Непосредственное внешнее воздействие на состояние равновесия является одним из факторов, благодаря которому система может быть смещена из области одного аттрактора в область другого. В предыдущем разделе были изучены
Рис. 5.14. Области притяжения начала координат.

некоторые связанные с этим вопросы. Рассмотрим теперь второй фактор, при действии которого система может быть сдвинута в область другого аттрактора. Таким фактором являются изменения в динамике системы, обусловленные изменением вектора параметров системы $a$.

Рассмотрим ситуацию, представленную на рис. 5.14. Когда вектор параметров системы $a=a_{1}$, начальное ее положение $У_{\text {стойчивость, катастрофы и адаптируемость больших систем }}$
$x_{0}$ лежит внутри области, ограниченной $\partial D_{1}$ и система стремится занять положение в начале координат. Если вектор $a$ изменится и станет равным $a_{2}$, то точно такое же начальное состояние $x_{0}$ будет уже лежать вне области, ограниченной $\partial D_{2}$, и конечным итогом поведения системы будет ее переход в состояние равновесия $x=x_{2}^{*}$, расположенное далеко от начала координат. Легко представить себе ситуацию, в которой $x_{0}$ лежит очень близко к границе $\partial D_{1}$. В этом случае даже небольшое изменение вектора $a$ может вызвать деформацию
Рис. 5.15. Кривая особенностей отображения $\psi$ катастрофы типа сборки.
$\partial D_{1}$, достаточную для того, чтобы положение системы $x_{0}$ оказалось в области притяжения к другому состоянию равновесия.

Қак было показано в предыдущем разделе, только что описанная ситуация лежит в основе элементарной теории катастроф Тома-Зимана. При этом явно признается, что положения равновесия (в рассматриваемом случае $x_{2}^{*}$ и начало координат), а также соответствующие им границы областей притяжения ( $\partial D_{1}, \partial D_{2}$ ) зависят (главным образом) от вектора параметров системы a. Следовательно, существует тесная связь между отображением катастроф $\psi$ и представлением об адаптируемости системы. Действительно, на интуитивном уровне ясно, что чем ближе к особой точке $\psi$ расположено начальное, значение вектора параметров $a$, тем меньше степень адаптируемости системы (по отношению к изменениям $a$ ).

Имея в виду сказанное выше, можно определить меру адаптируемости путем рассмотрения величины и направления такого изменения вектора $a$, которое необходимо, чтобы провести вектор а через особенность $\psi$ (эта ситуация показана на рис. 5.15). Поскольку \”оответствующие рассуждения во многом повторяют изложенное в предыдущем разделе, отметим только, что представление об адаптируемости остается весьма неопределенным, пока не введено соглашение оклассе допустимых изменений вектора $a$. Как показано на рис. 5.15, для любого $a$ мы строим вектор $v$ от конца вектора $a$ до ближайшей особенности $\psi$ и проводим сравнение $v$ с допустимыми изменениями $a$ с цєлью оценить меру адаптируемости системы $\Sigma$ для данного вектора $a$ по отношению к допустимым возмущениям.

Пример. Модель биржевых операций
В качестве иллюстрации развитых выше представлений рассмотрим простейшую модель биржевых операций. Выходной переменной (описывающей состояние системы) является скорость изменения определенного индекса биржи (например, среднее по Доу – Джонсу), а входные переменные $a_{1}$ и $a_{2}$ характеризуют соответственно дополнительный спрос на акции со стороны основных покупателей и долю денежных средств, направленных на спекулятивные операции. Обсуждение подробностей, связанных с данной моделью, можно найти в статье, указанной в конце главы. Моделирование этой ситуации, связанное с использованием модели катастрофы типа сборки, соответствует картине, показанной на рис. 5.16.

Предположим, что единицы измерений выбраны так, чтобы рассматриваемая модель отвечала канонической катастрофе типа сборки, т. е. множество бифуркаций в пространстве исходных переменных $C$ приводит к следующей связи между $a_{1}$ и $a_{2}$ :
\[
a_{2}=5,67 a_{1}^{2 /} \quad \text { или } \quad 27 a_{1}^{2}-4 a_{2}^{3}=0 .
\]

Эти уравнения получаются из канонического потенциала для сборки
\[
f\left(x_{1}, \alpha_{1}, \alpha_{2}\right)=\frac{x_{1}^{4}}{4}+\frac{\alpha_{1}}{2} x_{1}^{2}+\alpha_{2} x_{1}
\]

на оснозании условия, согласно которому вдоль линий сборки мы должны иметь
\[
\frac{\partial f}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=0 .
\]

При помощи указанных соотношений можно исключить $x$ и получить представленный выше результат.

Предположим, что вектор начальных параметров $a$ описывается следующими значениями: дополиительный спрос на акции со стороны основных покупателей есть 0,1 и доля денежных средств, направленньх на спекулятивные операции, сть 0,58 , т. е. $a=(0,1 ; 0,58)$. Ближайшая к $a$ точка на бифуркационной кривой
\[
b(a)=(0,3 ; 0,44) .
\]

Таким образом, вектор $v(a)$ имеет вид
\[
v(a)=(0,2 ;-0,133) .
\]

Вектор $v(a)$ представляет собой изменение $a$, необходимое для того, чтобы пересечь бифуркационную кривую. Отсюда
Рис. 5.16. Катастрофа типа сборки для модели биржевых операций.

следует, что модель би́ревых операций, описываемая вектором параметров $a$, обладает почти вдвое более высокой адаптируемостью по отношению к нзменениям $a_{1}$ (т. е. спроса на акции со стороны основных покупателей), чем к изменениям $a_{2}$ (т. е. доли средств, направленных на спекулятивные операции).

Разумеется, приведенная выше интерпретация моделей с точки зрения теории катастроф и исследование адаптируемости систем ограничены ситуациями, для которых справедливы гипотезы, положенные в основу элементарной теории катастроф. А именно:

1) динамика системы описывается гладкой функцией, т. е. является $C^{\infty}$-функцией $x$ и $a$ и принадлежит к градиентному типу;
2) вектор параметров системы имеет не более пяти компонентов;
3) положениями равновесия системы являются только неподвижные точки: система $\Sigma$ не имеет предельных циклов, аттракторов Лоренца и других более экзотических типов начальных состояний. Другими словами, возможны лишь «элементарные» катастрофы.

Нарушение одного или даже всех этих условий сохраняет тем не менее возможность исследования адаптируемости, но уже на основании представлений о структурной устойчивости, отличных от тех, которыми оперирует теория катастроф. Рассмотрим кратко некоторые из них.