Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Непосредственное внешнее воздействие на состояние равновесия является одним из факторов, благодаря которому система может быть смещена из области одного аттрактора в область другого. В предыдущем разделе были изучены некоторые связанные с этим вопросы. Рассмотрим теперь второй фактор, при действии которого система может быть сдвинута в область другого аттрактора. Таким фактором являются изменения в динамике системы, обусловленные изменением вектора параметров системы $a$. Рассмотрим ситуацию, представленную на рис. 5.14. Когда вектор параметров системы $a=a_{1}$, начальное ее положение $У_{\text {стойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем }}$ Қак было показано в предыдущем разделе, только что описанная ситуация лежит в основе элементарной теории катастроф Тома-Зимана. При этом явно признается, что положения равновесия (в рассматриваемом случае $x_{2}^{*}$ и начало координат), а также соответствующие им границы областей притяжения ( $\partial D_{1}, \partial D_{2}$ ) зависят (главным образом) от вектора параметров системы a. Следовательно, существует тесная связь между отображением катастроф $\psi$ и представлением об адаптируемости системы. Действительно, на интуитивном уровне ясно, что чем ближе к особой точке $\psi$ расположено начальное, значение вектора параметров $a$, тем меньше степень адаптируемости системы (по отношению к изменениям $a$ ). Имея в виду сказанное выше, можно определить меру адаптируемости путем рассмотрения величины и направления такого изменения вектора $a$, которое необходимо, чтобы провести вектор а через особенность $\psi$ (эта ситуация показана на рис. 5.15). Поскольку \»оответствующие рассуждения во многом повторяют изложенное в предыдущем разделе, отметим только, что представление об адаптируемости остается весьма неопределенным, пока не введено соглашение оклассе допустимых изменений вектора $a$. Как показано на рис. 5.15, для любого $a$ мы строим вектор $v$ от конца вектора $a$ до ближайшей особенности $\psi$ и проводим сравнение $v$ с допустимыми изменениями $a$ с цєлью оценить меру адаптируемости системы $\Sigma$ для данного вектора $a$ по отношению к допустимым возмущениям. Пример. Модель биржевых операций Предположим, что единицы измерений выбраны так, чтобы рассматриваемая модель отвечала канонической катастрофе типа сборки, т. е. множество бифуркаций в пространстве исходных переменных $C$ приводит к следующей связи между $a_{1}$ и $a_{2}$ : Эти уравнения получаются из канонического потенциала для сборки на оснозании условия, согласно которому вдоль линий сборки мы должны иметь При помощи указанных соотношений можно исключить $x$ и получить представленный выше результат. Предположим, что вектор начальных параметров $a$ описывается следующими значениями: дополиительный спрос на акции со стороны основных покупателей есть 0,1 и доля денежных средств, направленньх на спекулятивные операции, сть 0,58 , т. е. $a=(0,1 ; 0,58)$. Ближайшая к $a$ точка на бифуркационной кривой Таким образом, вектор $v(a)$ имеет вид Вектор $v(a)$ представляет собой изменение $a$, необходимое для того, чтобы пересечь бифуркационную кривую. Отсюда следует, что модель би́ревых операций, описываемая вектором параметров $a$, обладает почти вдвое более высокой адаптируемостью по отношению к нзменениям $a_{1}$ (т. е. спроса на акции со стороны основных покупателей), чем к изменениям $a_{2}$ (т. е. доли средств, направленных на спекулятивные операции). Разумеется, приведенная выше интерпретация моделей с точки зрения теории катастроф и исследование адаптируемости систем ограничены ситуациями, для которых справедливы гипотезы, положенные в основу элементарной теории катастроф. А именно: 1) динамика системы описывается гладкой функцией, т. е. является $C^{\infty}$-функцией $x$ и $a$ и принадлежит к градиентному типу; Нарушение одного или даже всех этих условий сохраняет тем не менее возможность исследования адаптируемости, но уже на основании представлений о структурной устойчивости, отличных от тех, которыми оперирует теория катастроф. Рассмотрим кратко некоторые из них.
|
1 |
Оглавление
|