Простой пример, приведенный в предыдушем разделе, показывает, что в случае скалярных линейных систем можно произвольным образом изменить характеристическое значение (и, следовательно, свойства устойчивости) системы путем использования закона управления типа линейной обратной связи. Рассмотрим теперь возможность распространения этого результата на многомерные системы.

Предположим, что система описывается линейными дифференциальными уравнениями
\[
\dot{x}=F x+G u, \quad x(0)=c,
\]

где $x-n$-мерный вектор состояния, $u-m$-мерный вектор управления, $F$ и $G$ – постоянные матрицы размерами $n \times n$ и $n \times m$ соответственно. Применение закона управления с обратной связью
\[
u(t)=-K x(t),
\]

где $K$ – постоянная матрица размером $m \times n$, приводит, очевидно, к системе типа замкнутого контура
\[
\dot{x}=(F-G K) x, \quad x(0)=c
\]

и задача сводится к поиску ответа на следующий вопрос: всегда ли при заданных $F$ и $G$ можно найти постоянную матрицу $K$, такую, чтобы собственные значения матрицы $F-G K$ были расположены в заранее выбранных точках комплексной плоскости? Весьма примечательно, что ответ на этот вопрос оказывается положительным при достаточно слабых предположениях относительно матриц $F$ и $G$. Основной результат содержится в следующей теореме.

Теорема о смещении полюсов
Пусть пара матрищ ( $F, G)$ полностью достижима, т. е. $(n \times m)$-матрица
\[
\mathscr{E}=\left[G|F G| \ldots \mid F^{n-1} G\right]
\]

имеет ранг п. Тогда для заданного произвольного множества комплексных чисел $\Lambda=\left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}\right\}$ всегда можно найти постоянную матрицу $K$, такую, что собственные значения $F$ – GK совпадают с множеством $\Lambda$.

Замечания. 1. Условие достижимости $(F, G)$ является достаточно общим свойством, так как ему удовлетворяют «почти все» линейные системы.
2. Если множество $\Lambda$ симметрично, т. е. из условия $\lambda \in \Lambda$ следует $\bar{\lambda} \in \Lambda$, то матрицу $K$ можно выбирать действительной. В общем случае матрица $K$ должна быть комплексной.
3. Термин смещение полюсов заимствован из технической литературы, где собственные значения матрицы $F$ часто интерпретируются как «полюса» рациональной передаточной матрицы-функции системы $\Sigma$. Теорема утверждает, что если система обладает свойством достижимости, то расположение этих полюсов может быть произвольным образом изменено при помощи линейной обратной связи.

Трудно переоценить важность теоремы о смещении полюсов для практики, поскольку она позволяет обеспечить существенную гибкость в конструировании системы.

Проектировщику не надо беспокоиться о расчете определенных характеристик устойчивости системы, так как любые нестабильности в ее поведении могут быть устранены в соответствии с подходящим законом управления с обратной связью.

Пример. Равновесие в групповых взаимодействиях
Рассмотрим формальную модель социальных взаимодействий Хоманса в математической постановке Симона. Модель системы содержит четыре переменные:

интенсивность взаимодействия (или коммуникаций) между членами рассматриваемой группы, $T(\mathrm{t})$;

степень дружелюбия (или групповая идентификация) членов группы;
общая степень активности членов группы, $W(t)$;
степень активности воздействия внешней среды на группу (необходимая для выживания группы), $P(t)$.

Предположим, что переменные $l, W, T$ представляют собой отклонения характеристик от некоторого желаемого идеального уровня ( $I=W=T=0$ ) и система, подверженная некоторым возмущениям, отклонена от этого уровня. Цель нашего исследования – показать возможность стабилизации процесса взаимодействия путем изменения внешней среды.

Переводя словесные постулаты Хоманса о взаимосвязях указанных переменных на язык дифференциальных уравнений, получим следующую математическую модель процесса взаимодействия:
\[
\begin{aligned}
\frac{d I}{d t} & =b(T-\beta I), \\
\frac{d W}{d t} & =c_{1}(I-\gamma W)+c_{2}(P-W), \\
T & =a_{1} I+a_{2} W .
\end{aligned}
\]

Параметры $a_{1}, a_{2}, c_{1}, c_{2}, \gamma, \beta$ и $b$ представляют величины различных сил взаимодействия и константы пропорциональности. Первое уравнение можно интерпретировать следующим образом: степень симпатии возрастает или убывает в зависимости от разности между активностью взаимодействий и существующим уровнем симпатии. Аналогично могут быть интерпретированы и другие уравнения.

Проводя несколько простых алгебраических преобразований, можно свести систему уравнений к стандартному виду
\[
\dot{x}=F x+G u,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
F=\left[\begin{array}{cc}
b\left(a_{1}-\beta\right) & b a_{2} \\
c_{1}, & -\left(c_{1} \gamma+c_{2}\right)
\end{array}\right], \quad G=\left(\begin{array}{l}
0 \\
c_{2}
\end{array}\right), \\
x=\left(\begin{array}{c}
I \\
W
\end{array}\right), \quad u=P .
\end{array}
\]

Для определенности будем считать, что
\[
c_{1} \gamma+c_{2}<b\left(a_{1}-\beta\right),
\]
т. е. характеристические корни матрицы $F$ неустойчивы. Теперь необходимо установить, можно ли найти линейную обратную связь, зависящую от наблюдаемых величин степени дружелюбия и групповой активности, которая сместила бы корни характеристического многочлена $F$ в левую полуплоскость. Другими словами, необходимо определить закон
\[
P(t)=-\left(k_{1} I+k_{2} W\right),
\]

по которому стабилизируется система $\Sigma$. Очевидно, что эта задача представляет собой слабую версию задачи смещения полюсов, где множество $\Lambda$ является подмножеством левой полуплоскости.

Сначала проверим реализуемость системы $\Sigma$. Легко показать, что матрицей разрешимости $\mathscr{E}$ является матрица вида
\[
\mathscr{E}=\left[\begin{array}{cc}
0 & b a_{2} c_{2} \\
c_{2} & -c_{2}\left(c_{1} \gamma+c_{2}\right)
\end{array}\right],
\]

имеющая ранг 2 тогда и только тогда, когда
\[
b a_{2} c_{2}
eq 0 .
\]

Согласно теореме о смещении полюсов, если $b a_{2}\left(c_{2} \pm 0\right)$, то нет математических трудностей для нахождения закона обратной связи $P(t)$, по которому система стабнлизируется до желаемой степени. Если система $\Sigma$ устойчива, то можно использовать закон $P(t)$ для повышения степени устойчивости, смещая для этого корни $F$ еще дальше в левую полуплоскость.

Основным недостатком теоремы о смещении полюсов является ее применимость только к линейным системам. Однако диапазон ее применимости может быть значительно расширен при помощи теоремы об устойчивости Пуанкаре – Ляпунова. Можно показать, что если система описывается дифференциальными уравнениями
\[
\dot{x}=F x+h(x), \quad x(0)=c,
\]

где норма $\|c\|$ достаточно мала, а $\|h\| /\|x\| \rightarrow 0$ при $\|x\| \rightarrow 0$, то асимптотическая устойчивость системы определяется ее линейной частью, т. е. матрицей $F$. Таким образом, вводя в систему слагаемое, соответствующее управлению, получим систему
\[
\dot{x}=F x+h(x)+G u, \quad x(0)=c,
\]

к которой применима теорема о смещении полюсов. Следовательно, можно сместить корни $F$ в нужную точку плоскости, гарантирующую устойчивость системы. Условие на $\|c\|$, зависящее от корня характеристического многочлена $F$ с наибольшей вещественной частью, может быть значительно ослаблено за счет смещения этого корня еще дальше в левую полуплоскость. Связь этого результата с некоторыми рассмотренными выше понятиями адаптируемости очевидна.