычных изменений с уровнем не происходит. Он резко падает лишь в точке $\mathrm{B}$, когда система покидает критическую область. Затем система возвращается в критическую область, и при этом с уровнем опять-таки не происходит никаких неожиданных изменений до тех пор, пока система не покидает эту область в точке D. Здесь следует обратить внимание на то, что скачки уровня (в ту или другую сторону) происходят только тогда, когда система покидает критическую область, пересекая линию складки, противоположную той, которую она пересекла при входе в область.

Для того чтобы связать эти рассуждения с нашими предыдущими замечаниями о важности анализа областей притяжения, заметим, что переход от одной области притяжения к области притяжения другого устойчивого состояния можно изобразить, как это показано на рис. 2.16. Точка $x$ вначале принадлежит области притяжения состояния. Вследствие изменений динамики системы область притяжения $\mathrm{P}$ сужается с I до II, а область притяжения $Q$ расширяется от 1 до 2. Теперь точка $x$ притягивается к Q, а не к Р. Конечно, положения $\mathrm{P}$ и $\mathrm{Q}$ сами зависят от структуры системы, поэтому объекты, изображенные на этом рисунке точками, по существу, являются областями, содержащими $\mathrm{P}$ и $\mathrm{Q}$, но для нас важно лишь то, что области $\mathrm{P}$ и $\mathrm{Q}$ отделены друг от друга. Следовательно, возмущения в структуре системы, приводящие к изображенной выше ситуации, порождают разрывы непрерывности в выходах, если наблюдаемые выходы оказываются равновесными состояниями.

Возвращаясь к теории катастроф, мы видим, что линии складок в точности соответствуют именно тем комбинациям входных параметров, которые приводят к скачкообразным изменениям равновесных состояний. Таким образом, теория
Рис. 2.16. Смещение областей притяжения.

катастроф позволяет геометрически описать изменения областей притяжения, не используя в качестве промежуточного этапа пространства состояний. Следует отметить, что теория катастроф, по существу, ничего не говорит о расположении областей притяжения в пространстве состояний. Она лишь позволяет нам определить, какие области в пространстве входных параметров могут привести к смещению областей притяжения. Этой информации часто оказывается достаточно для прикладных целей.

В заключение этой главы коснемся кратко понятия адаптируемость. Признано (в особенности экологами), что одним из наиболее желательных качественных свойств системы является ее способность воспринимать внешние воздействия (ожидаемые или неожиданные) без необратимых фатальных изменений в ее поведении. Иными словами, адаптируемость в некотором смысле является мерой жизнеспособности или выживаемости системы. Естественно, для формулировки этого понятия в математических терминах необходимо точно определить, какие воздействия считаются допустимыми и что следует понимать под выживаемостью. Тем не менее даже такое интуитивное описание адаптируемости показывает, что это понятие тесно связано с понятием области притяжения и со смещением этих областей под действием естественных или искусственных возмущений. Если эти возмущения перемещают данное состояние системы в область притяжения «фатального состояния», то ясно, что система не обладает свойством адаптируемости по отношению к данному классу возмущений. В противном случае она в той или иной степени обладает этим свойством.